Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 9

поскольку изменением импульса за достаточно короткий промежуток времени Ьг оказывается возможным пренебречь. Действительно, приближенно заменяя в з»коне изменения импульса (13.4) производную импульсе на отношение малых приращений импульса н времени: г(Р~гуг ьр)~лг, получим после умножения н» лг; ЬР = (Р) Лг, ((3.9) где (Г) - среднее значение суммарной внешней силы на интервале времени Ьг (произведение РЬг называется и и п у л ь с о м с и л ы ). Если внешние силы не спищ- ком велики, а промежуток времени Ьг достаточно мсл, то импульс силы (Р)Ьг .

а следо- вательно и изменение импульса ЬР, могут оказ»ться пренебрежимо малыми. Исполыоваинс этого приема тзюбуст пнстельнои сменки величины импульсе внешнси сизы. Нн. пример. он пр»намерен в задаче о р.прьас летаясго снаряда, «огд» прир»вннв»ются импульс сн»ряд» непосредственно перед рюрывом и сумм»рныи импульс осколков срезу зн после взрыв», импульс вне. шних сил (тюкестн, сопротивления воздух») м»л ввиду малости времени езрьшв ЬГ .

А в з»д»чс об упругом сауд»ренин ш»р» с (~ О м»ссивмой стенкой, если стенку считать внешним телом. пренебречь импульсом упругой силы, действующей со стороны ЬР ш.Р Рею "»Р» стенки иа ш»р, нельзя: несмотря иа мелос время ссуд»ренн», этот импульс велик, поскольку очень велик» упругвя сил». Это приводит к тому, что изменение импульс» шари е результ»тс Рис. 24 ссуд»рения ЬР по модулю вдвое оревыш»ет импульс ш»р» до ушр»р» Ьр =-Зр, (рис 24) по упора лгэглеудара Рс»ктивнос двнмснмс. Если тело з» счет того или иного устроя»те» "выдр»сыввет" ысть своей н»осы, то импульс тела измснястс» со временен, так к»к часть имггульс» уносится отбрасыв»смой м»ссон веществ» Двинские тела.

опус»о»ленное выбросом м»осы, н»зыв»стоя р е» к т и в н ы м пусть тела массы ш(ч) движстс» со скоростью»(г), еыбр»сыв»я к»клуш секунду массу ф(г) (р» сх о д и» с с ы) со скоростью и(Г) относительно тел» Закон изменения импулыа П3,4) для тела ззпюпси в внлс ()3.!О) с(з (г) — = Р-рн. сй ()З.Н) где Р - импульс тела вместе с массой, котора» находится в нем и выбр»сьш»ется в процессе движснмя; Р - рсзультирующш внсщни» сил, дсисчвуюших мв чело. Импульс Р в момент времени 1 равен: Р = шя. Ем»мент»рви»ни газ(г импульс системы щл»шюается из нмпульш шл» (ш — рачг)(я 4ч(я) и импульсе (рачг)(и+я) выброшенной зз промежуток времени сй пассы рс(г. (здесь упеио, что з» время с(Г масса тела уменьшил»сь н» количество,иаУ выброшенной м»осы, скоросзь тела получил» прнр»щение Й, в т»кке то, что скорость выброшенной м»осы относительно СО, в которой решается з»д»чз, ск»»дьа»ется из скорости и этой мессы относительно тев» и скорости» тел»), Таким обрезом, м н ннс 1Р имоу»ын системы з» время су равно: бр = ((ш — рг(г)(гьдя)+рчуг(л 4»)) — ш» р»скрыв»» скобки и пренебрег»»и»лым сл»гземым рс(чачг, находим: ч(р=шз(я+дшачг и уравнение (13.

)О) приник»ет вид: 43 зто уравнение имеет вид второго закан» Ньютон», в катарам за счет выбрааа массы к внешним силам дабее»ытсе "Ре»ктнвнаа сн»»" Г = -ри, н»прав»синая в сторону, противоположную скорости и отбрасываемой мессы. Ему, в частности, подчиняетаа движение Ракет, у «аторых из сопла ежеаекундна вылетают продукты стар»ни» тап»иве массой р ао скоростью н.

Проведя аналогичные выкладки, легка обобщить уравнение (13.Н) н» атчаи, когда помина ем брас.| массы имеет места н обретньй' процесс захвата мессы, пас|уааюшен к телу извне; сЬ щ(г) — = à — р и а р|и|, с(Г (13.12) где индексы ! н 2 атнаается, соответственно, к напуакеемай н принимаемая телом меосе.

Процесс захвате мессы при|мцхета» ва еннм»ние е некоторых»агрономических з»д»чех, исследующих влияние иа движение небесных тея оседающей не инх космнческан пыли. Обв проц»ха» адно»рамзина происходят в еаздушна-ре»ктнвных и турба-реактивных п|игатееях сема»став; в них пасгуп»ет атмасферннй воздух ()|,; и, = -е), » выбрасывается тат же воздух вместе а продуктами сгорание тап»ива (р„и, ) . Формула (13.12) представляет аабан в общем аиде ур»вне»не движени» те»а с переменнаи ива»ай, ьатарсеназьмают уравнением Мещерского.

й 14. Закон изменения и сохранения момента импульса Для решения многих проблем существенно не только значение той или иной физической величины самой по себе, но и то, как зта величина распределена в пространстве относительно некоторой точки или оси. Тогда в физических теориях появляются м о м е н т ы зтих величин. В механике фигурируют моменты двух векторов - сиды и импульса, а также момент скалярной величины - массы (момент инерции, о котором речь пойдет позже). Пусть на некоторую материальную точку (или малый элемент твердого тела) действует сила Г. М о м е и т о м М с и л ы Г о т и о с и т е л ь н о т о ч к и (полюса) О называется вектор, являющийся векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку приложения силы, и силы Г (рис.

25 а): М=~г,Г1. ()4.!) В дальнейшем будет предполагаться, что точка О, относительно которой определяется момент силы, является началом декартовой системы координат. Согласно определению векторного произведения (см. а. ! 2), направление момента силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы г и Г, и определяется правилом буравчика, а его модуль равен М = г Г пп а, ()4.2) где а - угол между векторами г и Г (рис. 25 а).

Получим еще два Равноправных выражения для модуля момента силы, расположив векторы г и Г в плоскости чертежа, так что момент силы М направлен перпендикулярно плоскости чертежа на читателя и изобразится точкой (рис. 25 б). Замечая, что п л е ч о силы Г, т.е. вратчайшее расстояние между точкой О и линией напр. г М - но читишеля а) б) Рис. 25 действия сильк равно Н=гзюа, имеем М=ГН, те.

модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо. С другой стороны, Гзю а=Г, есть модуль составляющей Г, силы Г, перпендикулярной г и М (активной составляющей), так что М = Г, г, т.е. модуль момента силы равен произведению модуля ее активной составлаюшей Г, на расстояние от точки О до точки приложения силы. Итак, Ггзю щ Г,г. (14.3) Единица момента силы в СИ носит название "джоуль"; 1 Дж=! Н 1 м. Аналогично определяется момент импульса! материальной точки о т и а с и т е л ь н о т о ч к и (полюса) О; 1 = [г,р), (14.4) где р - импульс материальной точки, г - ее ралнус-вектор относительно точки О(рис.

26). Момента м импульса Е системы материальных точек относительн о т о ч к и называется сумма моментоа импульса всех точек системы: Рис. 26 (14.5) так что момент импульса па определению величина алдитивная. Найдем закон, которому подчиняегся момент импульса, сначала - для одной материальной точки. Дифференцируя формулу (14.4) по времени и учитывая, что для векторного произведения справедливо то же правила дифференцирования, как н для обычного произведения (см.

(М.28)), имеем: Ж/Ж=[4г/сй,р)+[г,г(р/4!). Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как равен нулю угол а между перемножаемыми векторами с(гфг = г и р = шг . Во втором слагаемом, воспользовавшись вторым законом Ньютона в форме (! 3.5), заменим производную импульса на результирующую силу, действующую на материальную точку; ф/й = Г, тогда с(1/с!! = [г, Г~ . Стоящее справа выражение представляет собой момент М результирующей силы Г и закон изменения момента импульса материальной точки принимает вид: сй/с(! = М .

(14.6) Записав закон (!4.6) для всех Ф материальных точек сиатемы и просуммировав правые в левые части уравнений, получим: с!1г — У=М ~(г л с!1л 45 Сумма производных равна производной суммы, так чта в левой части формулы (14.7) стоит производная момента импульса системьк ~~ е(1,(е(г = е((,"Г 1,) у(е(г = с(ь(е(г . В сумме моментов всех сил в правой части (14.7) выделим сумму моментов внутренних снл "„Г М„, где Ми - момент силыУа, действующей на 1-ю точку со стороны (е-й, н сумму се ! моментов внешних сил ~ М;"" (14.8) Докажем, что вследствие третьего закона Ньютона сумма моментов внутренних сил равна нулю. Действительно, моменты М„и Ми сил взаимодействия 7а и Я,„равны па модулю, так как зги силы Равны по моДУлю Уп = У' и имеют общее плеча е( (рис.

27): Ма = ~ее(= г' Ы= Мь, и имеют противоположные направления, в чем легко убедиться, используя правило буравчика (на рис. 27 радиусы-векторы е, н е, точек и силы ги иге, лежат в плоскости чертежа; моменты Ма и Мн аил направлены, соответственно, за чертеж и на читателя и изображены крестом и точкой). Таким образом, Ма = — Мь для каждой пары сил взаимодействия и моменты внутренних сил при сложении попарно взаимно уничтожаются. Итак, Рлг.

ЯМ, - па пнмамеял ЯМ. -зи черпмзк Рнс. 27 — =~м;— ну (14.9) -п оизво ная по в еме и смен а им л са системь мате иальных точе с мме момен ов внешних сил относительно то же точ и ейств ю их на систему, Этотзакоиназывают законом изменения момента импульса. Из формулы (14.9) следует, что если ',Г М," '" = О, то е(ьге(е = 0 и, следовательно, е. = саше: ,'з М; =0 -ь Х=соене (14.10) а=аз|-аз+аз, М=М,+М,+М, (14.11) (см.

рнс.28 для момента силы). Ортогональные составляющие М„М„М, называются м о м сита и и сил ы, а уыйюез -ма и си та м и и м и ул ь с а а т н о с н тель н а момен ов внешних снл относит ьна тай же тонки авиа нулю Таково солержание закона сохранения момента импульса. Момент импульса и момент силы можно представить в виде суммы нх составляющих вдаль координатных осей: 4б с о о т в е т с т в у ю щ и х о с е й Ож Оу, Ох. Чтобы получить формулу для момента М, силы относительно осн Ох, рюложим векторы г и Г на две составляющие — парал- лельную и перпендикулярную оси Ог: г= г, +г,, Г= Г,+Г,, как показано на рис.