Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 6

(Для закрепления материала рекомендуем сразу же обратиться к з Зб, где описанная процедура применяется для нахождения кинематического закона движения в случае свободных гармонических колебаний.) К сожалению найти точное рсшенне уравнений движения удается лишь в редких слушях, когда формула длл силы имеет достатачмо простой внд. Поэтому прямая задача динамики обычно решается приближенными методамн. Опипем простейшую процедуру приближенного расчета траектории матс. рнальвой точки, цреллаженную самим Ньютонам. Движемие разбивается по времени на этапы (шаги) малой длительности бт каждый, и траектория восстанавливается поэтапно.

пусть в нвчальньщ момент времени г = О радиус-вектор точки и ес скорость равны, соответственно: г(0) = г, н з(0) = з Малое перемещение Ьг тачки на первом этапе согласно (2 2 ) приближенно равно Дз' = зэ ЛГ . так что в конце первого этапа се радиус-вектор з; = гс + за Д) (см. рис ) )). Скорость точки на первом этапе получит приращение, «атаров согласно (3.2) прнближенна равно дс = ар бц н станстравной в конце первого этапа з, = зэ +асд) . ускорение ле на первом этапе мо:кно считать постояммым н определить его нз втоРого закона Ньютона: а, = Е(гс,зс)7 щ, нспользУЯ значение силы в начале этапа Г(гэ,зс) (в улучшенных методах ускорение на этапе вычисляется прн помощи более утончсннон проце"с -- дуры).

Таким образом удается определить значения радвуса-вектора "е г, н скоростн з в конце первого, т.е в начале второго, этапа и 1 процедура может быть продолжена Подчеркнем, что ускорение на 0 каждом з -м этапе определяется змаченнем силы на этом этапе а, = )г(г„г, ))згэз, поэтому длл решения задачи рсзультнр)ющая сила должна быль известна «ак функция коордннст н скорости точки во воен области пространства, где ждется траектория. Чем иеныпе временной швг УМ в описанном алгоритме, тем ближе рассчитанная траектория к ноткиной. Современные эвм с их «олсссальнымн памятью н быстродействием позволяют эффективно осуществлять расчет траекторий с любой требуемой стоцскью точности.

л б 8. Принцип относительности Галилея В механике выполняется принцип относительности, впервые высказанный Галилеем и носящий его имя; ме анические явления отекают о инакова во сех мне иальных Согласно принципу относительности Галилея кинематический закон движения материальной точки будет одним и тем же во всех инерциальных СО, если опыт проводится при одинаковых условиях, т.е. при том же расположении и движении тел, воздействующих на рассматриваемую точку, и при тех же начальных условиях. Но кинематический закон движения является решением уравнений движения (7.4), представляющих собой запись второго закона Ньютона (7.1) в дифференциальной форме. Поэтому для выполнения принципа относительности Галилея необходимо, чтобы сами уравнения (7.1) имели одинаковый вид во всех инерциальных СО, т.е.

не меняли своей формы при преобразованиях Галилея (б.1), Ускорение согласно (О.З) инвариантно относительно преобразований Галилея; масса и силы, изучаемые в механике, также инвариантны (см. замечание в конце б 10), чем и обеспечивается одинаковость формы уравнений движения материальной точки во всех инерциальных СО. В современной физике З) принцип относительности формулируется более широко: все без иск:почения процессы (а не только механические) протекают одинаково во всех инерциальных СО. ф 9. Третий закон Ньютона Третий закон Ньютона подчеркивает, что в природе нет односторонних воздействий, а есть лишь взаимодействия тел, и уточняет основные свойства этих взаимодействий: силы за о ействия в х ма иальных тачек ейств т в ель п ямой сое и- няю ей эти точки анны по мо лю и и ативоположны по нап аале ию На рис. 12 представлены случаи, когда силы взаимодействия материальных точек 1 и 2 являются силами притяжения (а) и силами отталкивания (б), Индексы у силы символизируют точки, на которую (первый индекс) и со ) ггз гзз стороны которой (второй индекс) действует данная сила.

Для некоторых видов взаимодействий справедливость третьего закона а) Ньютона непосредственно вытекает из конкретных законов, описывающих эти взаимодействия, например, для гравитацион- ных сил - из закона всемирного тяготения Ньютона, для электро- статических сил - нз закона Кулона. В'других случаях его спра- ведливость менее очевидна и есть пример, когда он нарушается (взаимодействие движущихся зарядов при неучете импульса их Рис.12 электромагнитного поля). Однако все свидетельствует о том, что в нерелятнвистской механике макроскопических тел третий закон Ньютона уни- версален.

Косвенным подтверждением этому служит выполнение законов сохранения импульса и момента импульса, при выводе которых, как мы увидим, существенно ис- пользуется предположение, что любые силы взаимодействия между материальными точками механической системы подчиняются третьему закону Ньютона. гтз ! 2 гз) 6) ф 10. Силы в ньютоновской механике Чтобы находить результирующую силу, действующую на материальную точку, необходимо знать, как она взаимодействует с другими телами. По современным представлениям в природе существуют четь)ре типа фундаментальных взаимодействий: сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные.

Два первых играют существенную роль в микромире: сильные взаимодействия между нейтронами и протонами обеспечивают стабильность атомных ядер, а слабые проявляют себя при взаимных превращениях элементарных частиц. Во взаимодействиях макроскопических тел, которые рассматриваются в ньютоновской механике, участвуют гравитационные и электромагнитные силы. При этом последние проявляют себя во взаимодействии не только заряженных, но и нейтральных тел: межмолекулярные взаимодействия электромагнитной природы приводят к возникновению упругих сил и сил трения, которые, наряду с гравитационными, изучаются в ньютоновской механике.

Гравитационные силы. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона все тела притягиваются друг к другу. Силы взаимного гравитационного притяжения двух материальных точек. т.е, тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними, удовлетворяют третьему закону Ньютона.

Они направлены по прямой, соединяющей точки, навстречу друг другу и имеют одинаковый модуль При этом выяснилось, что «оордннаты точки (точнее - события) в двух ннерциальнь~х ОО с»»тань~ друг с другом более слажнымн формулами, чем преобразования Гелиле» (б.1) - овм нззмваются п р еобрезоезниямн Л арен ц». Уравменнядвижения,даваемые вторымзеконом Ньютона,не сохраняют своей формы при лреобразованиях Лоренц», что указывает на приближенньй характер пьютамовской механики. Уравнения двнжеви» в ренпнвистской механике, построенной в начале наш»го века н описывающей движение мзтсриальнои точки с любыми скаростзми вплоть до скорости света в вакууме, сохраняют форму при преобразованиях Лоренца.

Однако, кан было пояснсно вс введении, движение макро»конических юл »повис удавлетвсритсльмс описывается ньютоновской механикой п не возюпсает практической необходнмосш пользоваться релятивистскими формулзмк. где щ,лх - массы материальных точек, г - расстояние между ними, С - универсальная г р а в и т а ц и о и н а я п о с т о я н н а я, которая в СИ имеет величину 6 = 6,6720.10 "нмз кг'. В векторной форме обе силы взаимодействия можно выразить одной формулой: г = -11-ь;хг, г (10.2) ги Аю, дгз =-б, 'г, (г„- вектор, проведенный из элемента Ью г„ Ф в рассматриваемую точку), и при нахождении результирующей силы она выносится за знак суммы: Рис.

14 если под г понимать вектор, проведенный в точку, на которую действует сила Г, из точки, со стороны которой она действует (рис. 13). Чтобы найти силу гравитационного взаимодействия двух тел конечных размеров, необходимо мысленно рюбить оба тела на малые элементарные участки, которые можно считать материальными точками, и просуммировать силы, действующие со стороны элементов одного тела на элементы другого тела Замечательно то обстоятельство, что характеристикой тела, ответственной за его гравитационное взаимодействие с другими телами, т.е. играющей роль "гравитационного заряда", является ~ г=ссззззсжи масса тела (сравиите закон всемирного тяготения (10.2) с законом Г Кулона взаимодействия точечных зарядов).

По этой причине Рнс.13 иногда различают и н е р т н у ю массу, которая фигурирует во втором законе Ньютона и характеризует инертные свойства тела, н г р а в и т а ц и о н н у ю массу, задействованную в законе всемирного тяготения и отвечающую за гравитационное взаимодействие. Эти массы у данного тела оказываются равными (точнее - пропорциональными) друг другу. Эйнштейн усмотрел глубокий смысл в факте равенства инертной и гравитационной масс тела, положив его в основу своей знаменитой релятивистской теории тяготения, или общей теории относительности.