Д.В. Белов - Механика (PDF), страница 3

Из новой проблематики, возникшей во второй половине нашего века, можно отметить: попытки систематизации элементарных частииц; создание нелинейной оптики, обязанной своим возникновением изобретению лазера; рождение по сути дела новой науки - синергетики, открывающей перспективу теоретически осмыслить эволюцию мира. Развиваясь, физика все более внедряется в смежные науки - биологию, химию, причем речь идет не только о растущей роли физических методов исследования в этих 15 науках. Специфичность объектов исследования разных естественных наук может создать впечатление о существовании такой иерархии в природе, при которой законы, действующие в различных областях явлений, не взаимосвязаны, принципиально не сводимы друг к другу.

Примером может служить утверждение с невозможности объяснить поведение живого организма на основе законов механики (несводимость высшей формы движения материи к низшей). Однако последнее время ученые все более склоняются к мысли, что, повидимому, все изученные закономерности должны вписываться в одну схему и являться частными проявлениями неких единых законов, управляющях развитием мироздания. Такое стремление понять многообразие явлений с единой позиции прослеживается и в рамках самой физики.

Упомянем создание Максвеллом уже в конце прошлого века теории электромагнитного поля, объединившей электрическое и магнитное поля, до тех пор рассматривавшиеся как самостоятельные (сравнительно недавно с электромагнитными удалось объединить и так называемые слабые взаимодействия, проявляющиеся в области микромира). Эйнштейн последние годы жизни посвятил попытке, правда безуспешной, объединить электромагнитное поле с гравитационным. В настоящее время физики-теоретики работают над созданием единой теории поля, которая позволила бы трактовать все известные элементарные частицы и паля как частные проявления некоего единого поля. Если эта тенденция будет развиваться и приведет а конечном итоге к пониманию единства мироздания, то физике в этом процессе отведена ведущая роль.

16 О НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКЕ Механика - раздел физики, в котором изучаются перемещения материальных объектов в пространстве. С тех пор, как в 1б87 г. И.Ньютон сформулировал три свои знаменитые закона механики, в течение более двух веков представлялось надежно установленным, что им подчиняется движение любых объектов - ат микрочастиц до космических тел, т.е. законы ньютоновской механики универсальны.

Однако с развитием физики в начале ХХ века стало ясно, что область применимости законов Ньютона ограничена, причем в двух отношениях. Во-первых, вьиснилось, что ньютоновская механика не применима для описания м и кр о о б ъ ек то в- элементарных частиц, атомов, простых молекул, т.е. частиц, размеры которых порядка нли меньше ангстрема (1А = О,! нм - характерный атомный рюмер).

В первой четверти ХХ века была в основных чертах создана квантовая механика (Планк, Эйнштейн, деБройль, Бор, Шредингер, Гейзенберг, Дирак и др.), описывающая явления в микромире. Оиа кардинально отличается от ньютоновской механики не только математической формой законов, но и самим подходом к описанию движения частицы. В общем курсе физики не представляется возможным систематически изложить основы квантовой механики и ограничиваются весьма упрощенной ее трактовкой при объяснении ряда явлений, в основном в атомной физике. Во-вторых, оказалось, что ньютоновская механика не применима для описания движений тел са скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме.

В начале ХХ века была создана релятивистская механика (Лоренц, Эйнштейн, Пуанкаре), описывающая движения тел с любыми скоростями вплоть до скорости света. Формулами релятивистской механики приходится пользоваться в атомной физике, поскольку движение микрочастиц часто происходит с околосветовыми н световыми (фотон, нейтрино) скоростями. Однакодля опнсаниядвижения м акр оскопи ч еск их тел, т.е.

тел, состоящих из огромного количества атомов, обычно нет необходимости обращаться к релятивистской механике, так как их скорости существенна меньше скорости света в вакууме сиз.10 м)с. Действительно, типичная формула релятивистской теории от2э яичается от соответствующей формулы ньютоновской теории радикалом (1-(г)с) Г 2 1например. импульс р«тг/э(1-(гГс) ). Даже для движений тел с космическими ско- ростямн порядка ч 1б км/с имеем (е)'с) «1О и, пренебрегая (хгс) по сравнению с 1, т.е. пользуясь ньютоновской формулой р =же вместо релятивистской, мы допускаем мизерную погрешность, существенно меньшую той, с которой обычно измеряется импульс. В предлагаемом пособии излагаются основы н ь ю то н о в с к о й, или к л а с с нч е с к о й, механики, которая, как пояснялось, вполне удовлетворительно описывает движение макроскопических тел.

Строгая теория, описывающая движения любых тел с любыми скоростями - релятивистская квантовая механика - существенно выходит за рамки общего курса физики. Мы начнем с изучения механики м атер и аль н о й то ч к и, т.е. идеального объекта, имеющего конечную массу. на пренебрежимо малые размеры. Реальное тело можно с хорошей степенью точности считать материальнои точкой в тех случаях, когда его размеры существенно меньше характерных размеров, фигурирующих в рассматриваемой задаче (или иначе: когда размеры тела не превышают погрешности, с которой а данной задаче измеряются расстояния).

Но основная причина, обуславливающая исключительную роль механики материальной точки, состоит в том, что любое макроскапнческое тело и любая среда могут рассматриваться как совокупность своих малых взаимодействующих элементов, т.е. как частный случай системы материальных точек. Этим продиктовано такое построение курса механики: от механики материальной точки (главы ! и П) к механике системы материальных точек (глава П1) и далее к механике твердого тела (глава 1Ч) и сред (главы Ч и Ч1).

Специальные главы посвящены законам механики в неинерциальных системах отсчета (глава ЧП) и изучению механических колебаний (глава ЧРП) и упругих волн (глава !Х). 2-4467 ГЛАВА 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 8 1. Система отсчета. Траектория. Путь. Перемещение Прежде чем рассматривать законы, которым подчиняется движение материальной точки (д и н а м и к а), необходимо научиться описывать ее движение, введя соответствующие понятия и физические величины (к и н е м а т и к а).

При описании конкретного движения точки необходимо четко условиться, относительно какой с и с т ем ы о т с ч е т а (СО) оно рассматривается. Под системой отсчета в ньютоновской механике понимается т е л о о т с ч е т а - твердое тело, мысленно распространенное на все пространство, точки которого пронумерованы, т.е. на котором введена та или иная с и с те м а к о о р д и н а т. Простейшей системой координат является де к а рта в а пря ма угольная система координат: на теле отсчета выбираетсяточка 0- начало координат и в трех взаимно перпендикулярных направлениях проводятся координатные оси Ох.Оу.Ог (рис 1). Положение материальной точки описывается р ад и у с о и - в е к т о р о м г, проведенным в нее из начала координат.

Как и всякий вектор, радиус- вектор точки можно записать в аиде г = ха+у/+ой (см. формулу (М.)б)). Здесь ),у)д- орты, т.е. тройка единичных (!1) = !я" = !Й) = 1) взаимно перпендикулярных векторов, направленных вдоль координатных осей Ох.Оу.Оз. а проекции радиуса-вектора: х и г„= г сова,, у и г„= г сов а,, с и г, = г соьа (а„а„,а, - углы, которые он составляет с направРис. ! левием координатных осей), являются декартовыми координатами точки.

Линия, по которой движется материальная точка, т.е. которую описывает конец ее радиуса-вектора, нюывается т р а е к т о р и е й. Как и всякую кривую, траекторию можно математически описать, задав два соотношения между координатами х,у,с. Плоская траектория, которая при надлежащем выборе системы координат лежит в плоскости хОу, определяется одной формулой, например зависимостью у=у(х).

Такое задание траектории определяет лишь ее форму, но ничего не говорит о том, как движется точка по данной траектории. Можно задать траекторию иначе, при помощи формул, выражающих зависимость координат точки от времени: х=х(!), у=у(с), = =с(г) . (1.2) Эти формулы называют кинем а тически м з аксиом да и же пня, а с математической точки зрения они представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время. Кинематический закон движения не только определяет форму траектории (уравнения траектории в виде связей между координатами получаются из (1.2) исключением временИ: достаточно выразить вре- !9 мя из одного уравнения, например из к=хбф -+ ! =г(х), и подставить в деа других), на и показывает.

в какой точке траектории находится в тот или иной момент времени движущаяся материальная точка. Как будет показано ниже, дифференцированием формул (1.2) можно найти проекции скорости и ускорения точки (см. формулы (2.4) и (3.4)). Таким образом, кинематический закон движения точки дает исчерпывающую инфармацию о ее движении. Длина 5а участка траектории между сечками ! и 2, в которых движущаяся точка находится соответственно в моменты времени ! х)5 з, и г„называется пройденным п у т е м, а ог вектор г, наведенный из начальной в ко!' нечную точку. называется п е р е м е щ е н игг е м (рис. 2). Такиьз образом г, =г(г,) — г(г,), т.е.

перемещение равна приращению радиуса- вектора точки. При криволинейном движении з путь больше модуля перемещения; 5и>га, Однако длина достаточно малого участка кривой 0 приближенно равна длине стягивающей зтат у х участок хорды. поэтому для малого участка Рис. 2 траектории П5 и Ьг. б 2. Скорость Зададимся целью ввести физическую величину, которая характеризовала бы бы- стРотУ движении точки. Если пУть 5е движУщаЯса тачка пРоходит за вРемЯ гн = Е -г„ то, разделив путь на время, найдем величину с р е д н е й с к о р о с т и г на участке 1-2 траектории: г = 5„)г„. Она характеризует лишь темп движения в соеднемм на пути 5и, не давая представления о быстроте движения точки на промежуточных участках этого пути.

Полную информацию о быстроте движения точки по траектории полУчим, Разбиваа пУть на малые Участки Ь5о пйаходимые за отРезки вРемени Пг,, затем вычисляя величину средней скорости Ь5,)бг, на каждом из ннх и переходя к пределу при пб -ь О. Пусть к моменту времени ! точка прошла путь 5(!), отсчитываемый от некоторой точки траектории, а за последующий малый промежуток времени П! - малый путь 55 = 5(!+5!)-5(!) (рис.

3), так что 55!б! - величина средней скорости точки на этом малом пути. уменьшая величину Пг, получим последовательность средних скоростей точки на все более малых участках траектории в окрестности рассматриваемой точки. Переходя к пределу при Пг-+О, по- ар лучаем величину мгновенной скорости точки (или скорости в данной точке траектории, ияи скорости в данный момент времени), которая тем самым является производной пути по времени: ) 55 Ж т(!)= Бш — =— и еб! л! (2 1) О Риг,.