№ 18 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 18ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХТЕЛОписание составил профессор Андреенко А.С.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.3ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛЦелью работы является экспериментальное определение моментов инерциитвердых тел; проверка теоретических формул расчета моментов инерции.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАКак следует из определения, момент инерции твердого телаотносительно данной оси является аддитивной величиной, т.е.

моментыинерции тела относительно данной оси складываются из моментов инерцииотдельных частей тела относительно той же оси. Можно достаточно просторассчитать моменты инерции твердого тела, все элементы которого, удалены отоси на одинаковые расстояния (например, тонкое кольцо или тонкостенныйцилиндр относительно оси симметрии). Для определения моментов инерциител сложной формы обычно используют экспериментальные методы, одним изкоторыхявляетсяметодкрутильныхколебаний.Крутильным маятником называетсятвердое тело, подвешенное на упругойпроволокеисовершающеекрутильные колебания относительноположенияравновесия.Еслипроволоку закрутить на малый угол иотпустить, то возникают гармонические колебания относительно положенияравновесия, которые можно описать следующим уравнением:J    D ,(1)где J - момент инерции тела, D - модуль кручения проволоки и  - угол поворотаотносительно положения равновесия.Решив данное уравнение по аналогии с решением уравнения для грузика,колеблющегося на пружине, определим период колебания Т крутильного маятникаT  2 J/D .(2)Экспериментально определив период колебаний и модуль кручения проволоки, поформуле (2) можно рассчитать момент инерции твердого тела любой формы относительноданной оси.Согласно определению, момент инерции твердого тела зависит от положения осивращения относительно тела.

Как следует из теоретической механики, у каждого твердоготела существует три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через его центр масс4(свободные оси), которые замечательны тем, что если вовлечь тело во вращениеотносительно любой из этих осей, то тело стремится сохранить ориентацию этой оси впространстве.

Моменты инерции относительно свободных осей J1, J2, J3называются главными моментами инерции. Зная главные моменты инерции,можно рассчитать момент инерции относительно любой оси, проходящей черезцентр масс по следующей формуле:Jx =J1 cos21 + J2 cos22 + J3 cos23,(3)где 1, 2, 3 - углы, которые образует данная ось со свободными осями О1, О2 иО3 соответственно. В частности, для прямоугольного параллелепипеда моментинерции относительно оси, через диагональ, будет равен 32 12 22J x  J1 2 J2 2 J3 2 1   22   32 1   22   32 1   22   32 ,(4)где 1, 2, 3 - длины ребер параллелепипеда, параллельные свободным осямО1, О2 и О3 соответственно (рис.1).ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИНа основании прибора (2) (рис.2) прикреплен миллисекундомер (1). Восновании закреплена колонка (3), на которой при помощи прижимных винтовзакреплены кронштейны ( 4 , 5 ,6 ).

На кронштейне (5)находится пластина (8), котораяслужитоснованиемфотоэлектрическомудатчику(9), электромагниту (10) иугловойшкале(11).Конструкциярамки(7)позволяет закреплять различныетвердые тела (12), существенноотличающиеся друг от друга поформе и размерам. Твердые телазакрепляютсяприпомощиподвижной балки(13),котораяперемещаетсяпонаправляющиммеждунеподвижными балками. Балкаустанавливаетсяпутемзатягивания гаек (14) на5зажимных втулках, помещенных на подвижной балке.В процессе колебаний маятника, флажок (15) рамки прерывает световойпоток от лампочки, что приводит к регистрации количества периодов колебанияфотоэлектрическим датчиком и общего времени, за которое происходит измерение.На лицевой панели миллисекундомера размещены следующие элементы:1.

(СЕТЬ) - нажатие этой клавиши включает питающее напряжение (всеиндикаторы высвечивают цифру "О" и горит лампочка фотоэлектрическогодатчика).2. (СБРОС) - нажатие клавиши вызывает сброс предыдущего показания,после чего прибор готов к проведению следующих измерений.3. (ПУСК) - приводит к освобождению рамки от электромагнита и началуколебательного процесса. Одновременно включается секундомер.4. (СТОП) - окончание измерения.ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОГОМАЯТНИКА1. Нажать клавишу СЕТЬ.2.

В рамке прибора закрепить исследуемый груз.3. Поворачивая рамку прибора, приблизить ее флажок к электромагниту доприлипания.4. Нажать кнопку ПУСК.5. После подсчета счетчиком не менее 10 периодов крутильных колебаний, нажатькнопку СТОП.6. По формуле Т = t / n, где Т - период крутильных колебаний, t - времяколебаний и n - число колебаний, рассчитать период колебаний.7.

Повторить эти измерения и вычисления три раза.Упражнение 1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОГО МОМЕНТА УПРУГИХСИЛ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ РАМКИКак видно из формулы (2), для определения момента инерции твердого теланеобходимо знать модуль кручения проволоки, на которой подвешена рамка. Крометого, необходимо учесть собственный момент инерции рамки, который может бытьсравним по величине с моментом инерции исследуемого тела.Для определения этих параметров крутильного маятника, воспользуемсятем, что можно легко рассчитать моменты инерции некоторых симметричныходнородных тел относительно осей, проходящих через центр масс этих тел.Например, момент инерции цилиндра радиуса R и массой m относительно оси,совпадающей с осью аксиальной симметрии цилиндра, равен61J Ц  mR 2 .2Период колебания крутильногозакрепленного в рамке, согласно (2), будет(5)маятникавотсутствиетела,T1  2 J Р /D,(6)где Jp - момент инерции рамки.Период колебания маятника с закрепленным в нем цилиндром равен:T2  2 ( J P  J Ц ) / D.(7)Совместное решение уравнений (6) и (7) дает следующие выражения:4 2D 2 JЦT2  T12T12JP  2 JЦ2T2  T1(8)(9)Проведение измерений1.

Измерить радиус цилиндра штангенциркулем не менее пяти раз. Определитьсреднее значение.2. Взвесить цилиндр.3. Рассчитать по формуле (5) момент инерции цилиндра относительно оси,совпадающей с осью аксиальной симметрии.4. Определить период крутильных колебаний маятника в отсутствие груза посхеме, предложенной в предыдущем разделе.5. Определить период колебаний маятника с закрепленным цилиндром. Дляэтого закрепить в рамке прибора цилиндр и определить период колебаний потой же схеме.6. По формулам (8) и (9) рассчитать значения Jц и D.7Упражнение 2ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕПИПЕДА1. Закрепить исследуемый параллелепипед в рамке прибора, чтобы осьвращения проходила через центр симметрии двух противоположных гранейпараллельно ребру a1.2. Произвести измерения периода колебаний Т1.3.

По формулеT1  2 ( J 1  J P ) / D(10)произвести расчет главного момента инерции J1 относительно этой свободнойоси.4. Аналогичным образом измерить моменты инерции J2 и J3 относительно двухдругих свободных осей, параллельных ребрам a2 и a3, соответственно.Упражнение 3ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДАОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗДИАГОНАЛЬ1. Закрепить параллелепипед в рамке прибора так, чтобы ось вращениясовпадала с его диагональю.2. Произвести измерения периода колебаний Т2.3. По формуле (10) произвести расчет момента инерции Jx.4.

Измерить штангенциркулем размеры ребер параллелепипеда.5. Рассчитать косинусы углов, которые составляет диагональ параллелепипеда сего свободными осями [см. рис. 1 и (4)].6. По формуле (4) рассчитать Jx.7. Сопоставить экспериментальные и теоретические значения Jx.Определить погрешности измерений и записать ответы с их учетом.ЛИТЕРАТУРА1. Белов Д.В. «Механика»,изд. Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова 1998,глава IV – Движение абсолютно твердого тела,§ 19 Вращательное движение тела вокруг оси.82. Савельев И.В.

Курс физики. т.I. М. Наука, 1989. §§ 31, 32.3. Савельев И. В. «Курс общей физики» в 5-и книгах.Книга I «Механика», 1998 г.,гл. 5, Механика твердого тела,§ 5.3 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси,§ 5.4 Момент инерции,§ 5.4 Понятие о тензоре инерции.Приложение. Эллипсоид инерции.9.