№ 05 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВА____________________________________________________________Физический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 5ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙС ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКАРаботу поставилидоцент Авксентьев Ю. И. и ст. преп. Овчинникова Т.Л.МОСКВА 2012ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮПРУЖИННОГО МАЯТНИКАКраткое теоретическое введение*)1. ПОНЯТИЕ О КОЛЕБАНИЯХК о л е б а н и я м и называются процессы, при которых какая-либофизическая величина принимает многократно, через равные (или почтиравные) последовательные промежутки времени, одни и те же (илиприблизительно одни и те же) значения.

Природа этой физической величиныможет быть самой различной. Например, этоможет быть отклонение шарика, подвешенногона нити, от положения равновесия, или угол,который составляет эта нить с вертикалью, илисила тока в электрическом контуре, илитемпература воздуха, повышающаяся в серединедня и понижающаяся ночью, или давление кровив сосудах при сокращениях сердца и т.д.Несмотрянаразличнуюприроду,колебания самых разнообразных физическихвеличин имеют много общего.

Все онихарактеризуются п е р и о д о м — промежуткомвремени, через который значения колеблющейсявеличиныначинаютповторяться,ампл и т у д о й — наибольшим отклонением отнулевого значения. Часто при колебанияхизменение с течением времени различных поприроде физических величин носит одинаковыйхарактер, т.е.

эти величины изменяются поодному закону с течением времени. В этомслучае колебания описываются одинаковымиматематическими формулами. На рис. 1показаны графики зависимости от времени tРис. 1некоторыхизбесчисленновозможныхпериодическихпроцессовдляразныхфизических величин: а) отклонения X от положения равновесия груза,подвешенного на пружине, б) напряжения u , создаваемого генераторомразвертки электронного осциллографа, в) напряжения u , создаваемогогенератором тактовой частоты компьютера, г) напряженностиEэлектрического поля, модулированного звуковой частотой, в радиоволне,*) Теоретическое введение к лабораторной работе написано доц.

Пустоваловым Г.Е.3д) силы I выпрямленного переменного тока, е) звукового давления p припроизнесении звука "ууу...".Общие для всех колебаний закономерности можно изучать напримере какой-либо одной физической величины. Здесь мы будемрассматривать механические колебания. М е х а н и ч е с к и м и к о л е б а н и я м и называются такие колебания, для которых изменяющейсяфизической величиной является о т к л о н е н и е материальной точки (илисистемы материальных точек) от положения равновесия.2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯГ а р м о н и ч е с к и м и к о л е б а н и я м и называются колебания,при которых изменение физической величины X с течением времени (законколебаний) выражается формулой:(1)X  A sin(t   )Здесь X является функцией времени, т.е.

X  X t  . Множитель Aпоказывает наибольшее значение, которое может принимать колеблющаясявеличина X и называется а м п л и т у д о й колебаний. Амплитуда имеетразмерность величины X .Величина  называется к р у г о в о й (или угловой) ч а с т о т о й .Круговая частота  связана с периодом колебаний T и с обычной частотой (числом колебаний в единицу времени) соотношениями:  2 2T(2)Частота  измеряется в герцах [1 Гц = 1 колебанию в секунду, 1 кГц(килогерц) = 1000 Гц, 1 МГц(мегагерц) = 1 млн. Гц].Величина t   , стоящаяпод знаком тригонометрическойфункции, называется ф а з о йколебаний. Фаза измеряется вугловых единицах, т.е.

в градусахили радианах (долях  ). СРис. 2помощьюфазыможнохарактеризоватьотклонениеколеблющейсявеличиныотнулевого значения в заданный момент времени t . В частности, если значениеt таково, что фаза кратна целому числу  , т.е. t    n ( n — целоечисло), то X  0 ; если t    2n  1 2 , то X   A (т.е. максимально);если t    2n  1 4 , то X   A 2 и т.д.Величина  называется н а ч а л ь н о й ф а з о й . Выражение A sin показывает значение величины X в начальный момент времени t  0 .

В4частности, если   0 , то X  A sin t (в начальный момент времени приt  0 X  0 ). Если    2 , то X  A cos t (в начальный момент времени Xимеет максимальное значение, т.е. равно A ).При изображении гармонических колебаний на графике по осиабсцисс откладывают время (в секундах или долях периода) или фазу (вугловых единицах). По сои ординат откладываю значения колеблющейсявеличины.

При этом получается кривая, имеющая вид синусоиды, сдвинутойвлево по оси абсцисс на величину, равную начальной фазе. На рис. 2 надосью абсцисс нанесен масштаб в угловых единицах (долях  ), а под осьюабсцисс — в единицах времени (долях периода) Если при изученииколебаний нас интересует не значение колеблющейся величины в данныймомент времени, а признаки, характеризующие повторяемость движения:частота, период, характер изменения в течение периода и т.д., — тоначальный момент времени может быть выбран произвольно.

В этом случаепри изучении отдельной колеблющейся величины начальная фаза не играетникакой роли (ее можно положить равной нулю или  2 для простотыформул). В частности, гармонические колебания можно записывать также ввиде(3)X  A cos(t   )Эта формула равносильна формуле (1). Она получается заменой вформуле (1)  на    2 (это значит, что начальный момент временивыбран 1 4 периода позже).Однако начальная фазасущественна, если есть две (илиболее) величины, колеблющиесяпо гармоническому закону содинаковойчастотой(периодом), и необходимо знать,на какую долю периода позже(или раньше) одна из величина)б)достигаетмаксимальногоРис.

3значения (или проходит нулевоезначение), чем другая. Этоможет быть охарактеризовано р а з н о с т ь ю (с д в и г о м ) ф а з этихвеличин. В любой момент времени эта разность фаз остается постоянной иравной разности начальных фаз. Всегда можно выбрать начальный моментвремени так, чтобы начальная фаза одной из колеблющихся величин быларавна нулю. Тогда разности фаз этой и всех остальных величин будут равныих начальным фазам.Про величины, колеблющиеся с одинаковой частотой, одновременнодостигающие наибольших значений, одновременно проходящие нулевыезначения и изменяющиеся в любой момент времени в одну и ту же сторону,5говорят, что они колеблются в о д и н а к о в ы х ф а з а х (рис. 3,а).

Если жевеличины одновременно достигают максимальных значений, одновременнопроходят нулевые значения, но изменяются в любой момент времени впротивоположные стороны, то про них говорят, что они колеблются вп р о т и в о п о л о ж н ы х ф а з а х (или в противофазах) (рис. 3,б). Фазывеличин, колеблющихся в одинаковых фазах, могут быть и неравными другдругу, но отличаться между собой на величину, кратную 2 (т.е. на 2n ).Фазы величин, колеблющихся в противофазах, могут отличаться междусобой на величину, кратную нечетному числу  [на 2n 1 ].Часто для сравнения фаз двух или большего числа величин,колеблющихся по гармоническому закону с одинаковой частотой, ихизображают на одном графике.

Эти величины могут иметь разнуюфизическую природу. Для каждой из этих величин на оси ординат долженбыть нанесен свой масштаб.3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХКОЛЕБАНИЯХСкорость любого прямолинейного движения определяется какпроизводная перемещения L по времени:VdLdt(4)(часто первую производную по времени обозначают точкой над буквой:V  dL dt  L ). Если колеблющейся величиной является отклонениематериальной точки от положения равновесия, то это отклонение X и будетперемещением точки, которое она совершит к моменту времени t .

В случаегармонических колебаний, когда X  A sin t   , скорость будет:VилиdX d [ A sin(t   )]   A cos(t   ) ,dt dt(5)V   A sin(t    )2Мы видим, что скорость V при гармонических колебаниях такжеизменяется с течением времени по гармоническом закону, только, какговорят, опережает по фазе отклонение X на  2 , т.е.

в тот момент, когдаотклонение наибольшее, скорость равна нулю, а когда точка проходитположение равновесия, скорость достигает максимального значения.Ускорение для прямолинейного движения определяется какпроизводная скорости по времени (или вторая производная перемещения повремени).

В случае гармонических колебанийadV d [ Acos(t   )]   2 A sin(t   )dt dt(6)6Отсюда следует, что ускорение при гармонических колебаниях тожеизменяется по гармоническому закону, но при этом колеблется впротивоположной фазе с отклонением, т.е. всегда имеет противоположныйзнак.Изучение гармонических колебаний важно по ряду причин.1.