4-Введение к лаб. работам на законы сохранения (Методические разработки к лабораторным работам), страница 3

 ( L1  L 2  ...  L N ) dtdtdtdtdtТак как моменты внутренних сил попарно равны и противоположны по знаку 12    21 ,  13    31 ,...,  1 N    N 114и т.д., то в результате сложения в правой части останется лишь суммамоментов внешних сил, т.е.  M i . Таким образом, мы получаем уравнениеiмоментов для системы материальных точек:dL Mi ,dti(25)т.е. производная по времени момента импульса системыматериальных точек относительно некоторой оси равна суммемоментов внешних сил, действующих на систему (относительнотой же оси).Из этого уравнения вытекает закон сохранения момента импульсасистемы материальных точек: если все время равна нулю суммамоментов внешних сил, действующих на систему, относительнонекоторой оси, то момент импульса системы относительно тойже оси остается постоянным.

В самом деле, если  M ii 0 , тоdL0dt, и, следовательно, L  const .Момент импульса замкнутой системы относительно любой оси остаетсяпостоянным, так как в этом случае отсутствуют внешние силы. Однако могутбыть случаи, когда момент импульса сохраняется относительно какой-либооси и для незамкнутой системы. В частности, это бывает, если все внешниесилы направлены вдоль этой оси, или линии, по которым направленывнешние силы, проходят через ось.ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙОСИТвердое тело является частным случаем системы материальных точек.Поэтому для него верны все полученные выше выводы. Найдем уравнениемоментов в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.При вращении твердого тела с угловой скоростью  каждый элементтела с массой mi движется в плоскости, перпендикулярной оси, поокружности некоторого радиуса ri с той же угловой скоростью.

Моментимпульса  Li каждого элемента тела можно подсчитать по формуле (21): L  m i ri   J i  ,2(26)где J  m i ri 2 - момент инерции элемента относительно оси вращения.Момент импульса твердого тела найдем, сложив моменты импульсов всехего элементов:15L    Li    J i  J  ,i(27)iгде J   J i   m i ri 2 - момент инерции тела относительно оси вращения.iiТак как момент инерции J - величина постоянная, то из уравнениямоментов (25) получим для твердого телаdL dd (J )  J Mi .dtdtdti(28)d  - угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела. ТакимdtЗдесьобразом, уравнение моментов в случае вращения твердого тела имеет видJ  Mi ,(29)iгдеM- момент внешних сил, действующих на тело, относительно осиiiвращения.MЕслиi 0 , то из уравнения (28) следует, чтоid (J )0 иdtL  J   const . В этом случае твердое тело вращается с постоянной угловойскоростью.Найдем еще выражение для кинетической энергии твердого тела привращении его вокруг неподвижной оси.

Каждый элемент тела в этом случаеимеет скорость v i    ri . Его кинетическая энергияm i v im i ri  2 J i  2.W 22222Складывая энергию всех элементов тела, получимW   W i  Так как JiiiJ i  2  222 Ji.i J - момент инерции тела относительно оси вращения, тоiокончательно получимJ 2W .2(30)16.