4-Введение к лаб. работам на законы сохранения (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированных средМетодическая разработкапо общему физическому практикумуВВЕДЕНИЕ К ЛАБ. РАБОТАМ НА ЗАКОНЫСОХРАНЕНИЯДоцент Иванова Т. И., доцент Пустовалов Г.Е.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.3ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯБаллистический метод определения скорости пули (снаряда)основывается на применении законов сохранения: закона сохранениямеханической энергии, закона сохранения импульса (количества движения) изакона сохранения момента импульса (момента количества движения).Рассмотрим эти законы.КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛЕсли работа силы, совершаемая над материальной точкой, не зависитот формы траектории этой точки, а определяется только начальным иконечным положением точки, то сила называется потенциальной, иликонсервативной.

Из консервативных сил в механике рассматриваютсясилы тяготения и упругости.Если же работа силы над материальной точкой зависит от формытраектории этой точки, то такая сила называется непотенциальной илинеконсервативной. Примером неконсервативной силы является силатрения.При рассмотрении движения совокупности тел часто бывает удобнонекоторые из этих тел мысленно объединить в систему.

Силы, которыедействуют на каждое из тел системы со стороны других тел, принадлежащихэтой системе, называются внутренними силами. Наоборот, те силы,которые действуют на тела системы со стороны тел, не включенных в этусистему, называются внешними.Система тел, на которую не действуют внешние силы, называетсязамкнутой.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯМЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИВ том случае, когда внутренние силы являются потенциальными,система при любом заданном расположении тел, входящих в нее, обладаетопределенной потенциальной энергией U . При изменении расположения телсистемы внутренние силы совершают некоторую суммарную работу А . Этаработа равна уменьшению потенциальной энергии системы  U . Чтобынайти саму величину потенциальной энергии системы, нужно ещеусловиться, при каком расположении тел системы ее потенциальная энергияравна нулю.

Таким образом, потенциальна энергия системы равна взятой собратным знаком работе всех внутренних потенциальных сил при изменениирасположения тел системы от заданного до расположения, при которомвеличина потенциальной энергии считается равной нулю.4Кинетическая энергия системы W равна сумме кинетических энергий2mi vi, где mi – масса и v i –2скорость материальной точки системы с номером i .Полная механическая энергия системы E складывается из еекинетической энергии W и ее потенциальной энергии U .всех материальных точек системы, т.е.

W  Полная механическая энергия замкнутой системы тел,внутренние силы которой потенциальны, не изменяется стечением времени, т.е.E  W  U  const(1)Отсюда следует, чтоW  U  0илиW  U(2)Это значит, что приращение кинетической энергии в этом случае равноуменьшению потенциальной энергии.Если между телами системы действуют также и неконсервативные силы,то полная механическая энергия системы изменится, причем это изменениеравно работе Анк неконсервативных сил.В случае незамкнутой системы полное изменение ее механическойэнергии E равно сумме работ: 1) Авнеш внешних сил и 2) Анк неконсервативных сил, действующих в этой системе.Таким образом, в общем случаеЕ  W  U  Авнеш  Анк(3)ИМПУЛЬС, ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯИМПУЛЬСАРассмотрим систему, состоящую из N материальных точек.

Точка сномером i , имеющая скорость v i и массу mi , как известно, обладаетимпульсом (количеством движения) K i  mi v i . Импульсом K всей системымы назовем векторную сумму импульсов всех точек системы, т.е.NNi 1i 1K   K i   mi vi .При движении каждой точки должен выполняться 2-й закон Ньютона. Вчастности, для точки с номером i этот закон имеет вид5mi a i   f,j(4)jгде a i - ускорение точки,fj- сумма всех сил, действующих на точку.jУчитывая, что mi  const , mi ai  mid vi d ( mi v i ) d K i, уравнение (4) можноdtdtdtпредставить в видеd Ki f j.dtj(5)Пусть теперь f i1 , f i 2 ,..., f iN - внутренние силы, действующие на нашуточку со стороны точек 1, 2, 3, …, N соответственно, а F i - сумма внешнихсил, действующих на эту точку. Напишем для каждой точки системы,начиная с точки 1 и кончая точкой N , второй закон Ньютона в виде (5):dK1 f 12  f 13  ...

 f 1 N  F 1 ,dtdK2 f 21  f 23  ...  f 2 N  F 2 ,dt.....................................................(6).....................................................dK N fdtN1 fN2 ...  fN ,N 1 F N.Сложим теперь эти уравнения. При этом учтем, что силы взаимодействиямежду точками системы, согласно 3-му закону Ньютона, попарно равны ипротивоположны по направлению, т.е.

f 12   f 21 , f 13   f 31 ,..., f 1 N   f N 1 ит.д. Так как все эти пары войдут в сумму сил, то при сложении правых частейуравнений (6) сумма внутренних сил оказывается равной нулю; в правойчасти остается только  Fi - сумма внешних сил. Складывая левые частиiуравнений (6) , учитываем, что, согласно правилам дифференциальногоисчисленияdK1 dK2dK NddK ...  ( K 1  K 2  ...  K N ) ,dtdtdtdtdtгде по определению K  K 1  K 2  ...

 K N является импульсом всей системы.Таким образом, мы приходим к уравнениюdK Fi ,dti(7)6определяющему изменение импульса системы: производная по времениимпульса системы (изменение импульса в единицу времени) равнасумме внешних сил, действующих на точки системы.Если в любой момент времениFii 0 , тоdK 0 . Следовательно,dtK  const . Таким образом, из уравнения (7) вытекает закон сохраненияимпульса: импульс системы материальных точек остаетсяпостоянным, если сумма внешних сил, действующих на систему,все время равна нулю.В частности, в замкнутой системе, на которую внешние силы вообще недействуют, импульс сохраняется.Вследствие векторного характера уравнения (7) проекция импульса Kна некоторое направление остается постоянной и в том случае, когда насистему действуют внешние силы, сумма которых, вообще говоря, отличнаот нуля, но сумма проекций внешних сил на это направление все время равнанулю.Например, проекция силы тяжести на горизонтальное направление всевремя равна нулю.

Поэтому в системе, для которой внешними силамиявляются силы тяжести, остается постоянной проекция импульса системы нагоризонтальное направление.МОМЕНТ СИЛЫПусть на некоторую материальную точку A действует сила F (см.рис. 1). Чтобы найти момент этой силы относительно некоторой оси QS ,через точку A проводитсяплоскость P ,F Q +перпендикулярная оси. ОтFточки O пересечения осиплоскостью к точке Aпроводится радиус-вектор r .MQSСила F раскладывается наA 90 0две составляющие:lсоставляющую F | | ,PrOнаправленную вдоль оси и в090+дальнейшем неFSиспользуемую, иFсоставляющую F  ,лежащую в плоскости P .Тогда величина момента силыРис.

1F относительно оси QSопределяется формулой7MQS  rF sin  ,(8)где r - величина радиуса-вектора r , F - величина составляющей F  , а - угол между направлением радиуса-вектора и направлением F  .Кратчайшее расстояние l между осью и прямой, по которой направленасоставляющая F  , называется плечом. Из рисунка видно, что l  r sin .Таким образом, согласно формуле (8) , величину момента можнопредставить в виде(9)M QS  F l .Составляющую F  можно, в свою очередь, разложить на составляющие,лежащие в плоскости P : одну вдоль радиуса-вектора , а другую перпендикулярно ему.

На рис. 1 показана только составляющая F  ,перпендикулярная радиусу-вектору. Из рисунка 1 видно, что величина этойсоставляющей F   F  sin .При помощи формулы (8) теперь найдем, чтоM QS  rF .(10)Все три формулы (8), (9) и (10) равноправны. В различных случаяхудобно пользоваться какой-либо из них. В частности, при помощи формулы(10) легко доказать следующее. Если к некоторой точке приложенонесколько сил, то момент суммы этих сил относительно некоторой оси равенсумме моментов всех этих силYотносительно той же оси.

СледуетFyFотметить, что момент суммы сил,приложенных к разным точкам,вообще говоря, не равен сумме++моментов этих сил.Формулы (8), (9) и (10)yFxдают величину момента силы. ЗнакA_момента силы определяетсяследующим образом. Выбираетсяположительное направлениеZвращения вокруг данной оси (приOxX использовании правовинтовойсистемы это вращение противчасовой стрелки, если смотреть соРис. 2стороны положительногонаправления оси).

Если F вращает (направлена) в сторону положительного направления вращения, томомент силы положителен, если же F  направлена в сторону8отрицательного направления вращения, то момент отрицателен. Моментсилы на рисунке 1, согласно этому правилу, положителен.Удобно считать момент силы относительно оси вектором, направленнымвдоль этой оси (в положительном направлении, если момент положителен, ив отрицательном в обратном случае).

Согласно правилам действия свекторами, момент силы может быть представлен в виде векторногопроизведенияM QS  r , F  .(11)В самом деле, величина этого векторного произведения совпадает свеличиной момента M QS согласно формуле (8), а направлениеперпендикулярно и r и F  , т.е. вектор M QS направлен вдоль оси всторону, определяемую правилом векторного произведения. Заметим еще,что формулы (8), (9) и (10) вместе с правилом знаков, приведенным выше,дают с этой точки зрения проекцию вектора M QS на направление оси QS .Рассмотрим теперь момент силы F , если ось, относительно которойвычисляется момент, представляет собой ось Z прямоугольной декартовойсистемы координат.

В этом случае плоскость, в которой находится точка Aприложения силы, перпендикулярна оси Z и параллельна плоскости XOY(см. рис. 2, на котором ось Z проходит через точку O перпендикулярноплоскости рисунка по направлению к читателю). Составляющая F  силыF лежит в плоскости, параллельной плоскости XOY , т.е. в плоскостирисунка. Эту составляющую можно, в свою очередь, разложить насоставляющие F x и F y , вдоль координатных осей X и Y .Момент M z силы F будет равен сумме моментов составляющих F xи F y относительно оси Z .