1-Погрешности измерений (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙДоцент Пустовалов Г. Е.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.2ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ1. ВВЕДЕНИЕПонятие о погрешностях. Измерения не могут быть выполненыабсолютно точно. Всегда имеется некоторая неопределенность в значенииизмеряемой величины.

Эта неопределенность характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения. Приведем некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.1. Ограниченная точность измерительных приборов.2. Влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий (напряжения в электрической сети, температуры и т.д.)3.

Действия экспериментатора (включение секундомера с некоторымзапаздыванием, различное размещение глаз по отношению к шкале прибора и т.п.).4. Неполное соответствие измеряемого объекта той абстракции, которая принята для измеряемой величины (например, при измерении объемапластинка считается параллелепипедом, в то время как у нее могут быть закругления на ребрах).5. Не строгость законов, которые используются для нахождения измеряемой величины или лежат в основе устройства прибора.Классификация погрешностей. В зависимости от причин, приводящих к возникновению погрешностей, различают их следующие виды.Промахи - грубые ошибки в значениях измеряемой величины.Систематические погрешности - такие погрешности, которыесоответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значениявсегда в одну сторону - либо в сторону завышения, либо в сторону занижения.

При повторных измерениях в тех же условиях величина погрешностиостается неизменной. При закономерных изменениях условий погрешностьтакже меняется закономерно.Случайные погрешности. Даже при очень строгом соблюденииодних и тех же условий повторные измерения одной и той же величины,как правило, приводят к значениям, отличающимся друг от друга, Эта разница в значениях может вызываться причинами самой различной природы.Отклонения от истинного значения при этом могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, причем величина отклонения такжеможет быть различной.3Приборные погрешности - погрешности, связанные с точностьюизготовления прибора, используемого для измерения.

Они могут носить каксистематический, так и случайный характер.В зависимости от того, каким способом получается значение измеряемой величины, различают погрешности прямых (непосредственных) икосвенных измерений. Прямыми называются измерения, в результате которых значение измеряемой величины получается сразу по шкале прибора(например, измерение длины штангенциркулем) или при помощи какоголибо способа сравнения с эталоном (например, взвешивание на рычажныхвесах). Косвенные - это такие измерения, когда для нахождения некоторойфизической величины сначала измеряют прямыми измерениями несколькодругих величин, а затем по их значениям с помощью каких-либо формулвычисляют значение искомой величины.

Одну и ту же величину частоможно найти путем как прямых, так и косвенных измерений. Например,скорость автомобиля может быть определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного расстояния на время движения(косвенное измерение).2 ПРОМАХИПромахи, как правило, вызываются невнимательностью (например,при измерении диаметра отверстия штангенциркулем часто забываютучесть толщину его ножек). Они могут возникать также вследствие неисправности прибора.

От промахов не застрахован никто, однако по мереприобретения экспериментальных навыков вероятность промахов заметноуменьшается.3. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИСистематические погрешности могут возникать по ряду причин. Вотнекоторые из них.1. Несоответствие прибора эталону (например, пластмассовые линейкис течением времени обычно укорачиваются на несколько миллиметров, секундомер может иметь неправильный ход - спешить или отставать на несколько секунд в сутки).2.

Неправильное использование прибора (например, перед взвешиванием не установлено равновесие ненагруженных весов).43. Пренебрежение поправками, которые нужно ввести в результатыизмерения для достижения требуемой точности (например, не учтена зависимость температуры кипения воды от атмосферного давления).Систематические погрешности, обусловленные некоторыми из этихпричин, могут быть сведены к минимуму проверкой приборов, их тщательной установкой, анализом необходимых поправок и т.д. Погрешности, вызванные некоторыми причинами, могут быть скрыты в течение длительного времени и обычно обнаруживаются при нахождении тех же физическихвеличин принципиально другими методами. Анализ подобного рода систематических погрешностей может в ряде случаев привести к открытию неизвестных ранее явлений природы.В учебных лабораториях систематические погрешности обычно игнорируются и анализ их не производится.4.

СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИСлучайные погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения. Такие причины могутбыть объективными (неровности на поверхности измеряемого предмета;дуновение воздуха, ведущее к изменению температуры; скачкообразноеизменение напряжения электрической сети и т.п.) и субъективными (разнаясила зажима предмета между ножками штангенциркуля, неодинаковое расположение глаза по отношению к шкале прибора, различное запаздываниепри включении секундомера и т.п.). Эти причины могут сочетаться в различных комбинациях, вызывая то увеличение, то уменьшение значения измеряемой величины.

Поэтому при измерениях одной и той же величинынесколько раз получается, как правило, целый ряд значений этой величины,отличающихся от истинного значения случайным образом.Закономерности, описывающие поведение случайных величин, изучаются теорией вероятностей. Под вероятностью мы здесь будемподразумевать отношение числа случаев, удовлетворяющих какому-либоусловию, к общему числу случаев, если общее число случаев очень велико(стремится к бесконечности). Максимальное значение вероятности равноединице (все случаи удовлетворяют заданному условию).

При описаниислучайных погрешностей обычно используются следующие предположения.1. Погрешности могут принимать непрерывный ряд значений.2. Большие отклонения измеренных значений от истинного значенияизмеряемой величины встречаются реже (менее вероятны), чем малые.3. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.5Эти предположения справедливы не всегда. Опыт, однако, показывает,что все же в подавляющем большинстве случаев они выполняются достаточно хорошо.Среднее арифметическое. Пусть при измерении физической величины а получено n значений: a1, a2, ..., ai , ..., an .

Предполагается, что среднееарифметическое этих значений (обозначаемое чертой над буквой)aain(1)стремится к истинному значению измеряемой величины, если n стремится кбесконечности. При конечном числе измерений среднее арифметическоепредставляет собой наиболее вероятное значение измеряемой величины. Теория вероятностей позволяет оценить возможное отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины.Погрешности отдельных измерений. За меру погрешности значенияai , полученного при отдельном измерении, принимают разность междуэтим значением и истинным значением а. Но так как истинное значение анеизвестно то вместо него берут среднее арифметическое a серии измерений. Разностиa1 a1 a ,a2 a2 a ,...................an an a(2)мы будем называть абсолютными погрешностями отдельных измерений.Среди погрешностей a1, a2, ..., an встречаются как положительные, таки отрицательные погрешности.

Легко показать, что алгебраическая суммаабсолютных погрешностей равна нулю.Средней квадратичной погрешностью, или стандартным отклонением, отдельного измерения называется величинаSaia12a22 ...n 1an2ai2.n 1(3)Здесь n - число измеренных значений. Заметим, что для случая, когдапроведено лишь одно измерение (n = 1), формула (3) неприменима, и дляоценки погрешности следует пользоваться другими соображениями.

Однимизмерением ограничиваются, если заведомо известно, что приборная погрешность значительно превышает случайную погрешность.6Стандартное отклонение имеет следующий смысл. При большом числеизмерений вероятность того, что модуль значения ai не превышаетSai или, что то же самое, что значение ai лежит в пределах от a Sai доaSai , составляет 0,672/3. Иначе говоря, если величина a измерена, на-пример, 100 раз, то около 67 случаев будет таких, что aSai < ai < aSai .Погрешность среднего арифметического. Средняя квадратичная погрешность Sai отдельного измерения, определяемая формулой (3), свозрастанием n стремится к некоторой определенной величине (собственнопогрешностью согласно теории вероятности и является этот предел). С другой стороны, среднее арифметическое a по мере увеличения n должноприближаться к истинному значению а (если, конечно, устранены систематические погрешности).