01 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЛаб. работа № 1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛПРОСТЕЙШЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙФОРМЫРаботу поставили доценты Пустовалов Г.Е., Белов Д.В.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц.

Авксентьев Ю.И.2ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙКлассификация погрешностейНикакая физическая величина в принципе не может быть измеренаабсолютно точно, а лишь с некоторой погрешностью. Например, записьaaa,aa... %(1)означает, что истинное значение величины a лежит с выбраннойвероятностью (о ней см. далее) в пределах a a a a a , где a - среднееa называетсязначение величины a . Интервалабсолютнойnoгрешностью измерения величины а . Отношение a a абсолютнойпогрешности к среднему значению называется относительнойпогрешностью - она характеризует точность измерения величины а.Погрешности подразделяются на систематические,случайные иприборные .

Систематические погрешности действуют "в одну сторону",давая при повторных измерениях либо всегда завышенное, либо всегдазаниженное значение измеряемой величины. Они могут быть обусловленынеисправностью прибора (в частности, сбит нуль отсчета), неучтенностьюкакого-либо фактора в формуле (если искомая величина рассчитываетсятеоретически по этой формуле) и т.п. Предполагается, что во всех задачахфизического практикума систематические погрешности сведены кминимуму и учитываться не будут.Случайные погрешности, напротив, таковы, что при повторныхизмерениях приводят с той или иной вероятностью к значениямизмеряемой величины как меньшим, так и большим ее истинногозначения. Случайные погрешности часто носят субъективный характер,т.е. связаны с несовершенством экспериментатора (например, сневозможностью включить секундомер точно в нужный момент илинавести отсчетное устройство микроскопа точно на место с минимальнойосвещенностью в дифракционной картине и т.п.).

Сюда же можно отнестислучай, когда измеряемая величина на самом деле не постоянна, но ееотклонения от среднего значения малы и носят случайный характер(например, шероховатый шар можно рассматривать как идеальный, аотклонения значений его диаметра, измеренного в разных местах,трактовать как случайную погрешность). Что касается приборныхпогрешнстей, то они связаны с несовершенством (степенью точности)измерительного прибора.Наконец, по методу их оценки погрешности следует подразделить напогрешности непосредственно измеряемых величин (т.е. величин,измеряемых тем или иным прибором), и погрешности косвенноизмеряемых величии (т.е.

величин, рассчитываемых по формуле, вкоторую входят непосредственно измеренные величины).3Оценка погрешностей непосредственно измеряемых величинДля определения значения некоторой физической величины аобычно проводят серию из n измерений (например, определяя времяпадения тела, опыт воспроизводят при одинаковых условиях n раз; прирегистрации положения линии спектра зрительную трубу n раз наводят наэту линию и т.п.).Cреднее значение a результатов отдельных измерений a1 , a2 ,...anaa1 a2 ... ann(2)дает наиболее вероятное значение измеряемой величины a .

Разностьaia(3)aiопределяет абсолютную погрешность i-ro измерения.При ограниченном числе измерений n среднее значение (2) неявляется с достоверностью истинным значением величины a, но можнонайти интервал a , n такой, что с заданной вероятностью (доверительнойвероятностью) истинное значение величины а лежит в пределахaa,naaa,n(4)Этот интервал называется доверительным интервалом, отвечающимдоверительной вероятности.

Величина доверительного интервалаполучается умножением средней квадратичной пorрешности среднегозначения (или стандартного отклонения) величины aSa( a1 )2 ( a2 )2 ... ( an )2n( n 1 )(5)на так называемый коэффициент Стъюдента t ,n :a,nt,nSa(6)Значения коэффициента Стъюдента, как и доверительного интервала,зависят от доверительной вероятностии от числа измерений n иприведены в таблице 1. Если условиться искать доверительный интервал0.95 , как это принято в нашем практикуме, то длядля вероятностисерии измерений из пяти опытов (n 5) коэффициент Стъюдента, каквидно из таблицы, равен t0.95;5 2.8 . Доверительный интервал определяетслучайную абсолютную погрешность.4Таблица 1ДоверительнаявероятностьДля оценки приборной погрешности вслучаепрецизионныхизмеренийследут обращаться к инструкции поэксплуатации каждого конкретного0.670.900.95 0.99прибора.

В задачах практикума с22.06.312.763.7электроннымиизмерительными41.32.43.25.8приборами в качестве абсолютной51.22.12.84.6погрешности можно взять единицу в61.22.02.64.0последнемразрядечисла,101.11.82.33.3появляющегося на дисплее прибора.1001.01.72.02.6При грубых измерениях простымиприборами (секундомер, штангенциркуль) за приборную погрешностьобычно принимается половина цены (или сама цена) наименьшего деленияшкалы прибораaпр 0.5 ( цена деления прибора )(7)Числоизмеренийnили точность нониуса (о нониусе см. далее), если таковой имеется. Полнаяабсолютная погрешность непосредственно измеряемой величиныопределяется формулой:a( a,n)2 ( aпр )2 .(8)Если одна из погрешностей aпр или a , n составляет менее 0,2 другой, тоей в формуле (8) можно пренебречь, так как ее относительныи вклад вполную погрешность будет менее 2%. Как видно из формул (5) и (6),доверительный интервал a , n убывает с ростом числа измерений (длябольшого числа измерений n приблизительно обратно пропорциональноn ).

Поэтому, увеличивая число измерений, в принципе можно свестипогрешность измерений (8) только к приборной: a aпр , что не всегдареализуется в задачах практикума.Результаты измерений и вычислений записывают в таблицу,приведенную в приложении «Рекомендуемая форма отчета» (см. таблицу 2для высоты H в Приложении на с.14). При вычислении a его значение,первоначально не округляя, записывают так, чтобы в его целой части былатолько цифра в разряде единиц (например, a 0.05422м a 5.422 10 2 м );абсолютную погрешность записывают с таким же показателем степени у10 и округляют до двух значащих цифр (например, a 0.00114 мa 0.12 10 2 м (обращаем внимание: погрешности нельзя занижать,поэтому их округляют с завышением); округляют a до того же разряда,что и погрешность. Окончательный результат в нашем примере выглядиттак: a ( 5.42 0.12 ) 10 2 м; a a 2.3% .Во время работы в лаборатории достаточно занести в таблицу лишьрезультаты непосредственных измерений, приборную погрешность исреднее значение измеряемой величины.5Оценка погрешностей косвенно измеряемых величинЕсли физическая величина y вычисляется по формуле y y(a, b, c,...) ,выражающей ее через непосредственно измеряемые величины a, b, c ...

, томогут встретиться две ситуации:1. В некоторых задачах многократно измеряются принципиально однии те же значения величин a, b, c ...; при этом малые расхождениярезультатов отдельных измерений обусловлены только погрешностьюизмерения. В этом случае среднее значение y получается подстановкой вформулу средних значений a , b , c ... измеренных величин:yy ( a , b , c ,...) ,(9)а при расчете погрешностей величины y выбирают одну из двухследующих процедур, в зависимости от вида расчетной формулы:а) Если формула y y(a, b, c,...) не удобна для логарифмирования, т.е.имеет вид суммы или разности, то проще сначала вычислить абсолютнуюпогрешность y по формуле:yyaa2ybb2ycc2...

,(10)где a, b, c,... - абсолютные погрешности измеряемых величин a, b, c ....Частная производная функции y по тому или иному аргументу, напримерy aпо аргументу a, вычисляется по обычным правиламдифференцирования, причем прочие аргументыследует считатьпостоянными и равными их средним значениям: b b , c c ,... Квадратывыражений(частныхya ( y a ) a , yb ( y b ) b, yc ( y c ) c , ...дифференциалов функции y ), стоящие под корнем, определяют частныевклады в y , обусловленные погрешностью измерений, соответственно,величин a, b, c ... .

Желательно сопоставить их численные значения, чтобывыяснить, измерение какой (каких) величин привносит наибольший вкладв итоговую погрешность. После вычисления по формуле (10) абсолютнойпогрешности, делением на y находят относительную погрешность y y .В формуле (10) должны быть учтены вклады не только от измеряемыхвеличин, но и от тех фигурирующих в формуле для y величин, значениякоторых берутся из таблиц, справочников, интернета и т.п. Если ихпогрешность явно не указана, то в качестве абсолютной погрешностиберут пять единиц в первом отсутствующем разряде.

Например, находя всправочнике g 9.81 м / с 2 , полагаем g 0.005 м / c 2 : g ( 9.810 0.005)м / c 2 .б) В большинстве случаев расчетная формула y y(a, b, c,...) удобна длялогарифмирования, т.е. в ней преобладают действия умножения, деления ивозведения в степень, а суммы и разности, если и присутствуют, то в видеотдельных множителей. Тогда более простым для вычислений оказывается"логарифмический метод", когда сначала вычисляется не абсолютная, а6относительная погрешность y / y . Формулу для нее можно получить, есливзять натуральный логарифм y (при этом логарифм правой части формулыy y (a, b, c,...) предстает в виде алгебраической суммы логарифмов), а затем,рассматривая его как сложную функцию аргументов a, b, c ..., найти егоln y( a ,b,c ,...) d (ln y ) y 1 yи т.п.:adya y a1 y(ln y ) 1 y,, …(11)y bcy cчастные производные по a, b, c ...