Диссертация (Распространение и преломление упругих волн в акустооптических кристаллах), страница 7

Рассматривались как хорошо известный кристалл α - кварца (рисунок 1.17), так и интересный для акустооптики кристалл теллура (рисунок 1.18) [87, 88]. Графики демонстрируют,45что в α - кварце и теллуре наименьшей скоростью обладает медленная квазипоперечная мода (3) вдоль оси X в плоскости XOY (Ω = 90◦ ): V3α−SiO2 = 3277 м/си V3T e = 977 м/с.

При этом, направления вдоль которых квазипродольная мода(1) распространятеся с максимальной скоростью звука, различны: в α - кварценаибольшая скорость наблюдается под углом ϕ = 90◦ относительно оси X вкосом срезе Ω = 50◦ : V1α−SiO2 = 6980 м/с. В кристалле теллура максимальноезначение скорости достигается под углом ϕ = 60◦ относительно оси X в сеченииΩ = 20◦ : V1T e = 3633 м/с (таблица 1.6).Среди акустооптических кристаллов тригональной сингонии теллур обладает самыми низкими значениями фазовых скоростей. Кроме того, данныйматериал обладает достаточно сильной анизотропией, о чем говорит тот факт,что максимальная фазовая скорость медленной квазипоперечной акустическоймоды вдоль направления ϕ = 30◦ в плоскости XOY отличается от минимального значения скорости для той же акустической волны в направлении оси Y в1,4 раза.

В результате угол акустического сноса достигает значения ψ = 55◦ . Вдругих рассмотренных тригональных материалах этот угол не превышает 33◦ .На рисунке 1.19 показаны трехмерные поверхности медленностей для трехволн кристалла теллура. Представленные графики наглядно иллюстрируютакустическую анизотропию рассматриваемого материала для каждой моды.46Таблица 1.6: Значения максимальных и минимальных скоростей упругих волн в тригональных кристаллах : Ω - угол рассматриваемой плоскости относительно оси Z, ϕ - угол распространения волны относительно оси X в выбранном сеченииматериал max/min мода V, м/сAl2 O3LiN bO3LiT aO3α − SiO2Temax111305min35749max17102min33474max16076min33328max16980min33277max13633min3977Ωϕ77◦ 90◦0090◦ 60◦090◦0090◦ 60◦090◦0090◦ 60◦50◦ 90◦0090◦ 60◦20◦ 60◦0090◦ 60◦47Рис.

1.14: Сечения поверхностей медленностей кристалла корунда в различных плоскостях:сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости(2)48Рис. 1.15: Сечения поверхностей медленностей кристалла ниобата лития в различных плоскостях: сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирнаялиния – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости (2)49Рис. 1.16: Сечения поверхностей медленностей кристалла танталата лития в различных плоскостях: сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениямискорости (2)50Рис.

1.17: Сечения поверхностей медленностей кристалла α - кварца в различных плоскостях:сплошная линия соответствует быстрой акустической моде, (1), штрихпунктирная линия –самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости (2)51Рис. 1.18: Сечения поверхностей медленностей кристалла теллура в различных плоскостях:сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости(2)52Рис.

1.19: Трехмерные поверхности медленностей в кристалле теллура:а) быстрая мода,б) мода с промежуточным значением скорости,в) медленная мода531.3.Параметры анизотропииНа основе расчетов, представленных в предыдущих параграфах даннойглавы, был проведен анализ зависимостей акустических волн от направленияраспространения звука для различных кристаллов. Для изучения были выбраны тетрагональные материалы, как наиболее анизотропные. Анализ был проведен для сечения поверхностей медленностей плоскостью XOY, так как именнов этой плоскости анизотропия звука максимальна [1, 2].Необходимо сказать, что зависимости, полученные в предыдущих параграфах настоящей главы, построены по результатам решения уравнения Кристоффеля методом Кордано, описанным выше. Каждая мода представляет собойсовокупность значений, сгруппированных по порядковому номеру корня уравнения третьей степени.

В данном случае в плоскости XOY разделение на триволны возможно по их поляризациям, что обусловлено методикой расчета выражений для фазовых скоростей при решении уравнения Кристоффеля (1.11)в плоскости симметрии. Для данной плоскости могут быть получены аналитические выражения для скоростей:q22ρV = c11 + c66 + (c11 − c66 )2 cos2 2ϕ + (c12 + c66 )2 sin2 2ϕ, (1.13) QLq22ρVSQS = c11 + c66 − (c11 − c66 )2 cos2 2ϕ + (c12 + c66 )2 sin2 2ϕ, (1.14) 2ρVF QS = c44 .(1.15)Фазовые скорости первых двух мод (1.13,1.14), поляризации которых лежат вплоскости XOY, зависят от направления распространения. Третья мода, поляризация которой ортогональна рассматриваемой плоскости, обладает одинаковой фазовой скоростью во всех направлениях, то есть является изотропной [1, 2, 34, 36, 37, 39–43] и поэтому далее подробно рассматриваться не будет.1.3.1.Параметр анизотропии для фазовой скоростиКоличественно меру анизотропии волны можно охарактеризовать с помощью различных параметров.

Так, одним из параметров является отношениеквадратов максимальной и минимальной фазовых скоростей A = (Vmax /Vmin )2для одной и той же акустической моды (1.13,1.14,1.15) [2]. В терминах данного параметра наиболее анизотропной волной, распространяющейся в плоскости54XOY тетрагонального кристалла, является медленная квазипоперечная мода(SQS) (1.14), которую интересно рассмотреть более детально.Параметр анизотропии для медленной волны можно выразить через компоненты матрицы упругости тетрагонального кристалла [1, 2]:2c112=, c66 > c11 ,c − c1 − c12 /c111112A=2c66 /c112c66=, c66 < c11 .c11 − c121 − c12 /c11(1.16)(1.17)В таких материалах, как титанат бария и рутил получаются следующиевеличины параметра анизотропии: A(BaT iO3 ) = 2,3 и A(T iO2 ) = 4,0.

Для каломели, бромида и йодида ртути параметр анизотропии становится существенно больше: A(H2 Cl2 ) = 14,1, A(Hg2 Br2 ) = 19,2 и A(Hg2 I2 ) = 22,3 (таблица1.7). Наконец самое большое значение достигается в кристалле парателлурита:A(T eO2 ) = 24,6. Такая тенденция обусловлена тем, что данный параметр растет при приближении величины константы c11 к c12 . Это и приводит к сильнойанизотропии.

Максимальное значение A → ∞ достигается при c11 = c12 = c66 .На рисунке 1.20 представлены зависимости фазовой скорости для медленной волны (SQS) (1.14) от направления распространения в плоскости XOY вперечисленных тетрагональных материалах. Зависимости обратных скоростейзвука во всех рассмотренных материалах имеют много общего. Из рисунковможно видеть, что во всех средах присутствует ось симметрии четвертого порядка. Это приводит к повторению вида поверхностей медленностей через каждые 90◦ . Скорость медленной волны (SQS) (1.14) в данных кристаллах сильнозависит от направления. Однако, в средах с небольшими значениями параметра анизотропии A поверхности медленностей имеют более сглаженный вид. Вгалогенидах ртути и парателлурите параметр анизотропии A принимает большие значения, что отражается на крайне сильной изрезанности кривых обратных скоростей.

Зависимости на рисунке 1.20 представлены в одном масштабе,и можно видеть, что три внешние кривые соответствуют поверхностям медленностей для галогенидов ртути, в то время, как поверхность обратных скоростейкристалла парателлурита лежит внутри них. Это отражает тот факт, что скорости рассматриваемой моды в соединениях ртути меньше, чем в парателлурите, хотя он обладает максимальным параметром анизотропии A. Это связано55с близкими значениями констант упругости c11 и c12 и большими значениямидля плотностей.Рис. 1.20: Сечения поверхностей медленностей в плоскости XOY тетрагональных материаловВыражение (1.16) описывает тетрагональные кристаллические среды, укоторых c11 > c66 , в то время, как у кристалла парателлурита c11 < c66 и параметр анизотропии определяется формулой (1.17).

Можно отдельно рассмотретьслучай, когда c11 = c66 .При этом выражения для скоростей волны в плоскости XOY (1.13,1.14)могут быть представлены как произведение эллипсов с точностью до поправки.Из системы уравнений получаем:(2ρV 2 − c11 − c66 )2 = (c11 − c66 )2 cos2 2ϕ + (c12 + c66 )2 sin2 2ϕ.Совершая переход от полярной к декартовой системе координат:x = (1/V ) cos ϕ, y = (1/V ) sin ϕ, x2 + y 2 = (1/V 2 ),(1.18)56и используя формулы для двойных углов, имеем:x2 − y 2cos 2ϕ = cos ϕ − sin ϕ = V (x − y ) = 2,x + y22xy.sin 2ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ = 2xyV 2 = 2x + y222222(1.19)Подставляя (1.19) в (1.18), получаем:22 22 22ρx−y2xy− (c11 + c66 ) = (c11 − c66 )2+ (c12 + c66 )2,2222x +yx +yx2 + y 2(1.20)(2ρ − (c11 + c66 )(x2 + y 2 ))2 = (c11 − c66 )2 (x2 − y 2 )2 + (c11 − c66 )2 (2xy)2 , (1.21)(2ρ − (c11 + c66 )x2 − (c11 + c66 )y 2 − (c12 + c66 )2xy)×× (2ρ − (c12 + c66 )x2 − (c12 + c66 )y 2 + (c12 + c66 )2xy) = (c11 − c66 )2 (x2 − y 2 )2 ,(1.22)(c11 + c66 )2 x2 (c11 + c66 )2 y 2 2(c12 + c66 )xy++−1 ×2ρ2ρ2ρ 2(c11 + c66 )2 x2 (c11 + c66 )2 y 2 2(c12 + c66 )xyc11 − c66×+−−1 =(x2 − y 2 )22ρ2ρ2ρ2ρ(1.23)Левая часть выражения (1.23) представляет собой объединение двух эллипсов:(c11 + c66 )2 x2 (c11 + c66 )2 y 2 2(c12 + c66 )xy++= 1,2ρ2ρ2ρ(1.24)(c11 + c66 )2 x2 (c11 + c66 )2 y 2 2(c12 + c66 )xy+−= 1.2ρ2ρ2ρЕсли правая часть равна нулю, то есть c11 = c66 , то поверхности обрат-ных скоростей для быстрой и медленной волн (1.13,1.14) представляют собойпересечение двух эллипсов, как показано на рисунке 1.24.Таким образом, в материалах с близкими значениями констант упругости c11 и c66 , поверхности медленностей с хорошим приближением могут бытьописаны, как объединение двух эллипсов.57Рис.

1.21: Поверхности двух обратных скоростей гипотетического тетрагонального материалав плоскости XOY в случае c11 = c66Ярким примером анизотропных материалов, в которых совокупность двухзависимостей обратных скоростей практически не отличается от эллиптической, являются соединения ртути, а также кристалл парателлурита. Как былосказано выше, в данных материалах константа c11 близка к c66 , и значение параметра анизотропии очень велико (таблица 1.7).На рисунке 1.22 показаны поверхности медленностей для случая c11 = c66 ,при различных отношениях c11 /c12 . График, представленный на рисунке 1.22а,построен для отношения констант упругости c11 /c12 , соответствующего кристаллу парателлурита.

Далее на рисунках 1.22б и 1.22 величина c11 растет относительно c12 . Рисунок (рисунок 1.22в) отражает такое отношение константc11 /c12 , дальнейшее увеличение которого не приводит к существенному изменению графиков.1.3.2.Угловой параметр анизотропииВ настоящей работе также введен альтернативный параметр ∆ϕ, равныйвеличине угла, характеризующий угловую анизотропию. Этот параметр описывает не только меру вытянутости, но и угловую ширину зависимости обратныхскоростей медленной волны (SQS) (1.14). За угловой параметр анизотропии58Рис. 1.22: Поверхности медленностей гипотетических тетрагональных материалов в плоскости XOY в случае c11 = c66 при различных значениях c11 /c12взят угол между прямыми, соединяющими начало координат и точки пересечения поверхности обратных скоростей для медленной волны (1.14) с окружностью радиусом 1/Vср , как показано на рисунке 1.23.