Диссертация (Распространение и преломление упругих волн в акустооптических кристаллах), страница 3

Таким образом, получается уравнение Кристоффеля,описывающее движение плоских упругих волн в безграничной среде [1,2,60,61]:Γil pl = ρV 2 pi ,(1.4)где Γil = cijkl nj nk — компоненты тензора Кристоффеля, nj , nk — компонентыединичного вектора, ортогонального акустическому волновому фронту [1, 2].Тензор модулей упругости 4-го ранга cijkl , где i,j,k,l = 1,2,3, обладающийв общем случае 81 компонентой, можно представить как тензор 2-го ранга cαβс 36 компонентами, где α, β = 1...6. Переход от одной системы к другой осуществляется заменой пар индексов ij и kl на α и β согласно схеме: 11 → 1,22 → 2, 33 → 3, 32 = 23 → 4, 31 = 13 → 5, 21 = 12 → 6. Благодаря симметриитензора cαβ = cβα число независимых модулей упругости уменьшается до 21.В общем случае направление распространения упругой волны задаетсядвумя углами: ϕ и θ, где угол ϕ определяет поворот плоскости, заданной волновым вектором и осью Z относительно оси X материала, а угол θ — уголмежду направлением распространения волны и осью Z.

В сферической системекоординат нормаль к волновому фронту имеет компоненты: n1 = cos ϕ sin θ,n2 = sin ϕ sin θ и n3 = cos θ.Получив из уравнения (1.4) собственные значения тензора Кристоффеляλ = ρV 2 , можно найти зависимость фазовых скоростей акустических волн отнаправления распространения ультразвука. Далее, определив собственные век-15торы тензора, можно получить компоненты вектора поляризации pi . При исследовании распространения упругих волн в произвольных направлениях выбранных кристаллов необходимо решить уравнение Кристоффеля (1.4) в общемслучае.

Фазовые скорости определяются из условия разрешимости системы линейных уравнений |Γil pl − ρV 2 pi | = 0:(ρV 2 )3 − (ρV 2 )2 (Γ11 + Γ22 + Γ33 )++ (ρV 2 )(Γ11 Γ22 + Γ11 Γ33 + Γ22 Γ33 − Γ213 − Γ223 − Γ212 )−(1.5)− Γ11 Γ22 Γ33 − 2Γ12 Γ23 Γ13 + Γ213 Γ22 + Γ223 Γ11 + Γ212 Γ33 = 0.Можно видеть, что в общем случае уравнение Кристоффеля (1.5) представляет собой кубическое уравнение:x3 + ax2 + bx + c = 0,(1.6)гдеx = ρV 2 ,a = −(Γ11 + Γ22 + Γ33 ),b = Γ11 Γ22 + Γ11 Γ33 + Γ22 Γ33 − Γ213 − Γ223 − Γ212 ,c = Γ213 Γ22 + Γ223 Γ11 + Γ212 Γ33 − Γ11 Γ22 Γ33 − 2Γ12 Γ23 Γ13Производя подстановку y = x + b/3a, уравнение третьей степени (1.6)можно привести к неполному виду:y 3 + py + q = 0,(1.7)гдеq = 2(a/3)3 − ab/3 + c,p = −a2 /3 + b.По известной методике [62, 63] можно найти три корня уравнения (1.7):y1 = 2µ cos( α3 ),(1.8)y2 = −2µ cos( α3 + π3 ),y = −2µ cos( α − π ),3гдеµ=p−p/3,cos α = −q/2µ3 .3316Таким образом были получены выражения для собственных значенийуравнения (1.5), то есть для трех значений скоростей упругих волн V , распространяющихся в произвольном направлении кристаллической среды, характеризующейся тензором упругости Γij .В настоящей работе, из уравнения Кристоффеля (1.4) были рассчитаны основные характеристики упругих волн в произвольных направлениях.

Корректность полученных значений подтверждается их совпадением с аналитическимивыражениями для частных случаев плоскостей симметрии, широко представленных в литературе [1, 2, 64, 65].В настоящей главе были рассчитаны значения фазовых скоростей в различных кристаллических материалах для трех мод, распространяющихся вовсех направлениях в пространстве. Результаты расчета позволяют получитьграфическую интерпретацию поведения упругих волн в объеме кристалла, аименно, построить трехмерные поверхности обратных скоростей для детального изучения распространения звука в материале. Следует отметить, что вработе проведен анализ и сравнение интересных акустооптических кристаллови материалов хорошо известных в акустике. Однако, оказалось, что рассмотрение распространения упругих волн в данных материалах ранее проводилосьлишь в ограниченном наборе плоскостей [1, 2, 64, 65].

В настоящей работе впервые представлены результаты расчета основных характеристик ультразвука вовсех направлениях и для большого набора косых срезов.1.2.Расчет фазовой скорости упругих волн в кристаллахКак было отмечено во введении, анализ проводился для кристаллов ку-бического, тетрагонального, тригонального и гексагонального классов. Нижепредставлены данные анализа для материалов с высокой степенью симметрии.1.2.1.Кубические кристаллыДля полного описания упругих свойств кристалла кубической сингонии, всилу симметрии, достаточно трех значений констант матрицы упругости: c11 ,c12 и c44 . Таким образом, компоненты тензора Кристоффеля Γil = cijkl nj nk для17кубического кристалла равны [1, 2, 64, 65]:Γ11 = c11 n21 + c44 (n22 + n23 ),Γ12 = (c12 + c44 )n1 n2 = Γ21 ,Γ13 = (c12 + c44 )n1 n3 = Γ31 ,Γ22 = c44 (n21 + n23 ) + c11 n22 ,Γ23 = (c12 + c44 )n2 n3 = Γ32 ,Γ = c (n2 + n2 ) + c n2 .334412(1.9)11 3Для анализа характеристик распространения упругих волн были выбраны следующие кубические материалы, некоторые из которых используются вакустооптике:• германий (Ge),• кремний (Si),• селенистый тулий (T mSe),• сульфид самария-иттрия (SmY S).В таблице (1.1) представлены значения плотностей и упругих коэффициентов рассматриваемых кристаллов [2,66,67].

Германий и кремний выбраны дляанализа, так как они применяются в акустооптике в ИК диапазоне. Кристаллселенистого тулия выделяется сильной акустической анизотропией и достаточно низкими значениями фазовых скоростей вдоль отдельных направлений, чтоможет выгодно сказаться на основных характеристиках акустооптического взаимодействия.Используя известные значения констант упругости материалов (таблица1.1), и решив уравнение Кристоффеля (1.4) для кубической сингонии (1.9), были получены значения фазовых скоростей упругих волн для всех направленийраспространения ультразвука в кубических кристаллах германия, кремния иселенистого тулия.На рисунках 1.2 - 1.4 представлены графики, иллюстрирующие зависимости акустической медленности (1/V ) от направления распространения звука в18Таблица 1.1: Значения плотности ρ (кг/м3 )и коэффициентов упругости cij (×1010 Н/м2 ) кубических материаловGeSi5300232987405670c11 13,00 16,5617,9012,70c124,906,39-5,70-5,10c446,707,952,703,20ρT mSe SmY SРис.

1.1: Сечение кристалла плоскостью XOP. Ось P составляет с осью Z угол Ω в плоскостиYOZкристаллах для нескольких различных плоскостей. Расчет проводился в плоскостях, определяемых осями X и P (рисунок 1.1). Ось P составляет угол Ω сосью Z в плоскости YOZ. Рассмотрение выполнено для набора сечений, полученных вращением плоскости XOP вокруг оси X на угол Ω. Так, например,при угле Ω = 0 сечение поверхности акустической медленности совпадает сплоскостью XOZ (рисунок 1.2a), а при Ω = 90◦ – с плоскостью XOY.

В силусимметрии кубических кристаллов в настоящем параграфе представлены сечения плоскостью поверхностей медленностей в диапазоне 0 ≤ Ω ≤ 45◦ с шагом∆Ω = 15◦ . На графиках самая быстрая мода показана сплошной линией (1),более медленная волна нарисована пунктиром (2), а штрихпунктирной линиейпоказана самая медленная акустическая мода (3).19Рис. 1.2: Сечения поверхностей медленностей кристалла германия в различных плоскостях:сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости(2)а) Германий (Ge) и кремний (Si), класс m3mПоверхности медленностей для кубических кристаллов германия и кремния показаны на рисунках 1.2 - 1.3. Вид поверхностей обратных скоростей даетпредставление о том, как направлены оси симметрии кристалла.

Так, в плоскости XOZ (Ω = 0) зависимости совпадают сами с собой при повороте всейкартины на ϕ = 90◦ . Это говорит о том, что данная плоскость ортогональна оси симметрии четвертого порядка. Изменение угла Ω приводит к картине,отвечающей наличию оси симметрии второго порядка. Поэтому в косом срезепри Ω = 45◦ поверхности медленностей повторяются через ϕ = 180◦ , что подтверждает наличие осевой симметрии второго порядка. Сходство поверхностейобратных скоростей германия и кремния обусловлено тем, что оба материала принадлежат к классу симметрии m3m и обладают близкими значениямиотношений упругих коэффициентов: c11 /c44 (Ge) = 1,94 и c11 /c44 (Si) = 2,10,c12 /c44 (Ge) = 0,73 и c12 /c44 (Si) = 0,80 (таблица 1.1).

Однако абсолютные значения фазовых скоростей звука в данных кристаллах достаточно сильно от-20Рис. 1.3: Сечения поверхностей медленностей кристалла кремния в различных плоскостях:сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирная линия – моде с промежуточными значениями скорости(2)личаются из-за плотностей, несмотря на сходство форм кривых поверхностеймедленностей. Так, максимальную скорость в плоскости XOZ (Ω = 0) обоихматериалов имеет продольная волна (1), распространяющаяся в направленииϕ = 45◦ относительно оси X (рисунки 1.2а и 1.3а). Скорость данной моды вкремнии равна V1 (Si) = 9133 м/с, а в германии та же мода и в том же направлении обладает значительно меньшим значением скорости: V1 (Ge) = 5434 м/с.Аналогичная картина наблюдается и для самых медленных мод (3), распространяющихся в плоскости XOZ рассматриваемых материалов.