Диссертация (Распространение и преломление упругих волн в акустооптических кристаллах), страница 11

Также построенотрехмерное изображение, иллюстрирующее это физическое явление (рисунок2.14). Рисунок демонстрирует границы, внутри которых продольные акустические волны распространяются с меньшей фазовой скоростью, чем сдвиговые(рисунок 2.13а) и, наоборот, для более быстрой волны (рисунок 2.13б).Приведенные в настоящем параграфе данные позволяют найти все направ-83Рис. 2.13: Угол смены поляризации для двух волн в нескольких сечениях кристалла парателлурита: сплошная линия соответствует быстрой акустической моде (1), пунктирная линия –медленной моде (2)ления в кристалле парателлурита, соответствующие уникальному эффекту изменения типа поляризации волн.2.3.3.Влияние значений констант упругости на поляризацию волнв тетрагональных кристаллахВо второй главе диссертационной работы была рассмотрена зависимостьизменения поляризации упругих волн от характеристик тетрагональных кристаллов.

Для подробного исследования поляризации акустических волн в рассматриваемых материалах была выбрана плоскость XOY, так как тетрагональные материалы в данной плоскости обладают наибольшей анизотропией звука,как было показано в §1.3.Для материалов с тетрагональной сингонией в плоскости XOY можно получить аналитические зависимости для компонент вектора поляризации акустических волн, решив уравнение Кристоффеля (1.4) и получив значения собственных векторов [1, 2].Поскольку смещение частиц происходит исключительно в плоскости XOY,то отличны от нуля только проекции вектора поляризации на оси X и Y дляквазипродольной и быстрой квазипоперечной волн:84Рис.

2.14: Угол изменения поляризации волн в кристалле парателлурита в зависимости отполярного угла распространения упругих волн: а) быстрая акустическая мода, б) медленнаяакустическая модаp1 = √Γ12,(Γ11 −ρV 2 )2 +Γ212p2 = √ρV 2 −Γ11,(Γ11 −ρV 2 )2 +Γ212(2.1)где Γ11 = c11 cos2 (ϕ) + c66 sin2 (ϕ) и Γ12 = (c12 + c66 ) cos(ϕ) sin(ϕ).Третья акустическая мода со скоростью V3 поляризована вдоль оси Z, иее скорость не зависит от угла ϕ. Для определения компонент вектора поляризации p1 и p2 в плоскости XOY тетрагонального кристалла было использованоуравнение (2.1). На основе значений компонент вектора определено направление смещения относительно оси X как tg(β) = p2 /p1 . Угол между смещением,то есть поляризацией и волновым вектором акустической волны, рассчитывается по формуле: γ = β − ϕ, где ϕ - угол между направлением распространенияфронта волны и осью X.Как было отмечено в предыдущих параграфах, существует направлениераспространения упругих волн, характеризующееся углом ϕ∗ .

В этом направлении наблюдается трансформация квазипродольной волны в квазипоперечнуюили наоборот (γ = 45◦ ) [1, 2, 44, 51, 68, 92].В настоящем параграфе была определена зависимость угла ϕ∗ от величинкоэффициентов упругости. Анализ компонент тензора Кристоффеля (1.11) поз-85волил получить аналитическое выражение для ϕ∗ .Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов поляризацииp~ = (p1 , p2 , 0) и нормали к фронту волны ~n = (cos ϕ, sin ϕ, 0):(~p,~n) = |~p||~n|cosγ,(2.2)где γ - угол между направлением распространения акустической волны и вектором поляризации. Скалярное произведение может быть записано как [62]:p1 cos ϕ + p2 sin ϕ = cosγ.(2.3)Угол ϕ∗ находим из условия γ = 45◦ .

Выражение (2.3) примет следующий вид:p1 cos ϕ + p2 sin ϕ =√2/2.(2.4)Подставляя значения компонент вектора поляризации (2.1), получаемq1Γ12 cos ϕ + (λ − Γ11 ) sin ϕ = √(λ − Γ11 )2 + Γ212(2.5)2√Учитывая f (t) = a cos ϕ+b sin ϕ = A sin(ψ(t)+ϕ), где A = a2 + b2 , tg ψ = a/b,записанное выше скалярное произведение можно преобразовать:(~p,~n) = Γ12 cos ϕ + (λ − Γ11 ) sin ϕ = A sin(ψ + ϕ),где A =p(2.6)Γ212 + (λ − Γ11 )2 , tg ψ = Γ12 /(λ − Γ11 ).После ряда преобразований, получается система уравнений:tg ψ = Γ12 /(λ − Γ11 ),ψ + ϕ = π/4.(2.7)Используя формулу тангенса разности1 − tg ϕΓ12=1 + tg ϕ λ − Γ11(2.8)и подставляя скорость (1.18) в выражения для компонент тензора Кристоффеля, можно получить выражение для угла ϕ∗ , при котором происходит сменатипа акустической волны:tg 2ϕ∗ =c66 − c11.c12 + c66(2.9)86Таким образом, показано, что угол преобразования типа волны в плоскостиXOY тетрагональных кристаллов равен:ϕ∗ =1arctg2rc66 − c111= arctgc12 + c662sc66 /c11 − 1.c12 /c11 + c66 /c11(2.10)Рис.

2.15: Зависимость угла смены поляризации акустической моды от отношения упругихконстант c66 /c11 для различных значений параметра c12 /c11 в плоскости XOY для тетрагональных кристалловНа рисунке 2.15 на основе формулы (2.10) построены зависимости угласмены поляризации ϕ∗ от отношения упругих констант тетрагонального материала c66 /c11 для различных значений параметра c12 /c11 . Следует отметить,что соотношение c12 /c11 не превышает единицы. Коэффициент упругости c12 вбольшинстве кристаллических материалов является положительным. Тем неменее, в тетрагональном кристалле KDP значение константы упругости c12принимает отрицательное значение [93].

Именно поэтому соотношение c12 /c11рассмотрено в диапазоне −1 < c12 /c11 < 1. Для того, чтобы определить зависимость угла смены поляризации ϕ∗ от отношения коэффициентов c66 /c11 ,87значение угла ϕ∗ было рассчитано для шести величин c66 /c11 : c12 /c11 = −0,92,c12 /c11 = −0,50, c12 /c11 = −0,07, c12 /c11 = 0,07, c12 /c11 = 0,50 и c12 /c11 = 0,92.Выбор конкретных значений обусловлен тем, что отношение 0,92 характеризует кристалл парателлурита, величина −0.07 соответствует отношению константупругости кристалла KDP, а четыре другие значения рассмотрены для полногоисследования всего диапазона допустимых значений.

Как видно из уравнения(2.10), эффект изменения поляризации волны наблюдается только в случае:c66 /c11 > 1. Поскольку отношение c12 /c11 ограничивается по модулю единицей,угол ϕ∗ при разных отношениях c66 /c11 принимает значения в узком диапазоневеличин и ограничен горизонтальной асимптотой.

Это проиллюстрировано нарисунке 2.15. Таким образом, можно утверждать, что угол изменения поляризации моды ϕ∗ в плоскости ХОY тетрагональных кристаллов не превышаетвеличину ϕ∗ = π/8 = 22,5◦ . Следует отметить, что описанное выше необычноеповедение акустической поляризации происходит только в небольшом наборематериалов, к которым относится парателлурит [93].Анализ показал, что в галогенидах ртути не происходит принципиальныхизменений типа волн, хотя эти материалы отличает большая анизотропия упругих свойств. Отсутствие сильного изменения направления вектора поляризацииакустических колебаний объясняется отношением между величинами упругихкоэффициентов: c66 /c11 < 1.

Обзор имеющихся данных, представленных в литературе, показал, что значение упругой постоянной c11 превышает величинуc66 в большинстве тетрагональных материалов [93].2.4.Тригональные кристаллы2.4.1.Поляризация упругих волн при нормальном соотношениискоростей звука: Vl > VsИспользуя известные значения констант упругости материала, были получены значения компонент векторов поляризации упругих волн для всех направлений распространения ультразвука в тригональных кристаллах корунда,α-кварца, ниобата и танталата лития.

Рисунки 2.16 - 2.19 иллюстрируют зависимости углов поляризации γ от направления распространения звука ϕ в раз-88личных срезах данных кристаллов. Расчет проводился для плоскостей, определяемых различным значением угла поворота Ω оси P относительно оси Z вплоскости YOZ с шагом ∆Ω = 10◦ .Анализ показал, что наибольшее отличие направления волновых векторов от продольного и поперчного смещения частиц наблюдается в α-кварце.Причем, угол ∆γ для квазипродольной и быстрой квазипоперечной моды достигает максимального значения ∆γ = 26,5◦ при распространении звука подуглом ϕ = 30,3◦ в срезе кристалла, соответствующем Ω = 81◦ . Третья медленная квазипоперечная волна обладает близким значением угла (∆γ = 25,6◦ ), прикотором отклонение от поперечной поляризации максимально.

Однако, данноезначение достигается в другом направлении распространения звука в α-кварце(Ω = 29◦ при ϕ = 32,3◦ ). Остальные материалы, рассмотренные в настоящемпараграфе, обладают намного меньшими значениями аналогичных характеристик. Расчет показал, что наибольшее отклонение поляризаций упругих волн вних не превышает ∆γ = 7,2◦ (таблица 2.3).2.4.2.Поляризация упругих волн при аномальном соотношении скоростей звука в кристалле теллура: Vl < VsИсследование ориентации вектора поляризации акустических волн былоотдельно проведено для различных срезов тригонального кристалла теллура,так как этот материал обладает необходимым для трансформации типа поляризации волны соотношением упругих констант: c66 /c11 > 1 [50,51].

На рисунке2.20 представлены зависимости угла поляризации γ от направления распространения акустической волны ϕ в различных сечениях материала, определяемыхγ - углом поворота вокруг оси X.Анализ результатов расчета позволил заключить, что векторы поляризации акустических мод в плоскости XOY кристалла теллура изменяют направление аналогично кристаллу парателлурита и селенистого тулия.

Данные нарисунке 2.20к показывают, что трансформация квазисдвиговой акустическойволны в квазипродольную и наоборот в плоскости XOY происходит при трехзначениях угла распространения: ϕ∗1 = 20,2◦ , ϕ∗2 = 39,8◦ и ϕ∗3 = 80,2◦ . Этоозначает, что быстрая акустическая мода в широком спектре направлений ве-89Рис. 2.16: Семейство зависимостей угла поляризации волны от направления распространения в различных плоскостях кристалла корунда: сплошная линия соответствует быстройакустической моде, штрихпунктирная линия – самой медленной моде, пунктирная линия –моде с промежуточными значениями скорости90Рис.

2.17: Семейство зависимостей угла поляризации волны от направления распространения в различных плоскостях кристалла α-кварца: сплошная линия соответствует быстройакустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирнаялиния – моде с промежуточными значениями скорости (2)91Рис. 2.18: Семейство зависимостей угла поляризации волны от направления распространенияв различных плоскостях кристалла ниобата лития: сплошная линия соответствует быстройакустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирнаялиния – моде с промежуточными значениями скорости (2)92Рис. 2.19: Семейство зависимостей угла поляризации волны от направления распространенияв различных плоскостях кристалла танталата лития: сплошная линия соответствует быстройакустической моде (1), штрихпунктирная линия – самой медленной моде (3), пунктирнаялиния – моде с промежуточными значениями скорости (2)93дет себя как сдвиговая или квазисдвиговая волна, но в небольшом диапазоненаправлений является квазипродольной.

Другими словами, углы поляризацииγ для одной и той же акустической моды принимают принципиально разныезначения, соответствующие различным типам поляризации (γ < 45◦ и γ > 45◦ ).И трансформация вида упругой волны происходит в одной и той же плоскостинесколько раз, чего не происходит в тетрагональных кристаллах.Расчет углов ϕ∗ , при которых направление акустической поляризации соответствует γ = 45◦ , был проведен для всех направлений распространенияакустической волны в кристалле теллура. Графики (рисунок 2.20) показывают существование эффекта смены типа поляризации двух упругих мод во всехпредставленных плоскостях. Поляризация третей акустической моды, отмеченной на графике штрих-пунктирной линией, направлена ортогонально волновому вектору или близка к нему. Было доказано, что изменения типа поляризации этой волны с направлением ее распространения не происходит.