Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 9

В окрестности точки  Re y функция F ( ) сильно осциллирует; амплитуда и частота осцилляцийпри |  |  | Re ~ 2 |3 велики (стремятся к  при |  |  0 , поэтому графики наРис. 2.9 ограничены по пунктирным линиям). На бесконечности F ( ) обращается в ноль. Примерно такой вид имеет и более сложная для анализа и построения функция (2.4.13).С учетом (2.4.7) и (2.4.11) для потенциала электрического поля и егопроизводной в области неоднородности плазмы имеемd C f ( ),   D  f ( )d   C2 , 0    1 .d0(2.4.14)Вне области неоднородности плазмы потенциал определяется выражениями(2.2.6), подставляя которые вместе с (2.4.14) в условия непрерывности потен54циала и его производной в точках   0 и   1 и исключая постоянные A, B, Cи D , получаем дисперсионное уравнение для спектров частот поверхностныхволн в неоднородной плазме с конечной температурой электронов1f (0)  f (1)    f ( )d  0 .(2.4.15)0При   0 функция (2.4.13) не имеет особенностей, поэтому результат интегрирования в (2.4.15) зависит только от начальной и конечной точек контураинтегрирования.

Таким образом, при конечном  необходимость в какихлибо дополнительных правилах интегрирования отсутствует: верный результат получается автоматически, а интегрирование можно осуществлять вдольдействительной оси. В пределе   0 функция (2.4.13) в секторе АОВ обращается в бесконечность (см. далее).

Поэтому при Im y  0 путь интегрирования в (2.4.15) следует сместить с действительной оси и обойти сектор АОВснизу – контур C на Рис. 2.8, что соответствует правилу Ландау, использованному нами ранее при получении решений (2.2.5), (2.3.19). Решение дисперсионного уравнения (2.4.15) относительно y оказывается таким, чтоIm y  0 , а при   0 оно, как будет сейчас показано, совпадает с (2.2.15).

Та-ким образом, проблема обхода полюсов в теории поверхностных волн неоднородной плазмы решается введением малого мнимого параметра  . Точнеепроблема переносится из области гидродинамики в область кинетическойтеории классического затухания Ландау, обусловленного тепловым движением электронов.Используя асимптотику функции ЭйриAi(u )  2exp   u 3 2  ,    arg u   32  u1(2.4.16)и приближенную формулуw(u )1  w(u ) p(z)exp[q(z)]dzw(u) exp[ q(u )] ,q (u ) q (u )  q (u ) u(2.4.17)где w  p q , находим следующее асимптотическое представление для функ55ции (2.4.13):f ( )  Const 1 27 |  | 111 ,  arg(  y )  .3 (  y )  16 (  y ) 66(2.4.18)Первый член в (2.4.18) дает выражение, которое получается из уравнения(2.4.8) при   0 , второй член описывает поправки, обусловленные тепловымдвижением.

Если пренебречь вторым членом, подставить функцию (2.4.18) вдисперсионное уравнение (2.4.15) и вычислить интеграл, обходя сектор АОВ(см. Рис. 2.8 – контур С), то получится дисперсионное уравнение (2.2.7). Поправка на тепловое движение в (2.4.18) мала при выполнении неравенства|   y |3min  |  | . Отсюда находим следующее условие применимости гидроди-намической теории поверхностных волн в холодной неоднородной плазме:rDe  2 3  k z  .(2.4.19)Рис.

2.10К пояснению структуры поля поверхностной волныОбсудим еще пространственную структуру электрического поля поверхностной волны в модели, основанной на уравнении (2.4.8) при   i |  | .Компоненты поля Ez ~  и Ex ~ d d вычисляются по формулам (2.7.14) и(2.7.13), а переменная  изменяется вдоль действительной оси. Отрезок действительной оси [1 ,  2 ] при Im y  0 принадлежит сектору А’ОВ’ (Рис. 2.10), вкотором асимптотика (2.4.18) не имеет места. В указанном секторе обе функции, входящие в формулу (2.4.13), нарастают. При этом каждое из слагаемыхв (2.4.13) экспоненциально растет, но при суммировании они взаимно ком56пенсируются, т.е. точности формулы (2.4.16) недостаточно, чтобы найтиасимптотику функции (2.4.13) в секторе А’ОВ’.Тогда, используя формулыAi(u )  exp( 2 i / 3)Ai (  ) (u )  exp( 2 i / 3)Ai (  ) (u )  0, Ai(u)du  1 ,(2.4.20)преобразуем выражение (2.4.13) к виду(  )()()f ( )   Ai (u ) exp( i / 3)  Ai (u )  Ai (u) d   Ai (u )  Ai (u)d  exp( i / 3) .(2.4.21)(  )13Поскольку функция Ai (  ) в секторе А’ОВ’ убывает, член в фигурной скобке в(2.4.21) дает ограниченный вклад – типа (2.4.18), а нарастающий вклад даетпервый член.

В итоге, при помощи (2.4.16), находим искомое асимптотическое представлениеf ( )  Const  2 (  y ) 3 / 2 15,.expexp(i4) arg(  y ) 14(  y )6|| 3 6(2.4.22)Итак, на действительной оси  имеем следующее: в области   (, 1 )функция f ( ) определяется асимптотической формулой (2.4.18), в области  (1 ,  2 ) справедлива асимптотическая формула (2.4.22), в области   ( 2 ,  )опять имеет место формула (2.4.18). Координаты точек 1 и  2 определяютсяиз условий пересечения границ сектора А’ОВ’ (они указаны в (2.4.22)) с действительной осью  :1  Re y  3 | Im y | ,  2  Re y  3 | Im y | .(2.4.23)Выражения (2.4.23) имеют смысл только при Im y  0 . На интервале (1 ,  2 )функция f ( ) испытывает быстрые осцилляции большой амплитуды, а внеуказанного отрезка является монотонной. При малом |  | график функцииf ( ) примерно такой, как показан на Рис.

2.9.Потенциал  ( ) , полученный интегрированием функции (2.4.13) (см.вторую формулу (2.4.14)), изображен на Рис. 2.11. В области   (1 ,  2 ) потенциал и его производная f ( ) являются быстро осциллирующими функциями. Амплитуда и частота осцилляций неограниченно возрастают при57  0 , причем |  |max ~ |  d d |max (см. формулу (2.4.17)).Рис. 2.11Действительная и мнимая части потенциала  ( )Поэтому, область (1 ,  2 ) можно считать состоящей из точек сингулярностиEx и точек разрыва Ez .

Это согласуется с решением (2.4.4), полученным вприближении холодной плазмы: в соответствии с (2.4.4) компонента поля Ezв точке  * имеет разрыв [ E z ] , а компонента Ex в точке  * имеет сингулярность [ Ez ] (   * ) . Разрыв возник при интегрировании соотношения (2.2.4)из-за обхода полюса   y . Если полюс обходится вдоль разреза QO (см. Рис.2.10), то точкой разрыва будет  *  Re y  Re ~ .

Но может быть использован идругой разрез – PO на Рис. 2.10. Таким образом, в приближении холоднойплазмы положение точки разрыва потенциала и сингулярности поля на действительной оси вообще говоря не определено. При учете теплового движения вместо одной точки разрыва и сингулярности имеется целая область сингулярности потенциала и поля, эта область остается и в пределе   0 .§2.5.

Волны плазменного слоя с одной свободной границей в волноводе.Исчезновение поверхностных волнРассмотрим теперь плазму с одной линейной границей в волноводе.Предположим, что при x   L1 и x    L2 ( L1, 2  0 ) расположены идеальнопроводящие плоскости – границы волновода (Рис. 2.1б). Поскольку на проводящих плоскостях электростатический потенциал равен нулю, то запишемвместо (2.2.6) следующие решения:58 ( , x)  A exp( k z x)1  exp( 2k z L1 ) exp( 2k z x),  L1  x  0 , ( , x)  B exp( k z x)1  exp[ 2k z (  L2 )] exp( 2k z x) ,   x    L2 ,(2.5.1)В области неоднородности по-прежнему справедливо решение (2.3.1). Используя граничные условия, получаем точное дисперсионное уравнение дляопределения спектров частот исследуемых волн в плазме:th (k z L1 ) K1 (k z x0 )  K 0 (k z x0 ) th (k z L2 ) K1[k z (  x0 )]  K 0 [k z (  x0 )] i s  0, (2.5.2)th (k z L1 ) I1 (k z x0 )  I 0 (k z x0 )th (k z L2 ) I1[k z (  x0 )]  I 0 [k z (  x0 )]где величина x0 определена в (2.2.3).

В случае плазмы с резкой границейуравнение (2.5.2) переходит в дисперсионное уравнение (1.1.10). В дальнейшем, для простоты, уравнение (2.5.2) исследуется для случая L1  L2  L0 . Вэтом случае в безразмерных переменных (2.3.8), дисперсионное уравнение(2.5.2) зависит всего от одного параметра 0  L0 L , а именно:th ( 0 ) K1 ( ~ 2 )  K 0 ( ~ 2 )  th ( 0 ) K1[ (1  ~ 2 )]  K 0 [ (1  ~ 2 )]  i s  0 . (2.5.3)th ( 0 ) I1 ( ~ 2 )  I 0 ( ~ 2 )  th ( 0 ) I1[ (1  ~ 2 )]  I 0 [ (1  ~ 2 )] Исследуем свойства поверхностных волн в зависимости от величиныпараметра 0  L0  , определяющего степень неоднородности плазмы в волноводе. При 0   дисперсионное уравнение (2.5.3) переходит в уравнение(2.3.9).

В противоположном случае 0  L0   0 дисперсионное уравнение(2.5.3) сводится к следующему:~ 2 ) K [ (1  ~ 2 )]K 0 ( 0~2 )~ 2 )  i s  0I 0 ( I 0 [ (1  (2.5.4)Аналитический анализ уравнения (2.5.4) возможен в длинноволновом пределе   1 , когда вместо (2.5.4) имеем1  ~ 2ln ~ 2  i  0 .(2.5.5)Поскольку ln( 1)  i , то из (2.5.5) следует равенство ~ 2  1  ~ 2 , которое неможет быть удовлетворено ни при каком (конечном) ~ . Численное исследование показывает, что уравнение (2.5.5) не имеет решений (соответствующихслабозатухающим волнам) и при произвольных значениях  . Это означаетотсутствие собственных поверхностных волн при полном заполнении волно59вода плазмой с линейным профилем плотности [78].

Безусловно, что локальные объемные волны    p (x) существуют [22]. Ситуация меняется если параметр  0 отличен от нуля и бесконечности.Действительно, при   1 , но при произвольном значении произведения 0  k z L0 , дисперсионное уравнение (2.5.3) преобразуется к виду 1  ~ 22~ 2  1  ln ~ 2  i   th (0 ) ~ 2 ~ 20 (  1)(2.5.6)В размерных величинах уравнение (2.5.6) выглядит следующим образом:  p2 0   2 p2 0 (2 2   p2 0 )k z  ln i  th (k z L0 ) 2 2 0.2 (   p2 0 )(2.5.7)Для волновода большого размера 0  k z L0  1 , т.е. фактически для плазмы вбезграничном пространстве, уравнение (2.5.7) сводится к (2.2.7), т.е. содержит решения, соответствующие поверхностным волнам (2.2.8) и (2.3.13).

Впротивоположном пределе 0  k z L0  1 уравнение (2.5.6) записывается в виде 1  ~ 2~ 2 (~ 2  1) ln ~ 2  i    0 (2~ 2  1) .(2.5.8)При 0  0 уравнение (2.5.8) содержит в себе уравнение (2.5.5), но в отличиеот (2.5.5) имеет и другие решения: ~ 2  0 и ~ 2  1 . Не сложно видеть, что таккак при t  0 функция t ln t стремится к нулю снизу, то уравнение (2.5.8) при0  0 имеет корни ~ 2  1  0 и ~ 2  0 . Таким образом, при  0  0 уравнение(2.5.8) имеет, по крайней мере, два такие решения, что: |   p 0 |  1 снизу, и|   p 0 |  0 сверху.