Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 5

Кроме того, на металлической стенке волноводаr  R потенциал обращается в ноль  ( R)  0 .Начнем со случая плазмы, имеющей одну резкую внешнюю границу(Рис. 1.9а). Решение уравнения (1.3.1), удовлетворяющее граничному условию на стенке волновода, в этом случае имеет вид:0  r  r2 A I 0 (k z r ) ,. B [ I 0 (k z r ) K 0 (k z R)  K 0 (k z r ) I 0 (k z R)] , r2  r  R ( ; r )  (1.3.3)Здесь I 0 ( x), K0 ( x) - функции Инфельда и Макдональда соответственно [71].Используя граничные условия (1.3.2) на границе r  r2 исключим произвольные постоянные A и B в решении (1.3.3), после чего получим следующеедисперсионное уравнение: I1 (k z r2 )[ I 0 (k z r2 ) K 0 (k z R)  K 0 (k z r2 ) I 0 (k z R)]  I 0 (k z r2 )[ I1 (k z r2 ) K 0 (k z R)  K1 (k z r2 ) I 0 (k z R)]  0 .(1.3.4)В длинноволновом приближении дисперсионное уравнение (1.3.4) выглядит следующим образом ln R r2  2.k r(1.3.5)2 2z 2Из дисперсионного уравнения (1.3.4) легко получить спектр поверхностной волны в плазме с одной внешней резкой границей, он оказываютсяследующим:p21k z r2 ln R r2 1 2 21  k z r2 ln R r2  . 2(1.3.6)Для полноты изложения упомянем еще о поверхностных волнах в безграничного плазменного цилиндра в отсутствии волновода.

В этом случаерешение уравнения (1.3.1) запишется в виде:27 AI 0 (k z r ), BK 0 (k z r ), ( , r )  r  r2r  r2(1.3.7).Откуда после исключения произвольных постоянных А и В получается следующее дисперсионное уравнение: I1 (k z r2 ) K0 (k z r2 )  I 0 (k z r2 ) K1 (k z r2 )  0 .(1.3.8)В длинноволновом приближении дисперсионное уравнение (1.3.8) преобразуется к виду ln( k z r2 )  2.k r(1.3.9)2 2z 2Откуда получаем следующий спектр:p21k z r2 ln k z r2 1 2 21  k z r2 ln k z r2  . 2(1.3.10)Перейдем к случаю изображенному на Рис. 1.9б – плазма с одной внутренней резкой границей, примыкающая к стенке волновода.

Ограниченное внуле и обращающееся в ноль на стенке волновода решение уравнения (1.3.1)оказывается таким же, как и предыдущем случае (1.3.3). После подстановкирешения в граничные условия (1.3.2), получаем следующее дисперсионноеуравнение:I1 (k z r1 )I 0 (k z r1 ) K 0 (k z R)  K 0 (k z r1 ) I 0 (k z R) (1.3.11)  I 0 (k z r1 )I1 (k z r1 ) K 0 (k z R)  K1 (k z r1 ) I 0 (k z R)  0 .В длинноволновом приближении k z R  1 дисперсионное уравнение(1.3.11) преобразуется к виду2 k z r1 ln R r1 .k z r1(1.3.12)Откуда легко находится следующий спектр:1  p 1 2 21  k z r1 ln R r1  . 2(1.3.13)В противоположном коротковолновом пределе k z R  1 дисперсионноеуравнение (1.3.11) сводится к виду   1  0 , откуда получается известное выражение для частоты поверхностной волны    p282.Как частный случай рассмотрим еще безграничную плазму с вакуумной цилиндрической полостью - R на Рис.

1.9б равно бесконечности. В этомслучае решение уравнения (1.3.1) имеет такой же вид, как и (1.3.7). Исключаяпри помощи граничных условий (1.3.2) постоянные A и B, находим следующее дисперсионное уравнение:I1 (k z r1 ) K0 (k z r1 )   I 0 (k z r1 ) K1 (k z r1 )  0 .(1.3.14)В длинноволновом приближении дисперсионное уравнение (1.3.14) преобразуется к виду2 k z r1 ln k z r1 ,k z r1(1.3.15)откуда получаем следующий частотный спектр:121   p 1  k z2 r12 ln k z r1  .(1.3.16)Наконец перейдем к случаю трубчатой плазмы, имеющей две резкиеграницы (Рис.

1.9в). В этом случае решение уравнения (1.3.1) запишется ввиде: A I 0 (k z r ), ( , r )   B I 0 (k z r )  C K 0 (k z r ), D [ I (k r ) K (k R)  K (k r ) I (k R)],0z0z0z0z0  r  r1r1  r  r2.(1.3.17)r2  r  RИсключая при помощи граничных условий постоянные A, B, C , D , получаемследующее дисперсионное уравнение:W2 I 0 (k z r2 )   I1 (k z r2 ) W2 K 0 (k z r2 )   K1 (k z r2 ),W1 I 0 (k z r1 )   I1 (k z r1 ) W1 K 0 (k z r1 )   K1 (k z r1 )(1.3.18)гдеW1 I (k r ) K (k R)  I 0 (k z R) K1 (k z r2 )I1 (k z r1 ), W2  1 z 2 0 z.I 0 (k z r1 )I 0 (k z r2 ) K 0 (k z R)  I 0 (k z R) K 0 (k z r2 )(1.3.19)Если диэлектрическая проницаемость  определяется формулой (1.1.5),то уравнение (1.3.18) определяет две частоты, что соответствует двум поверхностным волнам в системе – по числу свободных границ плазмы.

Приk z (r2  r1 )  1 обе частоты приближаются к  p292 . В противоположном длин-новолновом пределе k z R  1 для частот имеют место следующие выражения: 1   p 1  k z2 r12 ln r2 r1  2 2p21 2,(1.3.20)k (r  r ) ln R r2 .2z2221Первая из частот (1.3.20) соответствует частоте нечетной волны плоскогоплазменного слоя, вторая из частот (1.3.20) соответствует четной волне. Качественно поверхностные волны полого плазменного цилиндра не отличаются от поверхностных волн плоского слоя плазмы.Можно сформулировать два основных свойства поверхностных волн визотропной плазме, имеющей диэлектрическую проницаемость (1.1.5).

Вопервых, частота поверхностных волн всегда меньше ленгмюровской частотыплазмы  p . Во-вторых, поверхности разрыва нормальной составляющей напряженности электрического поля волны совпадают с границами плазмы. Вреальных условиях резких границ у плазмы нет (по крайней мере, у газовойплазмы). Обычно имеется пространственная область, в пределах которойплотность плазмы изменяется от нуля до некоторого максимального значения. Возникает вопрос, к каким точкам размытой границы плазмы «привязана» поверхностная волна и может ли она вообще существовать. Другимисловами, при какой степени размытости границы плазмы поверхностная волна в плазме становится невозможной. Понятно, что для теории поверхностных волн в плазме поставленные вопросы имеют принципиальное значение.Далее, ленгмюровская частота электронов плазмы  p (x) (или  p (r ) ) в пределах размытой границы плазмы изменяется от нуля до  p .

Поскольку частотаволны    p , то где-то внутри границы имеется особая точка    p (x) - точка плазменного резонанса [8]. Возникает вопрос о поведении поля в точкеплазменного резонанса и появляется связанная с этим математическая проблема правильного учета (обхода) особой точки.

В настоящей работе проводится последовательное рассмотрение поставленных вопросов. Рассмотрениеосновано главным образом на том, что при специальном выборе зависимости30плотности плазмы от координат дифференциальные уравнения теории поверхностных волн допускают аналитические решения.31Глава II. Поверхностные волны в плазменных системах с плавнымиграницами в плоской геометрииКак было отмечено в предыдущей главе, поверхностные волны обусловлены наличием резких границ раздела сред. Встает вопрос, что происходит с поверхностными волнами, если граница раздела сред не резкая, а плавная, как волна будет видоизменяться, и может ли она вообще существовать?В данной главе рассмотрена плазма с плавными границами и даны ответы напоставленные вопросы. Также обсуждается проблема разрыва потенциала.§2.1.

Вывод основного уравнения теории поверхностных волн в плазмеРассмотрим плоский слой холодной электронной плазмы, неоднородный вдоль оси x и однородный в направлениях осей y и z . Запишем уравнения холодной многожидкостной гидродинамики для электронной компоненты плазмы, а тяжелые ионы плазмы считаем неподвижными [31]Ve V   V  E z ,tmn n  V   0,tE   ,(2.1.1)  4en  n0  .Здесь n0  n0 ( x) - невозмущенная плотность электронов плазмы,  (t , r ) - скалярный потенциал, E  {E x , E y , E z } - напряженность электрического поля, V(t , r) гидродинамическая скорость электронов, а n(t , r) - их плотность. Записываясистему (2.1.1), мы ограничились описанием поля в потенциальном приближении, что предполагает рассмотрение возмущений, распространяющихся соскоростью много меньшей скорости света.Линеаризуем систему (2.1.1), пренебрегая квадратичными по возмущениям Vx , Vz и n~  n  n0 членами.

При этом считаем, что возмущения не зависятот координаты y , поэтому E y  0 , а значит и V y  0 . Таким образом, получаются следующие уравнения:32Vxe  Vze ,,tm xtm zn~  n0Vx   n0Vz   0,t xz22  4en~.x 2 z 2(2.1.2)Поскольку коэффициенты уравнений (2.1.2) не зависят от координатыz и времени t , ищем их решение в видеn~  n~( x) exp( i t  ik z z ), Vx , z  Vx , z ( x) exp( it  ik z z ),    ( x) exp( i t  ik z z ) . (2.1.3)Записывая (2.1.3), мы не стали вводить новых обозначений для комплексныхамплитуд возмущений, чтобы не загромождать изложение. Подстановка выражений (2.1.3) в уравнения (2.1.2) дает следующий результат:e ,m xe iVz  i k ,m i V x   i n~  ik z n0 ( x)Vz (2.1.4)dn0 ( x)Vx   0,dxd 2 k z2  4en~.dx 2Выражая из первых двух уравнений системы (2.1.4) скорости Vx , Vz и подставляя их в предпоследнее уравнение, получаем выражение для комплексной амплитуды возмущения плотности электронов плазмы n~n~( x)  n0ee d  d k 2  n0.2 zmm 2 dx  dx (2.1.5)В дальнейшем понадобится еще одно представление для возмущения плотности электронов плазмы n~ , которое получается из (2.1.5) с учетом последнего уравнения в (2.1.4)d p2 d11~n ( x)  .4 e  2   p2 ( x) dx dx(2.1.5а)Подставляя далее выражение для возмущения n~ в последнее уравнение системы (2.1.4), получим следующее:2 p2 k z2d 2d  p d2k,zdx 22dx  2 dx(2.1.6)33здесь  p2 ( x)  4 e 2 n0 ( x) m - квадрат электронной ленгмюровской частоты, зависящей от координаты x .

Окончательно из (2.1.6) получается следующееуравнение для потенциала  ( x)   ( , x) :dd ( x,  ) k z2 ( x,  )  0 .dxdx(2.1.7)Здесь  ( x,  )  1   p2 ( x)  2 - продольная диэлектрическая проницаемость холодной электронной плазмы. Уравнение (2.1.7) составляет основу для дальнейшего рассмотрения.Уравнение (2.1.7) необходимо дополнить граничными условиями(1.1.2), которые ставятся в точках разрыва функции  ( x,  ) и имеют следующий вид: ( x)xG  0 ,d ( x)  ( x,  )  0,dx  xG(2.1.8)где x  G - координата точки разрыва функции  ( x,  ) . Заметим, что второеграничное условие в (2.1.8) можно получить путем интегрирования уравнения (2.1.7) по x от x  G   до x  G   с последующим устремлением  кнулю.Отличительной особенностью уравнения (2.1.7) является обращение вноль коэффициента при старшей производной при некотором значении x .Происходит это в точке плазменного резонанса    p (x) .§2.2.

Длинноволновое приближение. Необходимость аналитическогопродолжения и проблема разрыва потенциалаПусть ленгмюровская частота плазмы определяется следующей формулой (Рис. 2.1а):0 , x  0 ( x)    x  ,0 x  , 1,x2p2p0(2.2.1)где  p 0 и  - постоянные.34Рис. 2.1Профили плотности плазмы:а- плазменное полупространство с линейной границей,б- плазма с линейной границей в волноводеТаким образом, плазма, описываемая формулой (2.2.1) занимает полупространство x  0 , а ее размытая (линейная) граница сосредоточена в области0  x   . С учетом (2.2.1) уравнение (2.1.7) преобразуется к видуdd( x0  x) k z2 ( x0  x)   0 , 0  x   ,dxdxd 2 k z2   0 , x  0,   x .2dx(2.2.2)Здесьx0 2. p2 0(2.2.3)В настоящем параграфе первое уравнение в (2.2.2) решается в длинноволновом пределе [72].При выполнении неравенства | k z  |  1 , т.е.

в длинноволновом пределе,вторым слагаемым в левой части первого уравнения в (2.2.2) можно пренебречь. Тогда, после однократного интегрирования это уравнение сводится кследующему:dC,dx x0  x(2.2.4)где C - произвольная постоянная. Дальнейшее интегрирование уравнения(2.2.4) из-за наличия особой точки x  x0 требует дополнительного анализа,суть которого в следующем.