Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 7

Заметим, чтосам факт разрыва потенциала является проблемой излагаемой теории и требует детального обсуждения, что и будет сделано позже.§2.3. Общая теория поверхностных волн на границеплазменного полупространстваТеперь перейдем к получению и анализу точного дисперсионногоуравнения, описывающего поверхностные волны плазменного полупространства с размытой границей в произвольной области длин волн.

Общее решение первого уравнения (2.2.2) записывается в виде линейной комбинациифункции Инфельда I 0 (k z ( x0  x)) и функции Макдональда K0 (k z ( x0  x)) [71]. Вдлинноволновом пределе такая комбинация должна сводиться к (2.2.5). Отсюда имеем, что общее решение первого уравнения (2.2.2) может быть только следующим: ( , x)  CK~0 k z ( x0  x)   DI 0 k z ( x0  x)  , 0  x  x  Re x0~ k ( x  x)    K 0 k z ( x0  x)  ,K.0z0 K 0 k z ( x  x0 )   is I 0 k z ( x  x0 )  , x  Re x0(2.3.1)При k z   0 решение (2.3.1) переходит в (2.2.5).

Для получения дисперсион41ного уравнения, определяющего спектры частот волн в исследуемой плазме,выражения (2.3.1) следует дополнить решениями (2.2.6).Подставим (2.3.1) и (2.2.6) в условия непрерывности  и d dx в точках x  0, x   . В результате получим для точки x  0A  CK 0 (k z x0 )  DI 0 (k z x0 ) ,(2.3.2)A  CK 1 (k z x0 )  DI 1 (k z x0 ) ,и для точки x  B exp( k z )  CK 0 (k z (  x0 ))  is СI 0 (k z (  x0 ))  DI 0 (k z ( x0  )) , B exp( k z )  CK1 (k z (  x0 ))  is СI 1 (k z (  x0 ))  DI 1 (k z ( x0  )) .(2.3.3)Для исключения постоянных A, B, C , D поделим в (2.3.2) и (2.3.3) первоеуравнение на второе. В результате получимCK 0 (k z x0 )  DI 0 (k z x0 ) 1,CK 1 (k z x0 )  DI 1 (k z x0 )CK 0 (k z (  x0 ))  is СI 0 (k z (  x0 ))  DI (k z ( x0  )) 1 .CK 1 (k z (  x0 ))  is СI 1 (k z (  x0 ))  DI (k z ( x0  ))(2.3.4)Выражая из уравнений (2.3.4) отношение С D имеемI (k x )  I1 (k z x0 )С 0 z 0,D K1 (k z x0 )  K 0 (k z x0 )I1 (k z ( x0  ))  I 0 (k z ( x0  ))C.D K1 (k z (  x0 ))  is I1 (k z (  x0 ))  K 0 (k z (  x0 ))  isI 0 (k z (  x0 ))(2.3.5)Приравнивая далее правые части соотношений (2.3.5), получаем следующееточное дисперсионное уравнение:K1[k z (  x0 )]  K 0 [k z (  x0 )] K1 (k z x0 )  K 0 (k z x0 ) i s  0 .I1[k z (  x0 )]  I 0 [k z (  x0 )]I1 (k z x0 )  I 0 (k z x0 )(2.3.6)В длинноволновом приближении из уравнения (2.3.6) следует дисперсионноеуравнение (2.2.7).Потенциал поверхностных волн в самом общем случае определяетсяформулами (2.2.6) и (2.3.1), в которых:A 1, C DI 0 (k z x0 )  I1 (k z x0 ),I 0 (k z x0 ) K1 (k z x0 )  K 0 (k z x0 ) I1 (k z x0 )K 0 (k z x0 )  K1 (k z x0 ),I 0 (k z x0 ) K1 (k z x0 )  K 0 (k z x0 ) I1 (k z x0 )B  C K1[k z (  x0 )]  is I1[k z (  x0 )]exp( k z )  D I1[k z ( x0  )] exp( k z ) .42(2.3.7)Поясним, что постоянные (2.3.7) были вычислены из системы (2.3.2), (2.3.3).Дисперсионное уравнение (2.3.6) не содержит свободных параметров.Действительно, если ввести безразмерные величины  k z , ~    p 0 ,(2.3.8)то уравнение (2.3.6) преобразуется к виду~)]  K [ (1  ~)] K ( ~)  K ( ~)K1[ (1  010~)]  I [ (1  ~)]~)  I ( ~)  i s  0 .I1[ (1  I1 ( 00(2.3.9)Решения последнего уравнения ~ ( ) не зависят от каких-либо параметровплазмы, т.е.

фактически являются универсальными.Результаты численного решения уравнения (2.3.9) представлены наРис. 2.4 в виде комплексных безразмерных дисперсионных кривых ~  ~( ) .Видно, что каждому значению безразмерного волнового числа  соответствуют две безразмерные комплексные частоты ~ 1, 2 ( ) . Причем имеются двеобласти значений  , в пределах которых зависимости ~ 1, 2 ( ) качественноразличные. Таким образом, существуют четыре волны неоднородного плазменного полупространства, три из которых представляются нам новыми.Рис 2.4Безразмерные дисперсионные кривые ~ ( ) поверхностных волнплазменного полупространства с размытой границейВ области     0.45 имеется слабозатухающая поверхностная волна счастотой  1  Re  1  i Im  1 , определяемой при k z   1 из аналитическойформулы (2.2.8).

Структура потенциала и поля данной волны, вычисленнаяпо формулам (2.2.6), (2.3.1) и (2.3.7) при k z   0.3 , представлена на Рис. 2.5 (  x  ). Прежде чем приступить к обсуждению графиков изображенных на43Рис. 2.5, напомним кратко физическую природу исследуемых плазменныхволн. ,Ex1.50.5-10.5-0.5-0.5-0.50-10 ,Ex010.511.5-0.5 00.511.52-1-1.52-2-1-2.5-1.5-3-2-3.5а-2.5-4бРис. 2.5Поперечная компонента Ex ( ) электрического поля и потенциала  ( ) поверхностнойволны плазмы с линейным профилем плотности:а- Re Ex - жирная линия, Re  - обычная линия;б- Im Ex - жирная линия, Im  - обычная линияПри   0 плазма имеет резкую границу x  0 , на которой локализованаповерхностная волна с частотой    p 02 (см.

1.1.6) и следующими потен-циалом и поперечным полем:exp( k z x) , x  0,exp( k z x) , x  0~  exp( k z x) , x  0Ex ~ k z .exp( k z x) , x  0(2.3.10)Формулы (2.3.10) определяют потенциал и поле простого слоя: потенциалнепрерывен, а поперечная к границе плазмы компонента напряженностиэлектрического поля Ex имеет разрыв. Разрыв Ex обусловлен поверхностнымзарядом, возникающим при смещении электронов плазмы относительно ионного фона на некоторую величину   Re[ 0 exp(i t  ikz z)] от границы x  0 .Толщина простого слоя |  0 | в линейной теории не определена, но предполагается, что |  0 |  0 . При   0 наблюдается сходная картина: смещение электронов (всех) приводит к простому слою, но локализованному теперь в области размером  (а не  ).

Возмущение плотности заряда в слое определяется величинойen0 ( x   )  en0 ( x)  edn0 ( x),dx(2.3.11)44где n0 ( x) - невозмущенная плотность электронов,  - введенное выше смещение электронов относительно ионов, причем |  0 |   . В силу последнего неравенства для профиля (2.2.1) и для других аналогичных профилей величина(2.3.11) симметрична относительно средней точки слоя x   2 .

Следовательно, потенциал слоя и его образ ~(, x) также симметричны относительно этойточки, а Ex в ней обращается в ноль (при k z  0 ).С учетом сказанного легко определить спектры поверхностных волнпростого слоя. Пренебрежем пока возможным наличием у частоты  мнимойчасти. Из выражения (2.1.5а) следует, что    p (x) всюду, за исключениемточки, в которой Ex  0 . Поскольку это есть точка x   2 , то для профиля(2.2.1) находим для частоты  известную формулу    p 02 .

Тот же ре-зультат имеет место и для всех профилей n0 ( x) с симметричной относительносредней точки производной.Выражение (2.1.5а) дает ответ и на основной поставленный вопрос – оразрыве решений (2.2.5) и (2.3.1). Если затухание исследуемых поверхностных волн мало, то основным фактором, определяющим их структуру, является рассмотренный выше простой слой. В точке x  x0 , где  2   p2 ( x) , производная d dx и разность  2   p2 ( x) меняют знаки, т.е. возмущение плотности(2.1.5а) знака не меняет.

При учете затухания (т.е. при комплексной частоте ) величины d dx и  2   p2 ( x) меняют знаки в несколько разных точках.При этом, как видно из выражения (2.1.5а), возмущения плотности электронов слева и справа от точки x0 противоположны по знаку. Таким образом,простой слой поверхностной волны приводит к формированию в окрестноститочки x  x0 двойного слоя возмущения плотности заряда электронов плазмы.Известно, что потенциал двойного слоя резко меняется внутри слоя, а поперечное поле Ex велико.

Если толщина двойного слоя стремится к нулю, топотенциал претерпевает разрыв. Структура зарядовых слоев в неоднороднойплазме, аналогичных описанным выше, рассмотрена в работе [8].45Перейдем теперь к обсуждению Рис. 2.5. На Рис. 2.5а в зависимости отпоперечной безразмерной координаты   x  изображены действительнаячасть потенциала (обычная линия) и действительная часть напряженностиполя Ex (жирная линия); на Рис. 2.5б такими же линиями показаны мнимыечасти потенциала и поля.

Если не принимать во внимание небольшого разрыва потенциала, то действительные части потенциала и поля напоминаютпотенциал и поле простого слоя, Напротив, мнимые же части потенциала иполя напоминают потенциал и поле двойного слоя. На Рис. 2.5а видно, чтопроизводная d d обращается в ноль не в средней точке слоя   0.5 . Что касается небольшого разрыва действительной части потенциала на Рис. 2.5а, тов рамках гидродинамического приближения его природа не имеет объяснения.

В следующем разделе, используя результаты кинетической теории, мыпокажем, что разрыв потенциала на самом деле отсутствует.У поверхностной волны (2.2.8) имеется и бесстолкновительное затухание, обусловленное тепловым движением. Комплексная частота, учитывающая только такое затухание определяется формулой [3]1  p0 1  i 2 k zVTe  ,2   p 0 (2.3.12)где VTe - тепловая скорость электронов.

Из (2.2.8) и (2.3.12) следует что затухание, обусловленное размытостью границы плазмы, превосходит затухание,связанноестепловымдвижением,привыполнениинеравенства  16  3 2 VTe  p 0 , означающего, что размер области неоднородности плазмыбольше дебаевского радиуса электронов.Из Рис. 2.4 следует, что в области     0.45 имеется еще одна новаяветвь плазменных волн с комплексной частотой  2  Re  2  i Im  2 . Приk z   1 эта частота приближенно также определяется из уравнения (2.2.7),имеющего следующее большое по абсолютной величине решение:2   p 01 i. kz(2.3.13)46Формула (2.3.13) дает комплексную асимптотику кривой  2 ( ) на Рис. 2.4при k z   0 . В длинноволновой области плазменная волна со спектром(2.3.13) является сильнозатухающей, поэтому на фоне поверхностной волны(2.2.8) она может не учитываться. Потенциал и поле сильнозатухающей волны близки к потенциалу и полю двойного слоя с центром в точке x0  0.5 .В области волновых чисел     0.45 , исследованные решения дисперсионного уравнения исчезают, сменяясь, на качественно новые корни.

Изменение характера дисперсионных кривых хорошо видно из Рис. 2.4. Происходит оно в точке ветвления    комплексных функций ~ ( ) . Пренебрегая вприближенном уравнении (2.2.7) логарифмическим членом, имеем2  p2 0 2i   p 041  1 2 2 22   kz 2 kz 2(2.3.14)Приравнивая в последнем уравнении к нулю подкоренное выражение, дляточки ветвления находим   k z   2   0.64 . Численный анализ точного дисперсионного уравнения (см. Рис. 2.4) для точки ветвления дает     0.45.В рамках плазменной модели с профилем (2.2.1) предельный переход кплазме с резкой границей (   0 ) состоит в следующем.