Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 11

Пустьпри x   L0 расположены проводящие стенки волновода (Рис. 2.14б). В этомслучае вместо решения (2.6.4) запишем следующее: A  Fh (k z x) B  sh[k z ( L0  x)] ( x)  0  x  x1 ,x2  x  L0 ,(2.6.13)В области неоднородности плазмы решение остается прежним (2.3.1). Сшивая решения на границах области неоднородности плазмы, стандартным образом получаем дисперсионное уравнение:66th[k z ( L0  x2 )]K1[k z ( x2  x0 )]  K 0 [k z ( x2  x0 )]th[k z ( L0  x2 )] I1[k z ( x2  x0 )]  I 0 [k z ( x2  x0 )](2.6.14)Th( k z x1 ) K1[k z ( x0  x1 )]  K 0 [k z ( x0  x1 )] i s  0 .Th( k z x1 ) I1[k z ( x0  x1 )]  I 0 [k z ( x0  x1 )]В случае плазмы с резкими границами уравнение (2.6.14) переходит в уравнение (1.1.17).

В процессе вывода дисперсионного уравнения (2.6.14) получаются также следующие выражения для постоянных B , С и D в формулах(2.3.1) и (2.6.13) для продольной составляющей напряженности электрического поля в волноводе со слоем неоднородной плазмы: Fh (k z x1 ) I1[k z ( x0  x1 )]  Fh (k z x1 ) I 0 [k z ( x0  x1 )]K 0 [k z ( x2  x0 )]  is I 0 [k z ( x2  x0 )]B AK 0 [k z ( x0  x1 )]I1[k z ( x0  x1 )]  K1[k z ( x0  x1 )]I 0 [k z ( x0  x1 )]Fh (k z x1 ) K1[k z ( x0  x1 )]  Fh(k z x1 ) K 0 [k z ( x0  x1 )] I 0 [k z ( x0  x2 )] K 0 [k z ( x0  x1 )]I1[k z ( x0  x1 )]  K1[k z ( x0  x1 )]I 0 [k z ( x0  x1 )]1 sh[k ( L  x )] ,z02Fh (k z x1 ) I1[k z ( x0  x1 )]  Fh (k z x1 ) I 0 [k z ( x0  x1 )],K 0 [k z ( x0  x1 )]I1[k z ( x0  x1 )]  K1[k z ( x0  x1 )]I 0 [k z ( x0  x1 )]Fh (k z x1 ) K1[k z ( x0  x1 )]  Fh (k z x1 ) K 0 [k z ( x0  x1 )]DA.K 0 [k z ( x0  x1 )]I1[k z ( x0  x1 )]  K1[k z ( x0  x1 )]I 0 [k z ( x0  x1 )]CA(2.6.15)В длинноволновом приближении (2.6.9) дисперсионное уравнение(2.6.14) преобразуется к следующему виду:x xTh (k z x1 ) th[k z ( L0  x2 )] ln 0 1  i s  0 .k z ( x0  x1 )k z ( x2  x0 )x2  x0(2.6.16)Дисперсионное уравнение (2.6.16) также можно получить, сшивая приближенное решение (2.2.5) с решениями (2.6.13) на границах области неоднородности плазмы.

Решая дисперсионное уравнение (2.6.16), имеем:th[k z ( L0  x2 )]Th (k z x1 ) th[k z ( L0  x2 )]  i k z ( x2  x1 ). (2.6.17)3Th(kx)th[k(Lx)]Th(kx)th[k(Lx)]z1z02z1z02 2   p2 0 При получении формулы (2.6.17) предполагалось, что последние два слагаемых в левой части уравнения (2.6.16), определяющие затухание волн, являются малыми. Строго говоря, формула (2.6.16) применима только в длинноволновой области, в которой она преобразуется к следующему виду:67 L0  x2( x2  x1 ) x1 1  i , нечетная волна2 22  L  (x  x )[L(xx)]021021.   p0  22четная волна k z ( L0  x2 ) x1 1  i k z ( x2  x1 ) x1 ,(2.6.18)Выражения (2.6.18) дают длинноволновые асимптотики комплексных спектров частот поверхностных волн плазменного слоя с размытыми границами.Если положить x1  x2  x0 , то получим в точности выражения (1.1.19) дляплазмы с двумя резкими границами в волноводе.

Бесстолкновительное затухание волн (2.6.18) обусловлено возбуждением в плазме локальных ленгмюровских волн в точке плазменного резонанса    p (x) .Обсудим теперь численные решения точного дисперсионного уравнения (2.6.14), которые удобно представить в виде комплексных безразмерныхдисперсионных кривых  (k z )   (k z )  p 0 . Для случая нечетных волн (когдаTh (k z x1 )  th (k z x1 ) ) дисперсионные кривые (действительная часть и модульмнимой части частоты  (k z ) ) изображены на Рис. 2.15.Рис.

2.15Дисперсионные кривые нечетных волн: а- x2  x1  0.5 см , б- x2  x1  1 смРис. 2.15а построен для следующих параметров плазменного волновода:x1  3см, L0  7см , x2  x1  0.5см . Видно, что каждому значению k z соответст-вуют две безразмерные частоты (k z ) . Причем имеются две области значений k z , в пределах которых зависимости (k z ) качественно различные. Этиобласти, судя по рисунку, разделены точкой ветвления дисперсионных кривых, расположенной при k z  0.9см1 .

Таким образом, существуют четыре68волны неоднородного плазменного слоя в волноводе. В области k z  0.9см1 ,т.е. левее точки ветвления, имеется обычная слабозатухающая нечетная поверхностная волна. Комплексная частота данной волны при малых k z определяется первой формулой (2.6.18), а на Рис. 2.15а действительной и мнимойчастям этой частоты соответствуют кривые 1 и 1 . Также из Рис.

2.15а следует, что в области левее точки ветвления имеется еще одна новая ветвьплазменных волн, аналитическую формулу для частоты которой найти неудается. Действительная и мнимая части частоты этой волны изображеныкривыми 2 и 2 .В области волновых чисел k z  0.9см1 , т.е. правее точки ветвления, дисперсионные кривые, как видно из Рис. 2.15а, имеют качественно иной характер (на рисунке им соответствуют линии 3, 3 и 4, 4 ). Чтобы определитьчастоты волн в области правее точки ветвления, рассмотрим плазму с ещебольшим размером области неоднородности. На Рис.

2.15б представленыдисперсионные кривые, рассчитанные для случая x2  x1  1 см при прежнихзначениях параметров x1 и L0 . Видно, что точка ветвления сместилась влево(в точку k z  0.35см1 ), а при дальнейшем увеличении границы x2 она вообщесмещается левее значения k z  0 . Это означает, что в плазменном слое сбольшим размером области неоднородности обычная нечетная поверхностная волна 1 , 1 отсутствует; отсутствует также и вторая поверхностная волна2 , 2(врассматриваемомплазменномслоеэтопроисходитприx2  x1  1.2см 1 ). Таким образом, при достаточно большом размере области не-однородности плазмы остаются только те волны, дисперсионные кривые которых расположены на Рис. 2.15 правее точки ветвления.Рассмотрим подробнее решения правее точки ветвления.

Эти решения,описывают так называемые граничные поверхностные волны. Судя поРис. 2.15б в коротковолновой области, т.е. при больших k z можно предположить существование следующих асимптотик:69Re  3 (k z  )  1,Re  4 (k z  )  0,(2.6.19)Im  3, 4 (k z  )  0,С ростом k z область локализации поля поверхностных волн у волны с частотой 3 смещается к внутренней границе области неоднородности плазмы, а уволны с частотой  4 - к внешней.

Поэтому эти волны и названы граничнымиповерхностными волнами. Оказывается, что граничные поверхностные волны существуют только в плазменных слоях с достаточно размытыми границами: чем резче граница слоя, тем в более коротковолновую область смещаются граничные поверхностные волны.

Из анализа результатов численныхрасчетов можно предположить, что точка ветвления на Рис. 2.15 определяется из соотношения k z ( x2  x1 )  const  0.4Рассмотрим теперь четные волны (когда Th( k z x1 )  cth (k z x1 ) ). Результатычисленного решения точного дисперсионного уравнения (2.6.14) представлены на Рис. 2.16, который построен для тех же случаев, что и Рис.

2.15.Рис. 2.16Дисперсионные кривые четных волн: а- x2  x1  0.5 см , б- x2  x1  1 смГлавным отличием от случая нечетных волн является отсутствие точки ветвления дисперсионных кривых. Однако, как видно из рисунка, имеется некоторое значение k z , правее которого существуют граничные поверхностныеволны (2.6.19). Левее этого k z имеется обычная четная поверхностная волна(кривые 1 и 1 на Рис.

2.16), в длинноволновом пределе описываемая второй70формулой (2.6.18). Здесь же имеется и новая четная сильнозатухающая поверхностная волна (кривые 2 и 2 на Рис. 2.16), частота которой, как следуетиз уравнения (2.6.16), в длинноволновом пределе определяется формулой   p0 1 1.i k x ( x2  x1 )(2.6.20)2z 1Видим, что при увеличении размера области неоднородности плазменногослоя (Рис.

2.16б) уменьшается диапазон волновых чисел, при которых существует обычная четная поверхностная волна, и наоборот, растет область существования граничных поверхностных волн.Рассмотрим еще структуру электрического поля рассмотренных волн.Для примера на Рис. 2.17 и Рис. 2.18 в зависимости от поперечной координаты x представлены составляющие поля исследуемых волн для нечетногослучая (когда Th (k z x1 )  th (k z x1 ) ), рассчитанные для k z  0,6 см1 при различныхзначениях размера области неоднородности плазмы x2  x1 . На Рис. 2.17 изображены составляющие напряженности электрического поля волны 1' и 1''(см. Рис.

2.15а) для случая x2  x1  0.5 см . Из Рис. 2.15а видно, что расчетнаяточка попадает в область обычной нечетной поверхностной волны. НаРис. 2.17а изображены действительная часть составляющей напряженностиполя Ez (1) и мнимая часть этой же составляющей (2). На Рис. 2.17б так жеобозначены действительная и мнимая части составляющей напряженностиполя Ex . Область неоднородности плазмы ограничена на рисунках штриховыми линиями. Если не принимать во внимание разрыва функции Re( E z ) тодействительные части составляющих Ez и Ex напоминают напряженностьполя простого слоя электрического заряда, сосредоточенного в области неоднородности плазмы. Разрыв Re( E z ) , как уже говорилось выше, обусловленвозбуждением в средней точке слоя ( x  3.25 см) локальных ленгмюровскихволн.

Связанный с этим дополнительный электрический заряд имеет структуру двойного слоя. Из Рис. 2.17 следует, что именно структуру поля двойного слоя имеют мнимые части составляющих Ez и Ex .71Для построения графика на Рис. 2.18 размер области неоднородностиплазмы был увеличен вдвое, до x2  x1  1 см . На Рис. 2.18 изображены составляющие напряженности электрического поля волны 4' и 4'' (см. Рис. 2.15б).Рис. 2.17Структура поля обычной нечетной поверхностной волны при x2  x1  0.5 см :а- действительные части полей, б- мнимые части полейРис. 2.18Структура поля обычной нечетной поверхностной волны при x2  x1  1 см :а- действительные части полей, б- мнимые части полейПри этом расчетная точка попадает в область качественно новых волн, аименно граничных поверхностных волн. Из Рис. 2.18а видно, что при увеличении размера области неоднородности плазмы разрыв составляющей напряженности поля Ez смещается вправо. Если рассматривать ветви 3' и 3'',которые также принадлежат граничным поверхностным волнам, то в этомслучае разрыв смещается влево.§2.7.

Случай произвольной зависимости плотности плазмы отпространственной координатыВ длинноволновом приближении поверхностные волны неоднороднойплазмы в волноводе можно исследовать и при произвольном профиле плотности. Не затрагивая общие вопросы существования поверхностных волн то72го, или иного типа, вычислим только комплексные частоты обычных поверхностных волн произвольно неоднородной плазмы. Обозначая  p2 ( x)   p2 0 p( x) ,запишем первое уравнение в (2.1.7) в видеd ~2d~ 2  p( )]   0 .[  p( )]  [dd(2.7.1)Здесь использованы безразмерные переменные (2.3.8) и   x L . Если   1 ,то в области неоднородности плазмы 0    1 в уравнении (2.7.1) можно пренебречь недифференциальным членом и записать его решение в видеd  ( )  C  ~ 2 D , 0    1.  p ( )0(2.7.2)В областях волновода, где плазма однородная, решение по-прежнему определяется формулами (2.5.1), которое в безразмерных величинах выглядитследующим образом: (~,  )  A exp( )1  exp( 20 ) exp( 2 ),   0    0 , (~,  )  B exp(  )1  exp[ 2 (1   0 )] exp( 2 ) , 1    1   0 ,(2.7.3)Сшивая решения (2.7.2) и (2.7.3) в точках   0 и   1 , получаем обычнымобразом следующее дисперсионное уравнение:12~ 2  [ p (0)  p (1)] th ( 0 )   [~ 2  p (0)][~ 2  p (1)] 0d 0.2~  p ( )(2.7.4)В размерных переменных уравнение (2.7.4) можно также представить в болеенаглядной форме1 1dx   th (k z L0 )  k z 0,(x) 1  2 0(2.7.5)где  1, 2 - диэлектрические проницаемости плазмы левее и правее области неоднородности.