Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 4

В изотропнойсреде без пространственной дисперсии поперечная и продольная диэлектрические проницаемости совпадают. Таким образом, в случае холодной плазмы без магнитного поля величина  ( ) в (1.1.2) совпадает с  | |из (1.2.2).20на частотную область существования поверхностных волн:e2   2   p2 .(1.2.6)Поэтому в левой части уравнения (1.2.5) нельзя просто сократить первое сла  . С учетом сказанного уравнение (1.2.5) преобразуется к видугаемое на( p2   2 )( 2g   2 )   2 ( 2  e2 ) , откуда получается следующее выражение длячастоты: 2 2g2 g2,(1.2.7)где  g   p2  e2 - верхняя гибридная частота.Далее будет показано, что в коротковолновом пределе частоты любыхповерхностных волн магнитоактивной плазмы выходят на частоту (1.2.7)[69].

Эта частота удовлетворяет ограничению (1.2.6) только при выполнениинеравенстваe2   p2 ,(1.2.8)которое является необходимым условием существования поверхностныхволн в магнитоактивной плазме. В дальнейшем это условие мы считаем выполненным.Перейдем теперь к рассмотрению магнитоактивной плазмы с однойсвободной границей в волноводе (Рис. 1.1б). Потенциал в этом случае определяется формулой Ash[ k z ( x  L1 )],  L1  x  0 ( x)  . B sh[ ( x  L2 )] , 0  x  L2(1.2.9)Подставляя (1.2.9) в граничные условия получаем дисперсионное уравнение(сравни с (1.1.9)):   ||   th (k z  ||   L2 )th (k z L1 ) 0.(1.2.10)Уравнение (1.2.10) удается проанализировать в коротковолновом ( k z L1, 2  1 ) идлинноволновом ( k z L1, 2  1 ) пределах.

В этих предельных случаях после несложных преобразований получаем из (1.2.10) следующие частотные спек21тры:2  2g2, k z L1, 2  1,(1.2.11)L1   , k z L1, 2  1.L1  L222e2pХарактерные дисперсионные зависимости ~ ( ) , построенные по формуле(1.2.10), представлены на Рис.

1.6 (по оси абсцисс отложено безразмерноеволновое число   k z L1 , по оси ординат – безразмерная частота ~    p , e  p  1 4 ).Рис. 1.6Частоты поверхностных волн магнитоактивной плазмы с одной границей в волноводе:жирная линия - L2 L1  1 5 ; пунктирная линия - L2 L1  1 ; обычная линия - L2 L1  5 .Теперь рассмотрим случай магнитоактивной плазмы с двумя резкимиграницами в безграничном пространстве (Рис.

1.3а). В этом случае решениеуравнения (1.2.1) имеет вид:x   x0 , A exp k z x , ( x)  C exp  x   D exp   x ,  x0  x  x0 , B exp  k x ,x  x0 .z(1.2.12)Подставляя это решение в граничные условия при x   x0 , получим следующее дисперсионное уравнение:exp( 4k z x0  ||  ) 1 ||    12 ||  2.(1.2.13а)Откуда следуют два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы   ||    th (k z x0  ||   )  0 ,   ||    cth (k z x0  ||   )  0 .22(1.2.13б)При e  0 уравнения (1.2.12а) и (1.2.12б) переходят в уравнения (1.1.13а) и(1.1.13б) соответственно. Поэтому первое уравнение (1.2.13б) определяетчастоту нечетной волны, а второе уравнение (1.2.13б) – четной.В коротковолновом пределе ( k z x0   ) оба уравнения (1.2.13б) переходят в уравнение (1.2.5), т.е.

частоты нечетной и четной поверхностных волн впределе коротких длин волн выходят на частоту (1.2.7).В противоположном длинноволновом пределе ( k z x0  0 ) дисперсия нечетной и четной поверхностных волн оказывается существенно различной,как и при нулевом внешнем магнитном поле. В случае нечетной поверхностной волны первое уравнение (1.2.13б) при k z x0  1 преобразуется к виду ||   (   k z x0 )  0 .(1.2.14)Откуда для квадрата частоты находим следующее выражение: 2   2g   p2 k z x0 .(1.2.15)Заметим, что в длинноволновом пределе выражение (1.1.13) со знаком плюспреобразуется к виду  2   p2 (1  k z x0 ) .

Именно в это выражение переходит(1.2.15) при e  0 .Для нахождения длинноволновой части спектра четной волны запишемдисперсионное уравнение (1.2.13а) в видеexp( 2k z  ||   x0 )     ||    1   ||    1(1.2.16).Уравнение (1.2.16) со знаком плюс описывает четные волны, а уравнение сознаком минус – нечетные волны. Сейчас нас интересует только четная волна.Легко видеть, что при k z  0 уравнение (1.2.16) со знаком плюс не можетиметь решений, если величина  ||   не имеет особенности. Особенностямиявляются или нуль   , или полюс  || . Нуль   не подходит, поскольку приk z  0 этот ноль определяет частоту нечетной волны (1.2.15).

Остается полюс || , т.е. точка   0 . Таким образом, дисперсионная кривая четной волны вы-ходит из точки   0, k z  0 (как и при e  0 , см. формулу (1.1.13) со знаком23минус). Однако, согласно неравенству (1.2.6), в области частот 0    e четная волна в объеме плазмы не является поверхностной волной, что при мнимом  следует также и из формулы (1.2.12).Предполагая, что выполнены неравенстваk z x0  ||    1 ,  ||  1 ,(1.2.17)преобразуем дисперсионное уравнение (1.2.16) со знаком плюс к видуk z x0 ||  1  0 .(1.2.18)Откуда для квадрата частоты имеем выражение 2   p2 k z x0 (1  k z x0 ) .(1.2.19)Учитывая уравнение (1.2.18), видим, что неравенства (1.2.17) оказываютсятождественными и могут быть записаны в виде следующего ограничения начастоту: 2 |  2  e2 |   p2  2g .(1.2.21)Последнее легко выполнимо для частот от нуля до значений превосходящих e , особенно, если неравенство (1.2.8) является достаточно сильным. Заме-тим, что в длинноволновом пределе спектр (1.2.19) получается из формулы(1.1.13) со знаком минус.

Таким образом, в длинноволновой области частотачетной поверхностной волны не зависит от внешнего магнитного поля [70].Рис. 1.7Частоты волн плоского плазменного слоя со свободными границами:жирная линия – четная ветвь; обычная линия – нечетная ветвь; пунктир -  g 2 .Дисперсионные зависимости ~ ( ) , построенные численно по точнымдисперсионным уравнениям (1.2.16), представлены на Рис.

1.7 (  e  p  1 4 ).Для полноты изложения рассмотрим еще слой магнитоактивной плаз24мы в волноводе (Рис. 1.3б). Решение уравнения (1.2.1) запишем в виде (см.(1.1.16)) A sh[k z ( L  x)], ( x)   B exp( x)  C exp(  x), D sh[k ( L  x)],z L  x   x0 x0  x  x0 ,(1.2.22)x0  x  LПодставляя решение (1.2.15) в граничные условия и исключая постоянныеA, B, C , D , получаем следующее дисперсионное уравнение:exp( 4k z x0  ||  )th[k ( L  x )]  1 ||   th[k z ( L  x0 )]  122 ||  z.(1.2.23а)0Откуда находим два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах слоя магнитоактивной плазмы в волноводе (см. уравнения (1.1.17)):   ||   th[k z ( L  x0 )]  th( k z x0  ||   )  0 ,   ||   th[k z ( L  x0 )]  cth( k z x0  ||   )  0.(1.2.23б)При L   уравнения (1.2.23) переходят в дисперсионные уравнения (1.2.13).Уравнения (1.2.23) решаются примерно так же, как и уравнения(1.2.13).

Поэтому, опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат. В коротковолновом пределе частоты нечетной и четной поверхностных волн выходят, как и положено, на  g2 . В длинноволновомпределе ( k z x0  1 и k z ( L  x0 )  1 ) частота нечетной и четной поверхностныхволн определяется формулами (см. (1.1.19)) 2  e2   p2L  x0,  2   p2 k z2 x0 ( L  x0 ) .L(1.2.24)Дисперсионные зависимости ~ ( ) , построенные численно по точнымдисперсионным уравнениям (1.2.23), представлены на Рис. 1.8 (по оси абсцисс отложено безразмерное волновое число   k z L1 , по оси ординат – безразмерная частота ~    p ,  e  p  1 4 ).25Рис. 1.8Частоты волн плоского плазменного слоя в плоском волноводе:жирная линия – четная ветвь; обычная линия – нечетная ветвь; пунктир -  g2.§1.3. Цилиндрически симметричные плазменные системы.Плазменный волноводБольшое значение для приложений имеют плазменные системы с осевой симметрией в цилиндрических волноводах [57].

Представляют интерестри конфигурации плазмы с цилиндрической симметрией: плазма, имеющаяодну резкую внешнюю границу (Рис.1.10а); плазма с одной внутренней резкой границей, примыкающая к стенке волновода (Рис.1.10б); плазма с двумярезкими границами – трубчатая плазма (Рис.1.10в).Рис. 1.9Профили плотности плазмы в цилиндрической геометриис резкими границами в волноводе: а – плазма с внешней границей;б – плазма с внутренней границей; в – трубчатая плазмаТеория поверхностных волн в цилиндрически симметричных плазменных системах в отсутствие внешнего магнитного поля так же строится на основе краевой задачи (1.1.1). Только уравнение для потенциала записывается вцилиндрических координатах r и z (вывод уравнения представлен в Главе 3):1 d dr k z2  0 ,r dr dr(1.3.1)а первое и второе граничные условия (1.1.1) ставятся на цилиндрических по26верхностях раздела сред{}r  rn  0, d   0, dr r rn(1.3.2)где rn - координата точки разрыва диэлектрической проницаемости  ( ; r ) .Помимо граничных условий (1.3.2) следует использовать условие ограниченности потенциала в нуле.