Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 8

В размерной формеположение точки ветвления определяется соотношением k z   1  0.45 1 .При   0 точка ветвления уходит в право, и в любой конечной части плоскости , k z остается только обычная слабозатухающая поверхностная волна сзаконом дисперсии (2.2.8).Рассмотрим решения ~ 1, 2 ( ) вправо от точки ветвления подробнее. Судя по Рис.2.4 в коротковолновой области, т.е. при k z   1 можно предположить существование следующих асимптотик:Re  1 (k z   )  1,Re  2 (k z   )  0,(2.3.15)Im  1, 2 (k z   )  0.Вторая из асимптотик (2.3.15) требует уточнения. Дело в том, что она записана для плазменного профиля типа (2.2.1), в котором плотность плазмы в47некоторой области x обращается в тождественный ноль.

Можно показать, чтодля более общего профиляx0, ( x)   (1   ) x    , 0  x   1,x(2.3.16)Re  2 (k z   )   .(2.3.17)2p2p0будетПри этом изменится частота колебаний и в длинноволновой области, а именно [26]:Re  1 (k z   0)  (1   ) 2 .(2.3.18)Поскольку мнимая часть частоты мала по сравнению с ее действительной частью, то волны со спектрами (2.3.15) и (2.3.17) являются слабозатухающими (по крайней мере, при достаточно больших k z  ). Эти волны обусловлены возмущениями плотности плазмы, локализованными вблизи границ области неоднородности – тем ближе, чем больше k z  . Возмущенияплотности имеют характер двойных слоев с разрывами действительных имнимых частей потенциалов. На Рис. 2.6 и Рис.

2.7 представлены потенциалыи поля исследуемых волн (Рис. 2.6 -  1 , Рис. 2.7 -  2 ), рассчитанные дляk z L  0.6 ; обозначения те же, что и на Рис. 2.5.21.50.5 ,Ex1-0.50-0.5 0-10.5-10.511.5-0.500.511.52-1.5-1-2-2.5-2-3-0.5-12-1.5-2.5 ,Ex0-3а-3.5бРис. 2.6Поперечная компонента Ex ( ) электрического поля и потенциала  ( ) поверхностнойволны плазмы с линейным профилем плотности: а- Re Ex - жирная линия, Re  - обычнаялиния, б- Im Ex - жирная линия, Im  - обычная линия48Легко проверить, что разрывы потенциалов приходятся именно на теточки, где    p (x) , а  принадлежит кривым (верхней и нижней соответственно), приведенным на Рис.

2.4 (при k z   0.6 ). При k z    исследуемыеволны локализуются в тонких слоях на границах области неоднородностиплазмы, переходя в так называемые граничные объемные волны [24].1.50.5 ,Ex ,Ex10.50-1-0.500.511.50-1-0.500.511.522-0.5-0.5-1а-1.5-1бРис. 2.7Поперечная компонента Ex ( ) электрического поля и потенциала  ( ) поверхностнойволны плазмы с линейным профилем плотности: а- Re Ex - жирная линия, Re  - обычнаялиния, б- Im Ex - жирная линия, Im  - обычная линия§2.4. Учет теплового движения и обоснование правила ЛандауРассмотрим теперь влияние теплового движения на волны полуограниченной плазмы с плавным профилем плотности. Используя гидродинамическое приближение с учетом газокинетического давления [7], запишем следующие уравнения для потенциала, плотности и гидродинамической скорости электронов (сравни с (2.1.4)): i V x  V 2 dn~e d Te,m dx n0 ( x) dx i Vz  iV2ek z  i Te k z n~,mn0 ( x)(2.4.1)d i n~  ik z n0 ( x)Vz  [n0 ( x)Vx ]  0 ,dx2d  k z2  4 en~ .2dxИсключая возмущения скорости, преобразуем систему (2.4.1) к виду:49[ 2  k z2VTe2   p2 ( x)]n  VTe2d p2 ( x) dd 2n,dx 2dx dxd 2 k z2   n .2dx(2.4.2)Наконец, исключая n  4 en~ , получаем одно уравнение для потенциала VTe22d 4 dd2 2 d [(x)]kV k z2 ( x)  0 ,z Tedx 4 dxdxdx 2(2.4.3)где ( x)   2  k z2VTe2   p2 ( x) .

При VTe  0 уравнение (2.4.3) переходит в (2.1.7).Поскольку уравнение (2.4.3) является уравнением с малым параметром пристаршей производной, предельный переход VTe  0 требует дополнительногоисследования.Пусть  p2 ( x) есть линейная функции x - формула (2.2.1). Заметим, чтослучай линейного профиля плазмы фактически является исчерпывающим,поскольку любую дифференцируемую функцию в малой области измененияаргумента можно аппроксимировать линейной зависимостью. Вводя безразмерные величины2 2  k z2VTe2VTe2rDex, y,,   kz  , p2 0 p2 0 2 L2(2.4.4)запишем уравнение (2.4.3) в видеd 4 ddd 22(y)  2 (  y )  0 .42dddd(2.4.5)Основная проблема, с которой нам пришлось столкнуться в §2.2 при рассмотрении поверхностных волн в плавно неоднородной холодной плазме,связана с обходом полюса при интегрировании первого уравнения (2.2.2).Напомним, что обход полюса по правилу Ландау приводит к разрыву потенциала и компоненты поля Ez – см.

формулы (2.2.4), (2.3.1) и Рис. 2.5 (обычная линия). Именно эту проблему мы и намереваемся обсудить с учетом теплового движения электронов. При этом ограничимся длинноволновым приближением, а тепловое движение считаем малым, т.е.   1 . Исследуем также предельный переход   0 .В длинноволновом приближении, при   1 , в левой части уравнения50(2.4.5) можно отбросить два последних члена. После чего оно один раз интегрируется, что дает (см. (2.2.4))d 3d (  y ) Const ,3dd(2.4.6)где Const – произвольная постоянная, отличная от нуля. Вводя новую функциюU ( ) d,d(2.4.7)пропорциональную напряженности электрического поля Ex , переходим от(2.4.6) к следующему неоднородному уравнению второго порядка:d 2U (  y )U  Constd 2(2.4.8)Линейно независимые решения однородного уравнения (2.4.8) выражаются через функцию Эйри Ai [76].

Одно решение возьмем в видеU1 ( )  Ai  -1 3 (  y) .Посколькууравнение(2.4.9)(2.4.8)инвариантноотносительнозамены  y  (  y) exp( i 2 3) , второе решение можно взять одним из следующих:U 2 ( )  Ai  -1 3 (  y) exp(i 2 3)  Ai()-1 3(  y) .(2.4.10)Используя далее метод вариации постоянных [77], запишем общее решениеуравнения (2.4.8) в виде(  )(  )U ( )  Const  f ( ), f ( )  U1 ( )  U 2 ( ) d   U 2 ( )  U1 ( ) d  ,(2.4.11)где  (  ) ,  (  ) - постоянные, о выборе которых будет сказано ниже (мы не уточняем множитель Const в (2.4.8) и (2.4.11), поскольку для дальнейшего егозначение несущественно).

Хотя уравнение (2.4.6) имеет смысл только на интервале 0    1 (где плазменная частота дается формулой (2.2.1)), решение(2.4.11) будем рассматривать на всей комплексной плоскости  . Предполагаем также, что функция (2.4.11) обращается в ноль на действительной оси при    , что соответствует структуре поля поверхностной волны, локализованной где-то внутри области неоднородности плазмы.

Поясним, что, го51воря об ограниченности на бесконечности, мы имеем в виду ограниченностьвдали от точки плазменного резонанса, но все же еще в пределах области неоднородности плазмы.Рис. 2.8( )Расположение секторов роста функций Эйри Ai , Ai (  ) и Aiна комплексной плоскости  и контур интегрирования С.Для анализа решения (2.4.11) рассмотрим асимптотики функций (2.4.9)и (2.4.10) при |   y |   на комплексной плоскости  – Рис.

2.8: в точке О  y ; в секторе АОС функция Ai убывает, функции Ai (  ) и Aiсекторе АОВ функции Ai и Ai (  ) возрастают, функция Ai( )( )возрастают; вубывает; в секто-ре ВОС функция Ai возрастает, функция Ai (  ) убывает, функция Ai( )возрас-тает; действительная ось Im   0 проходит ниже точки О при Im y  0 и – выше точки О при Im y  0 .Для того, чтобы решение (2.4.11) стремилось к нулю на действительнойоси  при    необходимо, чтобы произведение U1 ( )U 2 ( ) было по крайней мере ограниченно в бесконечности на действительной оси. Согласно(2.4.9), (2.4.10) U1 ( )U 2 ( ) есть Ai(u)Ai ( ) (u)  F ( ) (u) , или Ai(u)Ai ( ) (u)  F ( ) (u) ,где u   -1 3 (  y) .

Из Рис. 2.8 следует, что на отрицательной действительнойполуоси  требованию ограниченности удовлетворить заведомо нельзя: приIm y  0 отрицательная полуось проходит в секторе АОВ, где ограниченна52F ( ) (u) и неограниченна F (  ) (u) ; при Im y  0 отрицательная полуось располо-жена в секторе ВОС, в котором F ( ) (u) неограниченна, а ограниченна F ( ) (u) .Таким образом, в том виде, в котором оно получено, уравнение (2.4.8) (и более общее уравнение (2.4.5)) не имеет решений, соответствующих поверхностным волнам.Получается, что в рамках гидродинамической модели учет тепловогодвижения не снимает проблему построения регулярных решений для электрического поля поверхностных волн в неоднородной плазме.

Но этого иследовало ожидать, поскольку в гидродинамике тепловая поправка к собственной частоте волны приводит только к смещению точки плазменного резонанса на действительной оси. С другой стороны известно, что в кинетическойтеории тепловая поправка к частоте является комплексной, причем мнимая еёчасть описывает бесстолкновительное затухание Ландау поверхностныхволн. Для того чтобы в рамках гидродинамического подхода учесть бесстолкновительное затухание волн, обусловленное тепловым движением электронов, следует в уравнениях (2.4.5) или (2.4.8) осуществить замену   exp( i ) ,(2.4.12)где постоянная  такая, что мнимая часть в (2.4.12) является отрицательной(например,   (0,  2] ). Замена (2.4.12) вводит в теорию дополнительное затухание, не связанное с пространственной неоднородностью плазмы.

Действительная часть комплексного числа (2.4.12) дает вклад в действительнуюпоправку к частоте, а поэтому при   1 существенного значения не имеет.Напротив, мнимая часть (см. далее) является принципиально важной. Поэтому в (2.4.12) без ограничения общности можно положить    2 , т.е.  i |  | .В результате замены (2.4.12) границы секторов АОС, АОВ и ВОС поворачиваются по часовой стрелке на угол  3 – Рис. 2.8. При этом отрицательная часть действительной полуоси  при любом знаке Im y попадает всектор ВОС , в котором ограничено произведение F ( ) (u)  Ai(u)Ai ( ) (u) .

Сле53довательно, функцию f ( ) в решении (2.4.11) нужно задать формулой:(  )f ( )  Ai(u )  Ai (u) d   Ai (u )  Ai (u)d  ,()()(  )(2.4.13)где u   -1 3 (  y) , u   -1 3 (   y) , а  - комплексная величина (2.4.12). Определенная таким образом функция f ( ) обращается в ноль на действительнойоси  при    . В силу того, что функция Ai в (2.4.13) стремится к нулюпри    , а функция Ai (  ) стремится к нулю при    , то при |  |  1 следует в (2.4.13) положить  ( )   и  ( )   .Рис. 2.9Действительная и мнимая части функции F ( ) [ 1 3 (  y)]Характерный график функции F ( ) [ 1 3 (  y)] при действительном представлен на Рис. 2.9 ( ~ 2  0.5  0.01i ,   108 i ).