Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 3

Поверхностные волны в плазме с резкими границамив отсутствии внешнего магнитного поляПоверхностные волны связаны с границами раздела материальныхсред. Поскольку поляризация сред по разные стороны границы раздела разная, на границе формируется поверхностный заряд в виде простого слоя. Приопределенных условиях этот простой слой и формирует поверхностную волну. Так как поле простого слоя убывает в обе стороны от слоя, то и поле поверхностной волны также убывает при удалении от границы раздела сред(обычно экспоненциально).Пусть изотропный однородный диэлектрик (например, холодная электронная плазма), имеющий диэлектрическую проницаемость  ( ) , занимаетполупространство x  0 , область x  0 является вакуумной, а граница диэлектрика с вакуумом x  0 является резкой (Рис.

1.1а).Рис. 1.1Профили плотности плазмы с резкой границей:а - в свободном пространстве; б - в волноводе13Рассмотрим в потенциальном приближении некоторое электромагнитное возмущение (волну), распространяющееся вдоль границы x  0 (для определенности в направлении оси z ).

Представляя потенциал электрическогополя в виде (t , x, z)   ( x) exp( it  ik z z) , запишем следующее уравнение длякомплексной функции  (x) (вывод уравнения представлен в Главе 2):d 2 k z2  0 ,2dx(1.1.1)и граничные условияd {}x  0  0 ,  ( )   0 , |  || x |    0 .dx  x 0(1.1.2)Здесь k z - волновое число,  - частота. Второе граничное условие в (1.1.2) означает непрерывность на границе диэлектрика нормальной компоненты вектора электрической индукции, а третье условие означает, что поле затухает вобе стороны от границы x  0 (как это и должно быть в случае поверхностнойволны).Ограниченное при x   решение уравнения (1.1.1) имеет вид A exp k z x , x  0 ( x)  , B exp  k z x  , x  0(1.1.3)где A и В - произвольные постоянные.

Подставляя (1.1.3) в граничные условия (1.1.2), получаем следующее дисперсионное уравнение для определениясобственных частот поверхностных волн в потенциальном приближении: ( )  1  0 .(1.1.4)Из (1.1.4) видно, что не на всякой границе раздела имеются поверхностныеволны. В частности, на границе диэлектрика, проницаемость которого ( )   0  const , потенциальных поверхностных волн нет.

Большой интереспредставляет случай ( )  1   p2  2 ,(1.1.5)где  p - некоторая постоянная. В этом случае для частоты поверхностной14волны из (1.1.4) имеем 1 2   p2 2     p2.(1.1.6)В плазме имеются многочисленные типы поверхностных волн [3]. В частности, в простейшем случае холодной электронной бесстолкновительной плазмы диэлектрическая проницаемость имеет вид (1.1.5), где  p - электроннаяленгмюровская частота [5]. Тем самым частоты (1.1.6) являются частотамипростейших поверхностных волн на границе плазменного полупространства.Волны (1.1.6) не имеют дисперсии, т.е.

частота  не зависит от волнового числа k z . Дисперсия появляется, если система ограничена в направленииоси x . Пусть, например, при x   L1 и x  L2 расположены две идеально проводящие заземленные плоскости – стенки плоского волновода (Рис. 1.1б).Тогда вместо условий на бесконечности в (1.1.2) нужно использовать следующие граничные условия [66]: x  L   x  L  0 .1(1.1.7)2В результате изменится выражение для потенциала (1.1.3) Ash[k z ( L1  x)],  L1  x  0. Bsh[k z ( L2  x)], L2  x  0 ( x)  (1.1.8)Подстановка решения (1.1.8) в первое и второе граничные условия (1.1.2)приводит вместо (1.1.4) к следующему дисперсионному уравнению: ( ) th (k z L2 ) 0.th (k z L1 )(1.1.9)Отсюда для частоты поверхностных плазменных волн имеем1 th (k z L2 )    1  . th (k z L1 ) 22p(1.1.10)Характерные дисперсионные зависимости ~ ( ) , построенные по формуле (1.1.10), представлены на Рис.

1.2 (по оси абсцисс отложено безразмерное волновое число   k z L1 , по оси ординат – безразмерная частота ~    p ).Видно, что, в зависимости от соотношения между размерами вакуумной ( L1 )1Здесь и далее приводятся значения частот только с положительной вещественной частью.15и плазменной ( L2 ) областей волновода, дисперсия поверхностной волны является нормальной ( L2  L1 ) , или аномальной ( L2  L1 ).

Это связано с тем, что вобласти частот  2   p2 потоки энергии волны (вдоль оси z ) по плазме и вакууму противоположны.Рис. 1.2Частоты поверхностных волн плазмы с одной границей в волноводе:жирная линия - L2 L1  5 , пунктирная линия - L2 L1  1 , обычная линия - L2 L1  1 / 5Число различных поверхностных волн в системе определяется числомимеющихся в ней свободных границ раздела сред. Рассмотрим плоский слойдиэлектрика  x0  x  x0 , граничащий с вакуумными областями x   x0 и x  x0(Рис.

1.3а). Обе границы диэлектрика считаем резкими.Рис. 1.3Профили плотности плазмы с двумя резкими границами:а – в свободном пространстве; б – в волноводеПотенциал электрического поля в случае слоя диэлектрика определяется из краевой задачи (1.1.1), (1.1.2), в которой первое и второе граничные условия ставятся не в нуле, а при x   x0 .

Представляя потенциал в виде16x   x0 A exp( k z x), ( x)  B exp( k z x)  C exp( k z x),  x0  x  x0 , D exp( k x),x  x0z(1.1.11)и используя граничные условия, приходим к следующему дисперсионномууравнению:2  ( )  1  .exp( 4k z x0 )    ( )  1 (1.1.12а)Откуда получаем два дисперсионных уравнения для частот двух поверхностных волн на границах плазменного слоя: ( )  th (k z x0 )  0 , ( )  cth (k z x0 )  0 .(1.1.12б)При k z x0   оба уравнения (1.1.12б) переходят в (1.1.4).Для среды с диэлектрической проницаемостью (1.1.5) решения дисперсионных уравнений (1.1.12) оказываются следующими [67]: 2 p22[1  exp( 2k z x0 )] .(1.1.13)Двум частотным спектрам (1.1.13) соответствуют две различные структурыпотенциала (1.1.11) sh (k z x0 ) exp[ k z ( x0  x)] , x   x0 ( x)  sh (k z x) ,  x0  x  x0, sh (k x ) exp[ k ( x  x)] , x  xz 0z00ch (k z x0 ) exp[ k z ( x0  x)] , x   x0 ( x)  ch (k z x) ,  x0  x  x0. ch (k x ) exp[ k ( x  x)] , x  xz 0z00(1.1.14)Первая функция (1.1.14) является нечетной функцией координаты x .

Поэтому соответствующая волна (ее частота определяется формулой (1.1.13) сознаком плюс) называется нечетной поверхностной волной. У нечетной волныкомпонента поля Ez является нечетной функцией x , а компонента Ex - четной функцией. Вторая функция (1.1.14) является четной, а поэтому соответствующая волна (частота определяется формулой (1.1.13) со знаком минус)называется четной поверхностной волной. У четной волны компонента поля17Ez является четной функцией x , а компонента Ex - нечетной функцией. НаРис. 1.4 по формулам (1.1.14) построены функции  ( x)  ikz1Ez (жирная линия)и Ex   d dx (обычная линия).

Рис. 1.4а поясняет структуру потенциала иполя нечетной волны; Рис. 4б дает структуру потенциала и поля четной волны.Рис. 1.4Структура поля поверхностных волн плазменного слоя:а – нечетная волна; б – четная волнаРассмотрим теперь, как изменятся спектры (1.1.13), если плазменныйслой находится в волноводе. Чтобы не нарушать симметрию системы предположим, что стенки волновода расположены при x   L , L  x0 (Рис. 1.3б).Вместо условий на бесконечности в (1.1.2) нужно использовать следующиеграничные условия: x  L  0 .(1.1.15)С учетом (1.1.15) выражение для потенциала удобно взять в виде A sh[k z ( L  x)], ( x)   B exp( k z x)  C exp( k z x), D sh[k ( L  x)],z L  x   x0 x0  x  x0 .(1.1.16)x0  x  LПодстановка решения (1.1.16) в первое и второе граничные условия приx   x0приводит вместо (1.1.12б) к следующим дисперсионным уравнениям: ( ) th[k z ( L  x0 )]  th (k z x0 )  0 ,. ( ) th[k z ( L  x0 )]  cth (k z x0 )  0.(1.1.17)Откуда для частот поверхностных волн имеем 2   p2th[k z ( L  x0 )] [1  exp( 2k z x0 )].{th[k z ( L  x0 )]  1}  {th[k z ( L  x0 )]  1} exp( 2k z x0 )18(1.1.18)При k z ( L  x0 )   формулы (1.1.18) переходят в (1.1.13) (дисперсионныеуравнения (1.1.17) переходят в (1.1.12б)).

Заметим, что при x0  L частоты(1.1.18) обращаются в ноль. Это – общее свойство поверхностных волн награнице плазма – идеальный проводник. В коротковолновом пределе, когдаk z ( L  x0 )  1и k z x0  1 , частоты (1.1.18) выходят на    p / 2 . В противопо-ложном длинноволновом пределе ( k z x0  1 и k z ( L  x0 )  1 ) для частот нечетной и четной волн соответственно имеем 2   p2L  x0,L 2   p2 k z2 x0 ( L  x0 ) .(1.1.19)Частоты, вычисленные по формулам (1.1.18), представлены на Рис. 1.5: пооси абсцисс отложено безразмерное волновое число   k z x0 , по оси ординат –безразмерная частота ~    p .Рис.

1.5Частоты волн плоского плазменного слоя в плоском волноводе ( L  5x0 ):жирная линия – четная ветвь; обычная линия – нечетная ветвь; пунктир -  p2§1.2. Поверхностные волны в плазме с резкими границамиво внешнем магнитном полеДалее рассмотрим дисперсионные уравнения и спектры частот дляплазмы с резкими границами при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль границ плазмы. В области однородности плазмы вместоуравнения (1.1.1) должно быть использовано следующее уравнение (выводуравнения приводится в Главе 4):19d 2  2  0 .2dxгде  2  k z2(1.2.1) ||. Здесь  1 p2 2  e2,  ||  1  p22(1.2.2)- поперечная и продольная диэлектрические проницаемости магнитоактивной плазмы [68], соответственно, а e - электронная циклотронная частота 2.Записывая уравнение (1.2.1), мы полагали, что  2   p2  e2 .

В вакуумных областях по-прежнему имеет место уравнение (1.1.1). При наличии магнитногополя изменяются также и граничные условия: вместо второго условия (1.1.2)нужно использовать следующее: d   0. dx  x  0(1.2.3)В случае плазменного полупространства (Рис. 1.1а) решение уравнения(1.2.1) имеет вид: A exp k z x , x  0. B exp   x  , x  0 ( x)  (1.2.4)Подставляя (1.2.4) в граничные условия (1.1.2) и (1.2.3), получаем дисперсионное уравнение для определения частоты потенциальной поверхностнойволны на границе магнитоактивной плазмы с вакуумом ||1  0 .(1.2.5)Не сложно видеть, что для существования у уравнения (1.2.5) решений,необходимо чтобы величины   и  || были меньше нуля (первое слагаемое влевой части уравнения должно быть отрицательным; под корнем должна находиться положительная величина). Отсюда имеем следующее ограничение2В граничное условие (1.1.2) входит именно поперечная диэлектрическая проницаемость.