Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 6

Решение уравнения (2.2.4)  ( , x) есть образ Лапласа по времени t потенциала  (t , z, x) . Поэтому  ( , x) является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости  . Для ана35литического продолжения  ( , x) на всю комплексную плоскость  действуем, как в теории затухания Ландау [73]. А именно: интегрирование соотношения (2.2.4) производим по контуру C (x) комплексной плоскости x , начинающемуся в точке x  0 , заканчивающемуся на действительной оси, и обходящему особую точку x  x0 снизу (Рис. 2.2).

Тогда, интегрирование соотношения (2.2.4) даетx  Re x0 ln( x0  x),, 0  x  . (2.2.5)ln( x  x0 )  is , x  Re x0 ( , x)  CF ( x0  x)  D, F ( x0  x)  Здесь s  sgn(Re  ) , а D - постоянная. В справедливости соотношения (2.2.5)~легко убедиться, деформируя контур C ( x) в контур C (x) , как это изображенона Рис. 2.2. Представление (2.2.5) используем для аналитического продолжения функции  ( , x) на всю комплексную плоскость  . Другими словами полагаем, что формула (2.2.5) имеет место при любом знаке мнимой части частоты  .Рис.

2.2Контур интегрирования соотношения (2.2.4) при Re   0Для получения дисперсионного уравнения, определяющего спектрычастот поверхностных волн в исследуемой плазме, выражения (2.2.5) следуетдополнить решениями второго уравнения системы (2.2.2). Поскольку исследуются поверхностные волны, решения должны быть ограничены на бесконечности, а поэтому36 A exp( k z x) , x  0 B exp(  k z x) , x   . ( ; x)  (2.2.6)Поясним, что решая второе уравнение (2.2.2), нельзя отбросить второе слагаемое в правой части, даже при k z  0 , что видно из решения (2.2.6), в котором | x | может быть сколь угодно велик.Подставляя решения (2.2.5) и (2.2.6) в условия непрерывности  иd dx в точках x  0 , x   и исключая постоянные A, B, C , D , находим иско-мое дисперсионное уравнение. Таким образом, в длинноволновом пределе| k z  |  1 дисперсионное уравнение имеет вид  p2 0   2 p2 0 (2 2   p2 0 )0.klnisz2 2 ( p2 0   2 )(2.2.7)В нулевом приближении по параметру k z  решение уравнения (2.2.7) есть 2   p2 0 2 .

При этом логарифмический член в уравнении (2.2.7) обращается вноль. Следовательно, он дает в уравнение (2.2.7) вклад более высокого порядка малости, чем k z  . Тогда, пренебрегая логарифмическим членом, запишем в первом приближении по параметру k z  следующее решение уравнения(2.2.7): p0 1  i k z   .82(2.2.8)Это – обычный спектр поверхностной волны полуограниченной плазмы, но сотличным от нуля декрементом затухания [74]. Надо заметить, что если граница у плазмы не размытая, а резкая, то выражение (2.2.8) переходит в полученное ранее выражение для частоты (1.1.6).

(В первой главе вместо  p 0 было использовано обозначение  p , т.к. плазменная частота не зависела от пространственной координаты x ).Мнимая часть частоты (2.2.8) описывает бесстолкновительное затухание поверхностной волны. Затухание связано с резонансной раскачкой поверхностной волной локальных объемных волн непрерывного спектра   p (x) . Структура потенциала таких волн определяется выражением вида37[75] ( , x) ~  [ x  x0 ( )] exp[ i p ( x)t  ik z z ] ,(2.2.9)где x0 - корень уравнения    p (x) .

В связи с формулой (2.2.9) могла бы бытьуместна аналогия не только с затуханием Ландау, но и с волнами ВанКампена [1,6], или псевдоволнами [8]. Напомним, что затухание Ландауможно трактовать как процесс резонансного возбуждения пучка электронов сфункцией распределения по скоростям V z вида  (Vz   k z ) exp( ik zVz t  ik z z ).Обсудим еще раз проблему обхода особой точки, которая была рассмотрена выше. Запишем решение уравнения (2.2.4) в видеx ( , x)  C 0dx  D.x0  x (2.2.10)Поскольку функция  ( , x) определяет реальную физическую величину – составляющую вектора напряженности электрического поля, то переменную xв выражении (2.2.10) естественно считать вещественной.

Поэтому интегрирование в (2.2.10), казалось бы, может осуществляться вдоль действительнойоси. Покажем, что контур интегрирования в (2.2.10) должен быть другим.Подставляя решения (2.2.6) и (2.2.10) в условия непрерывности функции  ( , x) и ее производной в точках x  0 и x  L , получим следующее дисперсионное уравнение: p2 0 (2 2   p2 0 )dxkz  2 2 0.x  x0 ( p 0   2 )0(2.2.11)Вычисляя интеграл в (2.2.11) вдоль отрезка 0  x  L действительной оси, запишем дисперсионное уравнение (2.2.11) в видеk z  [ln(1   2  p2 0 )  ln(   2  p2 0 )]  p2 0 (2 2   p2 0 ) 0. 2 ( p2 0   2 )(2.2.12)Используя далее формулуln( w)  ln(  w)  i sign ( w) ,(2.2.13)где w  w  i w - любое комплексное число, преобразуем (2.2.12) следующимобразом:38 2  2  2 (2 2   p2 0 )k z  ln p 0 2 i sign ( )   p 02 2 0.  (   2 )p0(2.2.14)Для определенности уравнение (2.2.14) записано для случая sign ( )  1 , а    i .

Видим, что уравнение (2.2.14) отличается от дисперсионногоуравнения (2.2.7) при   0 , т.е. именно в той полуплоскости комплекснойплоскости  , в которой лежат частоты затухающих волн.Покажем, что дисперсионное уравнение (2.2.14) при k z   0 не имеетрешений. Достаточно ограничиться случаем k z   1 . При k z   0 решениемуравнения является    p 02 , поэтому логично предположить, что при ма-лом k z  имеет место представление    p 02  Ο(k z ) . Тогда, с точностью долинейных по k z  членов, в уравнении (2.2.13) можно отбросить логарифмический член, преобразовав его тем самым к виду12 2   p2 0   ik z  sign ( ) .8(2.2.15)С той же точностью из (2.2.15) следует равенство    p2 08 2k z  sign ( ) ,(2.2.16)которое может иметь место только при k z   0 . Численное исследование показывает, что уравнение (2.2.14) не имеет решений и при не малых значенияхпараметра k z  .Таким образом, уравнение (2.2.11), если вычисление входящего в негоинтеграла осуществляется вдоль действительной оси x , не является дисперсионным уравнением для частот плазменных волн.

Преодолеть проблемуможно только аналитическим продолжением подынтегральной функции изверхней полуплоскости комплексной плоскости  на полуплоскость   0 .Для аналитического продолжения путь интегрирования следует сместить так,чтобы он проходил на комплексной плоскости x ниже особой точки x  x0~(см. Рис. 2.2, контур С ). Действительно, линия, вдоль которой точка x  x0смещается на комплексной плоскости x вниз (при изменении  от положи39тельных значений к отрицательным), не может пресекать контур интегриро~вания.

Интеграл по контуру С равен интегралу вдоль отрезка 0  x   действительной оси, плюс вклад 2 i от обхода полюса x  x0 . При этом вместо(2.2.14) имеем следующее уравнение:  p0   2  p2 0 (2 2   p2 0 )k z  ln i sign ( )  2 i   2 2 0.2  (   2 )p0(2.2.17)Последнее уравнение справедливо в области   0 , а в области   0 попрежнему верно уравнение (2.2.14). Таким образом, объединение уравнений(2.2.17) и (2.2.14) приводит к дисперсионному уравнению (2.2.7), справедливому на всей комплексной плоскости  .Однако аналитическое продолжение, снимая проблему дисперсионногоуравнения, приводит к другой трудности теории, связанной с формулой(2.2.10).

Вычисляя в (2.2.10) интеграл, следует помнить о принятом вышеправиле обхода полюса x  x0 , расположенного ниже действительной оси x .Заметим, что в (2.2.10) вещественным является только верхний предел интегрирования, а сам интеграл может вычисляться по любому комплексномуконтуру. Результат интегрирования, очевидно, зависит от того находитсяособая точка x  x0 между контуром интегрирования и вещественной осью,или нет.

Проведем на комплексной плоскости   x  ix разрез между точкойx0 и особой точкой – Рис. 2.3.Рис. 2.3Комплексная плоскость  , разрез x0  x0 и контуры интегрированияпри вычислении потенциала (случай   0 )Процедуре аналитического продолжения соответствует следующий порядок40вычислений: если верхний предел интегрирования в (2.2.10) лежит левее x0 ,то интегрирование проводится вдоль контура C1 , если же верхний пределрасположен правее точки x0 , то интегрирование осуществляется по контуруC2 . Точка x0 при этом оказывается точкой разрыва функции  ( , x) . Разрезможно провести и из любой другой точки ~x0  (0, x) (пунктир на Рис.

2.3), приэтом разрыв потенциала окажется в точке ~x0 . Естественно положить ~x0  x0 ,но очевидно возможен и какой-то другой способ выбора точки x0 . Трудностьаналитического продолжения как раз и состоит в отсутствии способа для однозначного определения точки x0 , в связи с чем, неоднозначным оказываетсяположение особой точки реальной физической величины – составляющейвектора напряженности электрического поля. Указанную трудность в рамкахмодели холодной гидродинамики плазмы преодолеть нельзя.