Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 10

Эти решения соответствуют граничным объемным вол-нам, дисперсионные кривые которых изображены на Рис. 2.4 правее точкиветвления k z     0.45 .Приведем еще приближенное решение уравнения (2.5.7), которое получается, если пренебречь в уравнении (2.5.7) логарифмическим членом, 2 p2 0  kz 1  i2 4 th k z L0 (2.5.9)60Это решение справедливо пока мнимая часть частоты мала по сравнению сдействительной частью, т.е. переходить к пределу k z L0  0 в (2.5.9) нельзя.Рассмотрим характерное численное решение точного безразмерногодисперсионного уравнения (2.5.3).

На Рис. 2.12 представлены комплексныерешения уравнения (2.5.3) полученные при   0.2 в зависимости от параметра  0 . Видно наличие точки ветвления 0   0  2.45 функций ~ 1, 2 ( 0 ) .Правее точки ветвления на Рис. 2.12 располагаются зависимости~ 1, 2 ( 0 ) , соответствующие ветвям ~ 1, 2 ( ) , расположенным на Рис.

2.4 левееточки ветвления    . Таким образом, в области  0   0 расположены комплексная дисперсионная кривая обычной слабозатухающей поверхностнойплазменной волны (2.2.8) и комплексная дисперсионная кривая сильнозатухающей волны (2.3.14).Рис. 2.12~Комплексные решения  1, 2 ( 0 ) дисперсионного уравнения (2.5.3)Заметим, что  0 зависит от  . Левее точки ветвления, т.е. в области  0   0 ,расположены ветви ~ 1, 2 ( 0 ) , соответствующие ветвям ~ 1, 2 ( ) , расположенным на Рис.

2.4 правее точки ветвления    . Следовательно, область  0   0принадлежит дисперсионным кривым волн, локализованным ближе к границам области неоднородности плазмы. При уменьшении  0 они переходят вграничные объемные волны (2.3.16), (2.3.18). Заметим, что область малых  0при помощи стандартного программного обеспечения персональных компь61ютеров численно исследовать нам не удалось – предполагаемые решениядисперсионного уравнения для безразмерных величин (2.5.3) на Рис.

2.12изображены пунктиром.Серия следующих рисунков показывает изменения дисперсионныхкривых, происходящие при уменьшении параметра 0  L0  .В случае Рис.2.13а 0  3 , дисперсионные кривые примерно такие же,как и на Рис. 2.4, но область существования поверхностной волны (2.2.8) несколько уменьшилась (Рис 2.4 соответствует случаю 0   ).Рис. 2.13Комплексные дисперсионные кривые поверхностных волн неоднородной плазмы в волноводе при: а-  0  3 , б-  0  2.4 , в-  0  2.3 , г-  0  2.25Кроме того, в отличие от вычисленного по формуле (2.2.8), декремент затухания этой волны не обращается в ноль при   0 . В случае Рис. 2.13б 0  2.4 ,и наблюдается значительное сужение области существования поверхностнойволны (2.2.8).

На Рис. 2.13в 0  2.3 , и эта область выродилась в точку. Наконец, в случае Рис. 2.13г 0  2.25 , и область существования поверхностной62волны (2.2.8) полностью исчезла.Выясним условие существования (или отсутствия) поверхностных волн(2.2.8) и (2.3.13) при конечном значении параметра 0  L0  . Приближенноэто делается при помощи уравнения (2.5.6). Пренебрегая в нем логарифмическим членом, имеем12~ 2 ( )  1 2th (0 )  14th 2 (0 )i 1 2 2 2(2.5.10)Из (2.5.10) для точки ветвления функций ~ 1, 2 ( ) следует уравнение2th(0 ).(2.5.11)При 0   из (2.5.10) получается точка ветвления, которая имеется наРис. 2.4.

При выполнении неравенства0  L0    2( L0   2  ) ,(2.5.12)уравнение (2.5.11) имеет только тривиальное решение, что означает отсутствие точки ветвления. То есть при уменьшении  0 точка ветвления смещаетсявлево, а при выполнении неравенства (2.5.12) она уходит за ось k z   0 , чтопоследовательно наблюдается на Рис. 2.13. Напомним, что этот рисунок построен по точному дисперсионному уравнению (2.5.3). Использование точного дисперсионного уравнения, вместо (2.5.12) приводит к неравенствуL0   2.35 . Обратное неравенство и есть искомое условие существования по-верхностных волн типа (2.2.8) и (2.3.13).Таким образом, исходя из проведенного анализа, можно утверждать,что поверхностные волны неоднородной плазмы (слабозатухающая и сильнозатухающая, см.

(2.2.8) и (2.3.13)) существуют только при достаточнобольшом расстоянии L0 от области неоднородности плазмы до границ плазменного волновода. Что касается граничных поверхностных волн, то онивозможны при любом L0 . С ростом L0 они смещаются в более коротковолновую область. Помимо поверхностных волн в плазменном волноводе обязательно имеются и объемные плазменные колебания непрерывного спектра.63§2.6. Поверхностные волны плазменного слоя с двумя свободными плавнымиграницамиСвойства поверхностных волн в плазме с двумя резкими границамибыли рассмотрены в предыдущей главе, теперь же рассмотрим, как изменится характер поверхностных волн при размытии двух плазменных границ [61].Пусть нерезкие границы плазмы расположены в областях  x2  x   x1 иx1  x  x2 ( x2  x1 ) , а в области x  [ x1 , x1 ] плазма является однородной.Рис.

2.14Профиль плотности плазменного слоя: а- со свободными границами, б- в волноводеНачнем со случая плазмы с линейными границами в безграничном пространстве (Рис. 2.14а). Поскольку области неоднородности плазмы являются симметричными относительно точки x  0 , то можно ограничиться рассмотрением только полупространства x  0 , в котором профиль плотности плазмы зададим следующим образом: p ( x)   p2 0 1,( x2  x) ( x2  x1 ) , 0,0  x  x1x1  x  x2 .(2.6.1)x  x2С учетом (2.6.1) уравнение (2.1.7) в разных областях полупространства x  0записывается в видеd 2 k z2  0 ,2dxddx1  x  x2 :( x0  x ) k z2 ( x0  x)  0 ,dxdx2d x2  x : k z2  0 ,2dx0  x  x1 :(2.6.2)гдеx0  x2 2( x2  x1 ) . p2 0(2.6.3)64В областях однородности плазмы решения уравнений (2.6.2), с учетомусловий в нуле (нечетность, или четность потенциала) и на бесконечности(ограниченность потенциала), записывается в виде0  x  x1 , A Fh ( k z x) B exp ( k z x)] ( x)  (2.6.4)x  x2 ,где A и B - постоянные, аsh( k z x)Fh( k z x) ch( k z x)Ez  нечетная функция x,(2.6.5)Ez  четная функция x ,Чтобы записать решение в области неоднородности плазмы x1  x  x2 заметим, что второе уравнение (2.6.2) имеет вид первого уравнения (2.2.2).

Поэтому общее решение этого уравнения дается формулами (2.2.5) и (2.3.1).Для получения дисперсионного уравнения, определяющего спектры частотволн в исследуемой плазме, решения (2.6.4) и (2.3.1) следует подставить вусловия непрерывности  на границах области неоднородности плазмы x  x1и x  x2 . Исключая далее произвольные постоянные A, B, C , D  получаем искомое дисперсионное уравнениеK1[k z ( x2  x0 )]  K 0 [k z ( x2  x0 )]I1[k z ( x2  x0 )]  I 0 [k z ( x2  x0 )]Th( k z x1 ) K1[k z ( x0  x1 )]  K 0 [k z ( x0  x1 )] i s  0 ,Th( k z x1 ) I1[k z ( x0  x1 )]  I 0 [k z ( x0  x1 )](2.6.6)гдеth (k z x1 ), нечетная волнаTh (k z x1 )  . cth (k z x1 ), четная волна(2.6.7)В длинноволновом приближении дисперсионное уравнение получаетсясшиванием приближенного решения (2.2.5) с решениями (2.6.4) на границахобласти неоднородности плазмы.

В итоге имеем следующее уравнение:x xTh (k z x1 )1 ln 0 1  i   0 .k z ( x0  x1 ) k z ( x2  x0 )x2  x0(2.6.8)Не сложно показать, что в длинноволновом пределеk z ( x2  x1 )  1(2.6.9)уравнение (2.6.8) может быть получено и из общего дисперсионного уравне65ния (2.6.6). В случае плазмы с резкими границами ( x2  x1  0 ) дисперсионноеуравнение (2.6.6) переходит в уравнение (1.1.12б).Ограничимся анализом дисперсионного уравнения в длинноволновомпределе (2.6.9). В этом случае логарифмическим слагаемым в уравнении(2.6.8) можно пренебречь. При этом решение дисперсионного уравнения(2.6.8) оказывается следующим:Th (k z x1 ) 1 i k z ( x2  x1 ).Th (k z x1 )  13  Th (k z x1 )  1 2   p2 0 (2.6.10)Если помимо (2.6.9) выполнено неравенство k z x2  1 , то формулы (2.6.10)сводятся к виду1  k z x1  i k z2 ( x2  x1 ) x1 ,  2 k z x1[1  i k z ( x2  x1 ) x1 ] .2нечетная волна2p0четная волна(2.6.11)Не сложно видеть, что при x1, 2  x0 и k z x0  1 спектры (2.6.16) совпадают соспектрами плазменного слоя с резкими границами (1.1.13).

При выполнениипротивоположного неравенства k z x1  1 (не противоречащего (2.6.9)) частотынечетной и четной волн стремятся к значению2  p2 0 1  i k z ( x2  x1 ) .2 4(2.6.12)Последнее выражение, с учетом неравенства (2.6.9) совпадает с выражением(2.2.8), поскольку при k z x1  1 можно говорить о плазменном полупространстве, а x2  x1   .Перейдем теперь от безграничной плазмы к плазме в волноводе.