Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 12

Особенно естественный вид дисперсионное уравнение приобретает при k z L0  11 1dx   L0   ( x) 1  2 0  L0dx  ( x)  0 .(2.7.6) L0Уравнения (2.7.5) и (2.7.6) отражают тот факт, что металлические стенкиволновода находятся под одинаковым потенциалом, т.е. разность потенциа73лов между ними равна нулю.Преобразуем входящий в уравнение (2.7.4) интеграл. Положим~ ~  i~ , где в соответствии с правилом Ландау ~  0 . Пусть   - единственный корень уравнения ~  p( )  0 . В некоторой малой  -окрестностикорня имеем~(dp d ) 1 ] ,~ 2  p( )  (dp d )[(   )  2i~(2.7.7)где (dp d ) - производная функции p( ) в точке     . Поэтому ~ 2dd (dp d ) 1 ~ p( )(   )  2i (dp d ) 1~  (   )  2i~(dp d ) 1~ (dp d ) 2~(dp d ) 1~]2 d .()[2 (2.7.8)1Переходя в (2.7.8) к пределу ~  0 и учитывая известное представление для  функции ( x) 1lim  0 x   22(2.7.9),преобразуем (2.7.8) к виду ~ 2dd1 (dp d ) 1 V.p.

 i sgn( ~) dp d  . p( )   (2.7.10)Здесь V.p.- главное значение расходящегося интеграла. Используя далее соотношение (2.7.7) при ~  0 , запишем (dp d ) 1 V.p.d V.p.  ~  2d. p( )(2.7.11)Объединяя интеграл (2.7.10) с таким же интегралом по остальной части отрезка [0,1], получим окончательно следующее представление для интеграла вдисперсионном уравнении (2.7.4):d0 ~ 2  p( )  V.p.11 ~02d1 i sgn( ~) dp d  . p ( )(2.7.12)В соответствии с процедурой вывода представление (2.7.12) справедливотолько в пределе ~  0 . Следуя правилу Ландау, продолжаем соотношение(2.7.12) через действительную ось комплексной плоскости ~ , т.е.

полагаем,что (2.7.12) верно и при ~  0 . А поскольку в длинноволновом приближе74нии мнимая часть частоты мала, то при решении дисперсионного уравнения(2.7.4) формулу (2.7.12) можно использовать и при конечных значениях декремента затухания ~ .Учитывая, что второе слагаемое в (2.7.4) является малой поправкой,пренебрежем в (2.7.12) главным значением интеграла и получим следующееприближенное решение:12~ 2  [ p(0)  p(1)]  i1[ p(0)  p(1)]2 dp d  .8 th (0 )(2.7.13)В размерных переменных уравнение (2.7.13) можно также представить в виде1i k z dp dx [ p(0)  p()]2  .[ p(0)  p()] 2 4 th (k z L0 )2 p2 0 (2.7.14)Как частные случаи формулы (2.7.13) и (2.7.14) содержат решения (2.2.8) и(2.5.9). Отброшенное в (2.7.12) главное значение интеграла и, которое несложно учесть, дает поправку ~ k z  к действительной части частоты (2.7.13).75Глава III.

Поверхностные волны в плазменных системах с плавнымиграницами в цилиндрической геометрииВ данной главе изложена теория цилиндрических поверхностных волнв плавно неоднородной плазме, находящейся в волноводе с круговым поперечным сечением. Аналитически получены дисперсионные уравнения длячастот поверхностных волн. Дисперсионные уравнения решены аналитически и численно.§3.1. Постановка задачи, основные уравнения и выбор общего решенияРассмотрим осесимметричный цилиндр холодной электронной плазмынеоднородный по r и однородный в направлении оси z [62]. Исходим изуравнений (2.1.1) холодной гидродинамики и поля.

В цилиндрических координатах r ,  , z , в линейном приближении, для азимутально-симметричныхвозмущений из системы (2.1.1) получаются следующие уравнения:Vre ,tm rVze ,zm zn~ 1 (rn0Vr )  n0Vz   0,t r rz21    r 4en~ ,r r r  z 2(3.1.1)где Vr , Vz - возмущения скорости (т.к. возмущения в плазме не зависят от  , тоV  0 ), а n~  n  n0 (r ) - возмущение плотности электронов.Поскольку коэффициенты уравнений (3.1.1) не зависят от координатыz и времени t , ищем их решение в виде:n~  n~ (r ) exp( i t  ik z z ),Vr , z  Vr , z (r )(exp  i t  ik z z ),(3.1.2)   (r ) exp( i t  ik z z ) .Подставляя выражения (3.1.2) в уравнения (3.1.1) и исключая компонентыскорости Vr , Vz имеем76n~ (r )  n0em2k z2 d  d  n0,m dr  dr e2(3.1.3)1  r k z2  4en~.r r rПодставляя далее выражение для возмущения n~ в последнее уравнение системы (3.1.3), получим окончательно следующее уравнение для скалярногопотенциала   , r  :1 d d 2 r (r ,  )  k z  (r ,  )  ,r dr dr (3.1.4)где  (r ,  )  1   p2 (r )  2 - диэлектрическая проницаемость плазмы (столкновения не учитываем), а  p2 (r )  4 e 2 n0 (r ) m - квадрат электронной ленгмюровской частоты, зависящей от координаты r .

Уравнение (3.1.5) составляет основу для дальнейшего рассмотрения. Его необходимо дополнить граничнымиусловиями (1.3.1), которые ставятся в точках разрыва функции  (r ,  ) . Отличительной особенностью уравнения (3.1.4) является обращение коэффициента при старшей производной при некотором значении r в ноль. Происходитэто в точке плазменного резонанса    p (r ) .Если положить  C (r01  r 1 ) ,(3.1.5)где C и r0 - постоянные, то общее решение уравнения (3.1.4) запишется в виде  C I 0 [k z (r0  r )]  D K0 [k z (r0  r )] ,(3.1.6)где I 0 ( x) и K0 ( x) - модифицированные функции Бесселя. Этим обстоятельством мы и воспользуемся.

В области однородности плазмы уравнение (3.1.4)имеет вид1 d  d 2r  k z .r dr  dr (3.1.7)Общее решение уравнения (3.1.7) выражается через цилиндрические функции  AI 0 (k z r )  BK0 (k z r ) .(3.1.8)77§3.2. Плазменный цилиндр со свободной внешней поверхностью в волноводеВ дальнейшем рассматривается три конфигурации плазмы: плазма,имеющая одну внешнюю границу (Рис.3.1а); плазма с одной внутренней границей, примыкающая к стенке волновода (Рис.3.1б); плазма с двумя границами – трубчатая плазма (Рис.3.1в).Рис.

3.1Распределение плотности плазмы в волноводе: а- сплошной цилиндр;б- полый цилиндр; в- трубка.Рассмотрим круглый металлический волновод радиуса R , в которомнаходится плазменный цилиндр, электронная ленгмюровская частота которого определена формулой (Рис. 3.1а)1 ,r r22  p (r )   p 0  1  2  1 , r2  r1  r0 ,0  r  r1r1  r  r2 .(3.2.1)r2  r  RВне области однородности плазмы решение уравнения (3.1.4), с учетом условия ограниченности в нуле и граничного условия на стенке волновода, имеетвид:0  r  r1 А I 0 (k z r ) ,. B [ I 0 (k z r ) K 0 (k z R )  K 0 (k z r ) I 0 (k z R)] , r2  r  R ( , r )  (3.2.2)При r1  r  r2 уравнение (3.1.4), используя (3.2.1), запишем следующим образом (см.

(3.1.4) и (3.1.5)):1 d  1 1 d 211 r (r0  r )  k z (r0  r ) ,r dr dr (3.2.3)r1r2 p2 0r0 .r1 p2 0  (r2  r1 ) 2(3.2.4)где78Решая уравнение (3.2.3), следует иметь в виду, что при  2   p2 0 особая точкаr  r0 находится внутри области r1  r  r2 . Общее же решение уравнения(3.2.3), как было указано выше, имеет вид (3.1.6).Воспользуемся тем, что в длинноволновом пределе (при k z  0 ) правуючасть уравнения (3.2.3) можно положить равной нулю.

Тогда, для нахождения  требуется двукратное элементарное интегрирование. Выполняя его собходом полюса по правилу Ландау [3], находим решение уравнения (3.2.3)при k z  0 ( , r )  C F (r  r0 )  D,r  r0ln( r0  r ),F (r  r0 )   ,ln( r  r0 )  i s, r  r0(3.2.5)где r0  Re(r0 ), s  sgn() . Единственной функцией вида (3.1.6), имеющей приk z  0 асимптотику (3.2.5), является следующая функция: ( , r )  C K~0 [k z (r  r0 )]  D I 0 [k z (r  r0 )] , r1  r  r2r  r0 ,~ [k (r  r )]   K 0 [k z (r0  r )] ,K0z0 K 0 [k z (r  r0 )]  i s I 0 [k z (r  r0 )] , r  r0(3.2.6)которая и есть искомое решение уравнения (3.2.3) в области r1  r  r2 .Сшивая далее решения (3.2.2) и (3.2.6) в точках r1, 2 и исключая постоянные A, B, С , D , находим дисперсионное уравнение поверхностных волнплазменного цилиндра со свободной внешней поверхностью в волноводеW2 (r2 , R ) K1[k z (r2  r0 )]  K 0 [k z (r2  r0 )]W2 (r2 , R ) I1[k z (r2  r0 )]  I 0 [k z (r2  r0 )]W (r ) K [k (r  r )]  K 0 [k z (r0  r1 )] 1 1 1 z 0 1 i s  0 ,W1 (r1 ) I1[k z (r0  r1 )]  I 0 [k z (r0  r1 )](3.2.7)гдеW1 (r ) I 0 (k z r ),I1 ( k z r )K (k r ) I (k R)  I 0 (k z r ) K 0 (k z R)W2 (r , R)  0 z 0 z.K1 ( k z r ) I 0 ( k z R )  I 1 ( k z r ) K 0 ( k z R )(3.2.8)В длинноволновом пределе ( k z R  1 ) уравнение (3.2.7) преобразуется квиду:79r r r rr2R2ln  2 ln 2 0  0 1 ln[ k z (r0  r1 )]  i s .r2  r0 r2 k z r0 (r0  r1 )r0  r1r0(3.2.9)Уравнение (3.2.9) можно также получить сшивая решение (3.2.2) с приближенным решением (3.2.5).

Легко видеть, что при k z (r2  r1 )  1 логарифмическими слагаемыми в правой части уравнения (3.2.9) можно пренебречь. Приэтом для частоты  имеем p02k z r1r2 lnRr2 21  i 4 k z r2 (r2  r1 ) .(3.2.10)При r1  r2  r0 действительная часть (3.2.10) совпадает с известным выражением для частоты поверхностной волны плазменного цилиндра с резкой границей в волноводе в длинноволновом пределе (1.3.6) [3,31]. Мнимая частьчастоты (3.2.10) дает декремент затухания поверхностной волны, обусловленный размытостью границы плазмы.

Напомним, что затухание связано сплазменным резонансом    p (r ) , при котором происходит трансформацияповерхностной плазменной волны в локальную объемную ленгмюровскуюволнунепрерывногоспектра–псевдоволну[8,79,80] (t , r , z ) ~  [r  r0 ( )] exp[ i p (r )t  ik z z ].Рис. 3.2Дисперсионные кривые поверхностных волн сплошного плазменного цилиндра в волноводе при r1 R  0.5 , r2 R  0.55 : н – нормальная волна; а – аномальная волнаДля численного решения дисперсионного уравнения (3.2.7) введем безразмерное волновое число   k z R , безразмерную частоту ~    p 0 , зафиксируем r1 R  0.5 и рассмотрим несколько значений параметра r2 R .