Диссертация (Поверхностные волны и резонансные явления в электронной плазме с плавными границами), страница 13

На Рис. 3.280представлены дисперсионные кривые поверхностных волн для случаяr2 R  0.55 (т.е. граница плазмы почти резкая – ее относительная толщинаравна 0.05). Вещественные части частот проведены жирными линиями, мнимые части – простыми линиями (знак «минус» при построении мнимой частиопущен). Символом «н» на рисунке обозначены дисперсионные кривые нормальной поверхностной волны – в длинноволновой области они описываются формулой (3.2.10). Видим, что помимо нормальной поверхностной волныв рассматриваемом волноводе имеется еще одна поверхностная волна, которую назовем аномальной поверхностной волной.

В длинноволновой областианомальная волна является сильнозатухающей (см. ниже), но в коротковолновой области ее декремент затухания даже меньше, чем декремент нормальной поверхностной волны.На Рис. 3.3. для случая r2 R  0.55 показаны координаты точек плазменного резонанса поверхностных волн сплошного плазменного цилиндра вволноводе – величины R0  r0 / R , где r0 определена в (3.2.4). В случае нормальной волны (жирная линия) точка плазменного резонанса [8], как и должно быть, находится между границами области неоднородности плазмы r  r1, 2( R0  0.5 и R0  0.55 ).

В случае же аномальной волны в длинноволновой области (примерно при   2.5 ) точка плазменного резонанса выходит за границуплазмы r  r2 , т.е. плазменный резонанс оказывается невозможным, а самоуравнение (3.2.7) теряет смысл.В этом случае при выводе дисперсионного уравнения во всей областинеоднородности плазмы решение следует записывать в форме (3.1.5). Полученное таким образом дисперсионное уравнение оказывается следующим:W2 (r2 , R) K1[k z (r0  r2 )]  K 0 [k z (r0  r2 )] W1 (r1 ) K1[k z (r0  r1 )]  K 0 [k z (r0  r1 )] 0 .

(3.2.11)W2 (r2 , R) I1[k z (r0  r2 )]  I 0 [k z (r0  r2 )]W1 (r1 ) I1[k z (r0  r1 )]  I 0 [k z (r0  r1 )]Учитывая монотонность модифицированных функций Бесселя от вещественного аргумента, не сложно показать, что последнее уравнение в областиr0  Im(r0 )  0 и r0  r2 решений не имеет. Таким образом, в длинноволновой81области аномальная поверхностная волна не существует. На Рис.

3.2 проведена вертикальная пунктирная линия. В области волновых чисел левее этойлинии аномальной поверхностной волны нет.Рис. 3.3Положение точек плазменного резонанса в поверхностных волнах сплошного плазменного цилиндра в волноводе ( r2 R  0.55 );1 - r1 R , 2 - r2 R , жирная линия – нормальная волна, обычная линия – аномальная волнаНа Рис.

3.4 изображены дисперсионные кривые нормальных поверхностных волн (а) и аномальных волн (б) для разных размеров области неоднородности плазмы.Рис. 3.4Дисперсионные кривые нормальных (а) и аномальных (б) поверхностных волн при различной величине области неоднородности плазмы при r1 R  0.5 : 1 - r2 R  0.5 5; 2 r2 R  0.75 ; 3 - r2 R  0.9Видно, что при увеличении размера области неоднородности плазмывещественная часть частоты нормальных волн уменьшается, уменьшается идекремент затухания, но относительно вещественной части частоты он возрастает.

Аномальная волна в длинноволновой области отсутствует (в эту об82ласть дисперсионные кривые аномальных волн поэтому не продолжены), впромежуточной области волновых чисел аномальная волна является сильнозатухающей, но в коротковолновой области аномальная поверхностная волназатухает слабо. Более того, при увеличении размытости границы плазмы основным слабозатухающим возмущением в области достаточно короткихдлин волн становится именно аномальная поверхностная волна, а нормальнаяволна, наоборот, становится сильнозатухающей.

Наоборот, при переходе кплазме с резкой границей декремент затухания аномальной поверхностнойволны неограниченно нарастает, а у нормальной поверхностной волны декремент обращается в ноль.Как важный частный случай рассмотрим еще плазменный цилиндр сосвободной поверхностью. Для этого в дисперсионном уравнении (3.2.7) устремим радиус волновода R к бесконечности, точнее k z R   .

В результате вуравнении (3.2.7) изменится вторая величина (3.2.8):W2 (r , R)  W2 (r , ) K 0 (k z r ).K1 (k z r )(3.2.12)Это изменение практически не сказывается на всей аномальной ветви и накоротковолновой части нормальной ветви. В длинноволновой же части спектра дисперсионное уравнение для частоты нормальной поверхностной волнысводится к следующему: 1 r r r rr22  2ln ln 2 0  0 1 ln[ k z (r0  r1 )]  i s .r2  r0  k z r2  k z r0 (r0  r1 )r0  r1r0(3.2.13)Откуда при k z r2  1 для частоты имеем p0 1 k z r1r2 lnkr2z2 21  i 4 k z r2 (r2  r1 ) .(3.2.14)При k z  0 фазовая скорость волны (3.2.14) стремится к бесконечности, чтоговорит о необходимости учета в этом пределе непотенциальных эффектов.В случае плазмы с резкой границей уравнение (3.2.14) переходит в представленное ранее уравнение (1.3.10).83§3.3.

Полый плазменный цилиндр в волноводеРассмотрим теперь поверхностные волны полого плазменного цилиндра в волноводе. Зададим электронную ленгмюровскую частоту в виде(Рис. 3.1б)0  r  r1 0, r  r p2 (r )   p2 0  2 1  1  , r1  r  r2 .r r2  r1 r2  r  R 1 ,(3.3.1)При этом в области неоднородности плазмы уравнение (3.1.4) по-прежнемузаписывается в виде (3.2.3), но точка плазменного резонанса r0 определяетсядругой формулойr0 r1r2 p2 0r2 p2 0  (r2  r1 ) 2(3.3.2).Не сложно видеть, что особая точка r  r0 находится, как это и должно быть,внутри области r1  r  r2 .

С учетом правила обхода особой точки решениеуравнения (3.1.4) в области неоднородности плазмы записывается в виде(3.2.6), но с противоположным знаком перед членом, содержащим мнимуюединицу. В областях однородности плазмы потенциал по-прежнему определяется формулами (3.2.2). Поэтому, сшивая потенциал в точках r1, 2 , получаемдисперсионное уравнение, которое отличается от уравнения (3.2.7) толькознаком перед последним слагаемым.

Следовательно, в длинноволновом приближении это дисперсионное уравнение сводится к (3.2.9), но с противоположным знаком перед слагаемым с мнимой единицей. Отсюда, с учетом(3.3.2), имеем следующее выражение для комплексной частоты поверхностной волны полого плазменного цилиндра в волноводе в длинноволновомпределе:14   p 0  1  k z2 r1r2 ln R r1 1  ik z2 r2 (r2  r1 )  .2(3.3.3)При r1  r2  r0 (3.3.3) переходит в известное выражение для частоты пологоплазменного цилиндра с резкой границей в волноводе (1.3.13) [33]. Волну с84частотой (3.3.3) будем называть нормальной поверхностной волной.Частоты поверхностных волн полого плазменного цилиндра в волноводе при r2 R  0.8 и r1 R  0.75 представлены на Рис. 3.5.

Видно, что помимонормальной поверхностной волны (в длинноволновой области ее частота определяется формулой (3.3.3)) в волноводе имеется и аномальная поверхностная волна. В длинноволновой области, как это будет показано ниже, аномальная поверхностная волна не существует, а в коротковолновой областиона является сильно затухающей.Рис. 3.5Дисперсионные кривые поверхностных волн полого плазменного цилиндра в волноводепри r1 R  0.75 , r2 R  0.8 : н – нормальная волна; а – аномальная волнаНа Рис. 3.6 показаны координаты точек плазменного резонанса поверхностных волн полого плазменного цилиндра в волноводе (обозначения такиеже, что и на Рис. 3.3). В случае нормальной волны (жирная линия) точкаплазменного резонанса находится между границами области неоднородностиплазмы r  r1, 2 ( R0  0.75 и R0  0.8 ).

В случае же аномальной волны в длинноволновой области (примерно при   1.9 ) точка плазменного резонанса выходит за границу плазмы r  r2 , т.е. плазменный резонанс оказывается невозможным, а само уравнение (3.2.7) теряет смысл.В этом случае, как и в случае сплошного плазменного цилиндра, в качестве дисперсионного уравнения следует взять уравнение (3.2.11), в котором величина r0 определена в (3.3.2).

Последнее уравнение в области r0  0 и85r0  r2 решений не имеет. Таким образом, в длинноволновой области ано-мальная поверхностная волна полого плазменного цилиндра не существует.На Рис. 3.5 проведена вертикальная пунктирная линия. В области волновыхчисел левее этой линии аномальной поверхностной волны нет.Рис. 3.6Положение точек плазменного резонанса в поверхностных волнах полого плазменногоцилиндра в волноводе ( r2 R  0.8 , r1 R  0.75 );1 - r1 R , 2 - r2 R , жирная линия – нормальная волна, обычная линия – аномальная волнаДля полноты изложения упомянем еще о поверхностных волнах в безграничной плазме, в которой имеется цилиндрический вакуумный канал.Дисперсионное уравнение для частот таких волн получается предельным переходом k z R   , т.е.

заменой (3.2.12). При этом изменится только длинноволновая часть спектра нормальной поверхностной волны: вместо формулы(3.3.3) имеем14 1 1  i k z2 r2 (r2  r1 )  .2 k z r2    p 0  1  k z2 r1r2 ln(3.3.4)Заметим, что формулы (3.3.3) и (3.3.4) при k z  0 неприменимы, поскольку k z   , а поэтому необходим учет непотенциальных эффектов. Легко ви-деть, что при устремлении r2  r1 , т.е. для плазмы с резкой границей (3.3.4)переходит выражение (1.3.16) приведенное ранее в Главе 1.§3.4. Трубчатая плазма с размытыми границами в волноводеИ наконец, рассмотрим поверхностные волны плазменной трубки с86размытыми внешней и внутренней границами в волноводе (профиль плотности плазмы является комбинацией профилей (3.2.1) и (3.3.1) – Рис. 3.1в).Дисперсионное уравнение для этого случая имеет следующий вид:[ D12  i s][D34  i s]  Q23[S12  i s][S34  i s] ,(3.4.1)гдеQ23 I1 (k z r2 ) K1 (k z r3 )I1 (k z r3 ) K1 (k z r2 )W1 (r2 ) I1[k z (r2  r01 )]  I 0 [k z (r2  r01 )] W2 (r3 , ) I1[k z (r02  r3 )]  I 0 [k z (r02  r3 )] ,W1 (r3 ) I1[k z (r02  r3 )]  I 0 [k z (r02  r3 )  W2 (r2 , ) I1[k z (r2  r01 )]  I 0 [k z (r2  r01 )]D12 W2 (r2 , ) K1[k z (r2  r01 )]  K 0 [k z (r2  r01 )] W1 (r1 ) K1[k z (r01  r1 )]  K 0 [k z (r01  r1 )],W2 (r2 , ) I1[k z (r2  r01 )]  I 0 [k z (r2  r01 )]W1 (r1 ) I1[k z (r01  r1 )]  I 0 [k z (r01  r1 )]D34 W2 (r4 , R) K1[k z (r4  r02 )]  K 0 [k z (r4  r02 )] W1 (r3 ) K1[k z (r02  r3 )]  K 0 [k z (r02  r3 )],W2 (r4 , R) I1[k z (r4  r02 )]  I 0 [k z (r4  r02 )]W1 (r3 ) I1[k z (r02  r3 )]  I 0 [k z (r02  r3 )]S12 W1 (r2 ) K1[k z (r2  r01 )]  K 0 [k z (r2  r01 )] W1 (r1 ) K1[k z (r01  r1 )]  K 0 [k z (r01  r1 )],W1 (r2 ) I1[k z (r2  r01 )]  I 0 [k z (r2  r01 )]W1 (r1 ) I1[k z (r01  r1 )]  I 0 [k z (r01  r1 )]S 34 W2 (r4 , R) K1[k z (r4  r02 )]  K 0 [k z (r4  r02 )] W2 (r3 , ) K1[k z (r02  r3 )]  K 0 [k z (r02  r3 )].W2 (r4 , R) I1[k z (r4  r02 )]  I 0 [k z (r4  r02 )]W2 (r3 , ) I1[k z (r02  r3 )]  I 0 [k z (r02  r3 )](3.4.2)Точки плазменного резонанса определяются формуламиr01 r1r2 p2 0r2 p2 0  (r2  r1 ) 2, r02 r3 r4 p2 0r3 p2 0  (r4  r3 ) 2.(3.4.3)С учетом изменений в обозначениях, легко видеть, что левая частьуравнения (3.4.1) является произведением дисперсионного уравнения поверхностных волн полого плазменного цилиндра с плавной границей r1  r  r2и дисперсионного уравнения поверхностных волн сплошного плазменногоцилиндра с плавной границей r3  r  r4 .