Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 8

. . , an ∈ C, an 6= 0, òîãäà îñî-k=0áûå çíà÷åíèÿ ðàâíû ξi = Pn (wi0 ), ãäå wi0 êîðåíü óðàâíåíèÿ Pn0 (w) = 0,i = 1, . . . , n − 1. Äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C \ {ξi }n−1i=1 íåîñîáûé ñëîé Tξ ãîìåîìîðôåíñôåðå ñ [(n − 1)/2] ðó÷êàìè è áåç (3 + (−1)n ) /2 áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê.46 êàæäîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå pξ,i , i = 1, . . .

, (3 + (−1)n ) /2, âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f èìååò îñîáåííîñòü ïîëþñ ïîðÿäêà(n−2)gcd(n,2)− 1. Äåéñòâèòåëü-íî, êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàâíà (0, wi0 ), ãäå wi0 êîðåíü óðàâíåíèÿ Pn0 (w) = 0,i = 1, . . . , n − 1, îòñþäà îñîáûå çíà÷åíèÿ ðàâíû ξi = f (0, wi0 ) = Pn (wi0 ), ìíîæåñòâî íåîñîáûõ çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ C \ {ξi }n−1i=1 . Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíàäëÿ ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ = z 2 + Pn (w) − ξ , ξ ∈ C \ {ξi }n−1i=1 , ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A1 (2, 0), A2 (0, n), A3 (0, 0), åñëè a0 − ξ 6= 0,ñì.

ðèñ 1.5, è òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A1 (2, 0), A2 (0, n), A3 (0, 1),åñëè a0 − ξ = 0, ïðè÷åì â ýòîì ñëó÷àå a1 6= 0, òàê êàê ξ íåîñîáîå çíà÷åíèå,ñì. ðèñ. 1.6. Ïðîâåðèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (z, w) − ξ , ξ ∈ C \ {ξi }n−1i=1 , ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà.

Îáîçíà÷èì ñòîðîíó A2 A3 ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ÷åðåç Γ1 , ñòîðîíó A1 A3 ÷åðåçΓ2 , ñòîðîíó A1 A2 ÷åðåç Γ3 . Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ1 , ðàâåí ëèáîPΓ1 (y) = y 2 +a0 −ξ , åñëè a0 −ξ 6= 0, ëèáî PΓ1 (y) = y 2 +a1 , åñëè a0 −ξ = 0.  ñèëåòîãî, ÷òî ξ íåîñîáîå çíà÷åíèå, a0 − ξ = 0 è a1 = 0 íå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî, ïîýòîìó PΓ1 íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé. Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèéñòîðîíå Γ2 , ðàâåí PΓ2 (y) = Pn (y) − ξ è íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé. Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ3 , ðàâåí PΓ3 (y) = y 2 + an è íå èìååò êðàòíûõêîðíåé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 11 âûïîëíåíû. Êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ng = [(n − 1)/2],êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê íà ñòîðîíå Γ3 ðàâíî (1 + (−1)n ) /2, ïîýòîìónµ = (3 + (−1)n ) /2.

Ïî òåîðåìå 11 ñëîé Tξ èìååò òðåáóåìûå ñâîéñòâà.47Ðèñ. 1.5: Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëå- Ðèñ. 1.6: Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f (z, w) = z 2 + Pn (w) − ξ ïðè ξ 6= a0íà f (z, w) = z 2 + Pn (w) − ξ ïðè ξ = a048Ãëàâà 2Ãàìèëüòîíîâà êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì ñýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè1,2,3,42.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿÎïðåäåëåíèå 2.1.1. Ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ òðîéêà (M 2n , ω, H),ãäå M 2n ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ω ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íà M 2n ,H : M 2n → R ãëàäêàÿ âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåìàÿ ãàìèëüòîíèàíîì. Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿèíòåãðèðóåìîé,åñëè ñóùåñòâóåò íàáîð èç nãëàäêèõ ôóíêöèé f1 , . . . , fn : M 2n → R, íàçûâàåìûõïåðâûìè èíòåãðàëàìè,òàêîé ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) íàáîð f1 , . . .

, fn ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèì íà M 2n , òî åñòü df1 , . . . , dfnëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå âñþäó ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà â M 2n , èf1 = H ;2) ïðè ëþáûõ i, j = 1, . . . , n fi è fj íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè îòíîñèòåëüíî∂f∂fi jñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω , òî åñòü {fi , fj } = ω kl ∂xk ∂xl = 0 â ëîêàëüíûõ49êîîðäèíàòàõ x1 , .

. . , xn .Îïðåäåëåíèå 2.1.2.Âåêòîðíûì ïîëåìêîñîé ãðàäèåíòôóíêöèè f : M 2n →R íàçûâàåòñÿ ïîëå sgrad f , òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g : M 2n → R âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå {f, g} = sgrad g(f ). Â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x1 , . . . , xn∂fâåêòîðíîå ïîëå sgrad f èìååò âèä (sgrad f )i = ω ij ∂xj.Ñ êàæäîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñâÿçàíî óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà.Îïðåäåëåíèå 2.1.3. Óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (M 2n , ω, H)íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ẋ(t) = sgrad H|x(t) , ãäå t ∈ I ïàðàìåòð â íåêîòîðîì èíòåðâàëå I ⊂ R.

Åñëè ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿèíòåãðèðóåìîé è âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñóùåñòâóþò ãëîáàëüíî,òî åñòü äîïóñêàþò ïðîäîëæåíèå ïàðàìåòðà t íà R, òî ñèñòåìà íàçûâàåòñÿèíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþèëèâïîëíå èíòåãðèðóåìîé.Îïèñàíèå íåâûðîæäåííûõ âïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìñì. â [7].Îïðåäåëåíèå 2.1.4. Ñëîåì (èëè ëèñòîì)èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñè-ñòåìû (M 2n , ω, H) ñ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè f1 , . . . , fn íàçûâàåòñÿ êîìïîíåíòàñâÿçíîñòè ïîäìíîæåñòâà Tξ1 ,...,ξn = {x ∈ M 2n |f1 (x) = ξ1 , .

. . , fn (x) = ξn }.Ñëîé Tξ1 ,...,ξn íàçûâàåòñÿíåîñîáûì,åñëè â êàæäîé åãî òî÷êå df1 , . . . , dfn ëè-íåéíî íåçàâèñèìû. Îòîáðàæåíèå Φ : M 2n → Rn , Φ : x 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)) íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà. Áèôóðêàöèîííîé äèàãðàìîé Σf1 ,...,fn ⊂ Rníàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.Îïðåäåëåíèå 2.1.5.(M 2n , ωC , f ) èÀíàëîãè÷íî, êîìïëåêñíàÿ C-ãàìèëüòîíîâàâåêòîðíîå ïîëåñèñòåìàsgrad C f îïðåäåëÿþòñÿ, êîãäà íà M 2n ââåäåíà50êîìïëåêñíàÿ ñòðóêòóðà, ωC çàìêíóòàÿ, íåâûðîæäåííàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿäèôôåðåíöèàëüíàÿ 2-ôîðìà íà M 2n íàä C, f : M 2n → C êîìïëåêñíîäèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.Âàæíûé êëàññ êîìïëåêñíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.Ïóñòü M =C2 (z, w). Ðàññìîòðèì ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) è äèôôåîìîðôèçì R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) → C2 (z, w), (x1 , y1 , x2 , y2 ) 7→ (x1 +iy1 , x2 +iy2 ) =(z, w).

Íà R4 ââåäåì ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ω = dx1 ∧ dx2 − dy1 ∧ dy2 ,çàìåòèì, ÷òî ω = Re(dz ∧ dw), òàêæå ââåäåì ôóíêöèþ H = Re(f (z, w)) :R4 → R, ãäå f (z, w) êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí äâóõ êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ. Ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ëåììå, ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà(R4 , ω, H) = (C2 (z, w), Re(dz ∧ dw), Re(f (z, w)))(2.1.1)èìååò äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë F = Im(f (z, w)).Ëåììà 2.1.6. Åñëè ìíîãî÷ëåíf (z, w)îòëè÷åí îò êîíñòàíòû íàC2 ,òîãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà (2.1.1) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ñ äîïîëíèòåëüíûìïåðâûì èíòåãðàëîìÄîêàçàòåëüñòâî.F = Im(f (z, w)),ïðè÷åìsgrad F = −i sgrad H .Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F : R4 → R, ãäå F = Im(f (z, w)).Äîêàæåì, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû (2.1.1).

 êîîðäèíàòàõx1 , y1 , x2 , y2 èìååì sgrad H = (−Hx2 , Hy2 , Hx1 , −Hy1 ), sgrad F = (−Fx2 , Fy2 , Fx1 , −Fy1 ).Ïîñêîëüêó f (z, w) = H + iF ìíîãî÷ëåí, èìåþò ìåñòî óñëîâèÿ ÊîøèÐèìàíà:51Hx1 Hy1Hx2 Hy2= Fy1 ,= −Fx1 ,= Fy2 ,= −Fx2 .Îòñþäà sgrad F = (Hy2 , Hx2 , −Hy1 , −Hx1 ) = −i sgrad H . Åñëè H è F ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî çàâèñèìûìè íà íåïóñòîì îòêðûòîì ïîäìíîæåñòâåD ⊂ R4 ñ êîýôôèöèåíòàìè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè λ, −µ ∈ R, çàâèñÿùèìè îòòî÷êè íà D, ïðè÷åì λ 6= 0, òî Hx1 = − µλ Fx1 = µλ Hy1 = −( µλ )2 Fy1 = −( µλ )2 Hx1íà D, îòêóäà∂f (z,w)∂z= 0 íà D. Àíàëîãè÷íî∂f (z,w)∂w= 0 íà D.

Çíà÷èò, f (z, w)ïîñòîÿííà íà D, ïðîòèâîðå÷èå.Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè H è F íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè îòíîñèòåëüíî ω . Ñêîáêà Ïóàññîíà {H, F } ðàâíà {H, F } = Hx2 Fx1 −Hx1 Fx2 −Hy2 Fy1 +Hy1 Fy2 = −Hx2 Hy1 + Hx1 Hy2 − Hy2 Hx1 + Hy1 Hx2 = 0.Ëåììà 2.1.7. Âåêòîðíîå ïîëåêîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèèsgrad Hñîâïàäàåò ñ êîñûì ãðàäèåíòîìf (z, w) îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîçíà÷íîé ñèì-ëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûωC = dz ∧ dwsgrad C f2.1.5).(ñì. îïðåäåëåíèåÄîêàçàòåëüñòâî.sgrad C fíàC2 (z, w),òî åñòüsgrad H =Òàê êàê sgrad H = (−Hx2 , Hy2 , Hx1 , −Hy1 ) = (−Hx2 , −Fx2 , Hx1 , Fx1 ),òî â ïåðåìåííûõ z, w âûïîëíåíî sgrad H = (−fw , fz ) = sgrad C f .Ïî ëåììå 2.1.7 óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåì (R4 , ω, H) = (C2 , Re(ωC ), Re f )è (C2 , ωC , f ) ñîâïàäàþò.

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî C-ãàìèëüòîíîâûñèñòåìû. Ëåììû 2.1.6 è 2.1.7 ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèÿì.52Îïðåäåëåíèå 2.1.8.íàçîâåìÄâå C-ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû (M1 , ωC,1 , f1 ) è (M2 , ωC,2 , f2 )ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíûìè,åñëè ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíî äèô-ôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå h : M1 → M2 òàêîå, ÷òî:1) îòîáðàæåíèå h ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé;2) âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ωC,1 = h∗ (ωC,2 );3) f1 = f2 ◦ h + const.Îïðåäåëåíèå 2.1.9.Äâå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû (Ta , (sgrad C f )|Ta ) è (Tb , (sgrad C f )|Tbíà íåîñîáûõ ñëîÿõ Ta è Tb , a, b ∈ C, C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íàçûâàþòïðÿæåííûìè,ñî-åñëè ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèåh : Ta → Tb òàêîå, ÷òî:1) îòîáðàæåíèå h ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèé;2) âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå h∗ ((sgrad C f )|Ta ) = (sgrad C f )|Tb ;èïî÷òè ñîïðÿæåííûìè,åñëè:2') âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå h∗ ((sgrad C f )|Ta ) = λ(sgrad C f )|Tb , λ ∈ C.Îïðåäåëåíèå 2.1.10.Ïóñòü dimC M 4 = 2.

Ìåòðèêîé ïîïîëíåíèÿ ñëîÿ Tξ C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (M 4 , ωC , f ) íàçîâåì ðèìàíîâó ìåòðèêó gξ = Sym(∆ξ ⊗∆ξ ), ãäå1-ôîðìà∆ξ íàä C îïðåäåëåíà íà ñëîå ñ ïðîêîëàìè Tξ \ C ñîîòíî-øåíèåì ∆ξ (sgrad C f |Tξ \C ) = 1, ãäå C ⊆ M 4 ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åêôóíêöèè f . Íà ñëîå Tξ îïðåäåëåíàôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿρξ : Tξ × Tξ → R+ ,ãäå äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Tξ , ρξ (x, y) òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ,ëåæàùèõ â Tξ è ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè x, y, â ñìûñëå ìåòðèêè gξ , R+ = {r ∈ R |Sr ≥ 0} {∞}.

Åñëè x ∈ C è x 6= y , òî áóäåì ïîëàãàòü ρξ (x, y) = ρξ (y, x) = ∞.Ëåììà 2.1.11. Äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ìíîãî÷ëåíàn∈Nè ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëàξ∈C53Pn : C → Cñòåïåíèñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîå ÷èñëîR > 0òàêîå, ÷òî íà ìíîæåñòâåg = g(w) :=pnPn (w) − ξ ,2VR := C \ DRèìååò îäíîçíà÷íóþ âåòâüÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íà îáðàç, ãäåðàäèóñàR = R(ξ),Äîêàçàòåëüñòâî.u = u(x, ξ) :=1anïðè÷åììíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿR2DRg0 : V R → C ,êîòîðàÿ îòêðûòûé äâóìåðíûé äèñêíåïðåðûâíî çàâèñèò îòξ.Ïóñòü Pn (w) = an wn + an−1 wn−1 + . . .

+ a1 w + a0 . Ïîëîæèìan−1 x + an−2 x2 + . . . + a1 xn−1 + (a0 − ξ)xn , x ∈ C. Òàêêàê u(0, ξ) = 0 è ôóíêöèÿ u(x, ξ) íåïðåðûâíà, ñóùåñòâóåò ε0 = ε0 (ξ) > 0òàêîå, ÷òî |u(x, ξ)| < 1 ïðè |x| < ε0 . Ïîëîæèì y(x) :=x,an (1+u(x,ξ))1/n|x| <√√ε0 , ãäå ÷èñëî n an îòâå÷àåò íåêîòîðîé (ïðîèçâîëüíîé) âåòâè ôóíêöèè n ,√nà ôóíêöèÿ (1 + u)1/n îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà 1 + n1 u +1 1n(n23− 1) u2! + n1 ( n1 − 1)( n1 − 2) u3! + .

. . ïðè |u| < 1. Ïî ïîñòðîåíèþ ôóíêöèÿy = y(x) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â êðóãå |x| < ε0 . Òàê êàê y 0 (0) =1√nan6=0, ñóùåñòâóåò ε = ε(ξ) ≤ ε0 (ξ) òàêîå, ÷òî îòîáðàæåíèå x 7→ y(x), |x| <ε, ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íà îáðàç. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà ε0 , εìîãóò áûòü âûáðàíû íåïðåðûâíî çàâèñÿùèìè îò ξ . Ïîëîæèì R = R(ξ) := 1ε ,g0 (w) :=1y(1/w)√= w n an (1+u( w1 , ξ))1/n , |w| > R, òîãäà (g0 (w))n = Pn (w)−ξ , òîåñòü ôóíêöèÿ g0 = g0 (w) ÿâëÿåòñÿ âåòâüþ ôóíêöèè g = g(w).

Ïî äîêàçàííîìóôóíêöèÿ g0 ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì îáëàñòè |w| > R íà îáðàç.Îïðåäåëåíèå 2.1.12.Êîìïëåêñíûé ïîëèíîìèàëüíûé ãàìèëüòîíèàí âèäàf (z, w) = z 2 + Pn (w) áóäåì òàêæå íàçûâàòü ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè n (èìååòñÿ â âèäó ñòåïåíü ïî w).542.2Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè îäèíÎïðåäåëåíèå 2.2.1.C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãà-ìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè îäèííàçûâàåòñÿ òðîéêà (C2 , ωC , f ), ãäå C2 = C2 (z, w),f (z, w) = az 2 + bw + c, a, b, c ∈ C, ab 6= 0 è ωC = dz ∧ dw; îáîçíà÷èì ýòó ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ÷åðåç H1 (a, b, c).Òåîðåìà 12H1 (a, b, c)(Êîìïëåêñíûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû).ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîé(C2 (p, q), dp ∧ dq, f0 (p, q) = p).òîíîâîé ñèñòåìåñèìïëåêòîìîðôèçìhèç(C2 , ωC )ïëåêñíûõ êîîðäèíàòàõèìåþò âèäp, qÄîêàçàòåëüñòâî.Áîëåå òîãî, èìååòñÿC-(z, w) 7→òàêîé ÷òî â êàíîíè÷åñêèõ êîì-ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàf ◦ h−1 (p, q) = p, ṗ = 0, q̇ = 1.f0 = f ◦ h−1 : C2 → CC-ãàìèëü-â ñåáÿ, çàäàâàåìûé ôîðìóëàìè(f (z, w), − zb ) = (az 2 + bw + c, − zb ) =: (p, q),òîíàÊàæäàÿ ñèñòåìà ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ Ãàìèëü-ñþðúåêòèâíà è íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.Îòîáðàæåíèå h ÿâëÿåòñÿ C-ñèìïëåêòîìîðôèçìîì, ïîñêîëü-êó h âçàèìíî îäíîçíà÷íî.

Èìååì h∗ (dp ∧ dq) = (2az dz + b dw) ∧ (− 1b dz) =dz ∧ dw = ωC , h∗ p = p ◦ h = f .Ñëåäñòâèå 2.2.2. ÂñåC-ãàìèëüòîíîâûñèñòåìûH1 (a, b, c)ìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíûìè äðóã äðóãó. Âñå ñëîèñòåìûH1 (a, b, c)ÿâëÿþòñÿ íåîñîáûìè,ÿâëÿþòñÿ ãà-C-ãàìèëüòîíîâîéC-äèôôåîìîðôíûìè C,ñè-à îãðàíè÷å-íèÿ íà íèõ ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííûìè äðóã äðóãó. Âåêòîðíûå ïîëÿsgrad H = sgrad C fèsgrad F = −i sgrad C fùåñòâóåò êîìïëåêñíûé äèôôåîìîðôèçìêîñòü, òàêîé ÷òî(sgrad C f )|Tξ =ïîëíû. Äëÿ ëþáîãî ñëîÿfξ : Tξ → Cdddfξ , ãäå dfξ55Tξñó-íà êîìïëåêñíóþ ïëîñ-∈ Vect(Tξ ) êîîðäèíàòíîåâåêòîðíîå ïîëå íà ñëîåTξ ,îòâå÷àþùåå êîîðäèíàòíîìó äèôôåîìîðôèçìófξ ,òî åñòü äèôôåîìîðôèçìfξTξ ,èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 2.1.âûïðÿìëÿåò èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè íàÐèñ.