Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 4

. . (w − wn ), ãäå wi ∈ R, wi 6= wj ,i, j = 1, . . . , n, i 6= j , â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî ñëîÿ.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ðàçðåçàíèè îêðåñòíîñòè íóëåâîãîñëîÿ T0 = {f (z, w) = 0} íà ÷åòûðåõìåðíûå ðó÷êè, íà êàæäîé èç êîòîðûõââîäÿòñÿ êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû, âû÷èñëÿþòñÿ ïåðèîäû è âèä èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé íà íóëåâîì ñëîå èçîáðàæåí íà ðèñóíêå. Òåîðåìà äîêàçàíàðàçäåëüíî äëÿ ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî n.  ÷àñòíîñòè, íèæå ñôîðìóëèðîâàíàòåîðåìà äëÿ íå÷åòíîãî n.19Òåîðåìà 5ìû(êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ).(C2 , dz ∧ dw, f )C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòå-f (z, w) = z 2 + P2n+1 (w)ñ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíàâåòñòâóþùåãî ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿÄëÿ(ñì.

îïðåäåëåíèå 3.1.6),ãäåè ñîîò-P2n+1 (w) =(w − a1 ) . . . (w − a2n+1 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a2n+1 , n ∈ N,ñóùåñòâóåòε > 0,1) äëÿ ëþáîãîòàêîå ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:ξ ∈ C, |ξ| < ε,ãîìåîìîðôåí ñôåðå ñnñëîéTξ = f −1 (ξ)ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì èðó÷êàìè è îäíèì ïðîêîëîì;2) ëàãðàíæåâî ñëîåíèå â ÷åòûðåõìåðíîéε-îêðåñòíîñòè Uε (T0 )ñëîÿT0T0íàòðèâèàëüíî, ò.å. ïîñëîéíî ãîìåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ñëîÿîòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê3) â îêðåñòíîñòèUε (T0 )2D0,ε= {ξ ∈ C | |ξ| < ε};ñóùåñòâóþò2nãîëîìîðôíûõ ôóíêöèéI1 , . .

. , In , J1 , . . . , Jn : Uε (T0 ) → C,à äëÿ êàæäîé ÷åòûðåõìåðíîéε-ðó÷êè Gε,k ⊂ Uε (T0 ), k = 1, . . . , n,ñòâóåò ãîëîìîðôíîå âëîæåíèå (çàäàâàåìîå ïðèk>1ñóùå-êîìïëåêñíûìè êîîð-äèíàòàìè äåéñòâèå-óãîë)(Ik |Gε,k , ϕk mod 2π) : Gε,k2 ≤ k ≤ n; C × (C/2πZ),S,→1{I1 } × (TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \ γI1 , k = 1, I ∈De1ãäå ïðèk = 1ôóíêöèÿôóíêöèåé, ÷åðåçϕ1 mod 2πdJ1dI1 (I1 )∈ C \ R,ðàç ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêàn = 1,1(TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \ γI1ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé1TC2 ( dJdI1 (I1 )) := C/2π(Z ⊕òîð ñ ïàðàìåòðîìêó â ñëó÷àåε,1(1)dJ1dI1 (I1 )Z) îáîçíà÷åí êîìïëåêñíûé÷åðåç1γI1 ⊂ TC2 ( dJdI1 (I1 ))(1)A3 (I1 )A4 (I1 ) ⊂ Cñì. ï.á) íèæå) ïðè ïðîåêöèè(âûðîæäàþùåãîñÿ â òî÷1C → TC2 ( dJdI1 (I1 )),îáîçíà÷åíî ïîïîëíåíèå íàäðåçàííîãî òîðà20îáîçíà÷åí îá-è ÷åðåç1(TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \γI1dϕ1 dϕ1 , ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:îòíîñèòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêèà) êàæäàÿ ôóíêöèÿIk = Ik (f )åéèIk , Jk : Uε (T0 ) → CJk = Jk (f )îòfÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöè-áåç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, åå ìíîæåñòâîçíà÷åíèée ε,k := Ik (Uε (T0 )) = Ik (Gε,k ),Dîòêðûòî âíîñòèCUε (T0 )è ãîìåîìîðôíî îòêðûòîìó êðóãó, îíà âûðàæàåòñÿ â îêðåñò÷åðåç ëþáóþ äðóãóþ òàêóþ ôóíêöèþ ôîðìóëàìèIk = Ik (f (I` )),ãäåf (Ik )èñòâåííî (kf (Jk )Ik = Ik (f (J` )),Jk = Jk (f (I` )), ôóíêöèè, îáðàòíûå ê ôóíêöèÿìJk = Jk (f (J` ));Ik (f )èJk (f )ñîîòâåò-= 1, .

. . , n);á) ïðè ëþáûõk = 1, . . . , nèe ε,kIk ∈ Dϕk mod 2π|Gε,k ∩Tf (Ik )êîîðäèíàòû óãîëîáëàñòèb ε,k := Jk (Uε (T0 )) = Jk (Gε,k ) ⊂ CDìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîìïëåêñíîéïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîé çàìêíóòîé(k)(k)Wk,Ik ⊂ C, îãðàíè÷åííîé øåñòèóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè A1 (Ik ), . . . , A6 (Ik )(k)(k)C (âûðîæäàþùèìñÿ ïðè k = n â ïàðàëëåëîãðàìì ñ âåðøèíàìè A1 (Ik ), A2 (Ik ),(n)(n)(n)(n)A3 (Ik ) = A4 (Ik ), A5 (Ik ) = A6 (Ik ))ãåîäåçè÷åñêèìçè÷åñêèìè ñòîðîíàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìèdk (f (Ik )), s2k−1 (f (Ik )), s2k−2 (f (Ik )) ⊂ Tf (Ik ) ,s2k (f (Ik )), s2k+1 (f (Ik )) ⊂ Tf (Ik )â ñëó÷àåk < n,à òàêæå ãåîäå-ñëåäóþùèì îáðà-çîì: (i) âûêèäûâàíèåì âñåõ âåðøèí (ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåpf (Ik ) ),è (ii) îòîæäåñòâëåíèåì (ò.å.

ñêëåèâàíèåì) ïðè ïîìîùèïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ëþáîé ïàðû ñòîðîí, îòâå÷àþùèõ îäíîé è òîé æåãåîäåçè÷åñêîé (ëèáîdk (f (Ik )),ëèáîs1 (f (I1 ))ïðèóãîëüíèê (ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëîãðàìì ïðèk = n)ñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè (ñì. ðèñ. 4.5, 4.6 ïðèñîîòâåòñòâåííî):21k = 1);ïðè÷åì øåñòè-îäíîçíà÷íî çàäàåò-1 ≤ k < n, 1 ≤ k = n•øåñòèóãîëüíèê (èëè ïàðàëëåëîãðàìì)∂Wk,Ik ⊂ Cîáðàçîâàí òðåìÿ ïà-ðàìè ðàâíûõ è ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëåäóþùèìãåîäåçè÷åñêèì è ïîëó÷àþùèõñÿ äðóã èç äðóãà ñëåäóþùèìè ñäâèãàìè âïëîñêîñòèC:(k)2π(k)(k)(k)A1 (Ik )A2 (Ik ) = ϕk (dk (ξ)) −→ A5 (Ik )A4 (Ik ) = ϕk (dk (ξ)),(k)(k)A2 (Ik )A3 (Ik ) = ϕk (s2k−1 (ξ))(k)2,ξ := f (Ik ) ∈ D0,εδ∈Cíà âåêòîð÷åðåç−→hDk (f (Ik ))ik := 2π•ïðè ëþáîìk<n(k)(k)A1 (Ik )A6 (Ik ) = ϕk (s2k−2 (ξ)),(k)(k)A6 (Ik )A5 (Ik ) = ϕk (s2k+1 (ξ)),δ:C→Câ ïëîñêîñòè−→−hDk (ξ)ik(k)A3 (Ik )A4 (Ik ) = ϕk (s2k (ξ))ãäå−hDk (ξ)ikk < n,îáîçíà÷åí ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñC, s0 (ξ) := s1 (ξ),dJk−1dJdJk1(Ik ) −(Ik ) + .

. . + (−1)k−1(Ik ) ,dIkdIkdIkâûïîëíåíî−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→(k)(k)(k)(k)A3 (Ik )A4 (Ik ) = A6 (Ik )A5 (Ik )dIk+1dIk+2n−k−1 dIn= hSk+1 (f (Ik ))ik := 2π(Ik ) −(Ik ) + . . . + (−1)(Ik ) ,dIkdIkdIk•òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììàðàâíà(k)12 (A1 (Ik )(k)(k)+ A3 (Ik )) = 0 = ϕk (0, a2k (f (Ik )))(k)(k)π = ϕk (0, a2k+1 (f (Ik ))),(1)(k)(k)A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )(1)(1)à ïðèk=1(1)ðàâíà(k)(k)(îòêóäà òî÷êà ïåðå-ñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé (âûðîæäàþùåãîñÿ â îòðåçîê ïðèëîãðàììà(k)A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A6 (Ik )k = n)(k)12 (A3 (Ik )ïàðàëëå-(k)+ A5 (Ik )) =öåíòðû îòîæäåñòâëÿåìûõ ñòîðîíA2 (I1 )A3 (I1 ) è A1 (I1 )A6 (I1 ) ñóòü îòîæäåñòâëÿåìûå òî÷êè ± 21 hD1 (f (I1 ))i1 =ϕ1 (0, a1 (f (I1 ))));22â ÷àñòíîñòè, ïðèêîîðäèíàòûk=1äëÿ ëþáîãîe ε,1I1 ∈ D1ϕ1 mod 2π|Gε,1 ∩Tf (I1 ) : Gε,1 ∩ Tf (I1 ) → (TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \ γI1âåñü ïîïîëíåííûé íàäðåçàííûé òîððîìîáðàçîì êîìïëåêñíîé óãëîâîé1TC2 ( dJdI1 (I1 ))â ñëó÷àån = 1)1(TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \ γI1(ñîâïàäàþùèé ñ òî-çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ òî÷åê(ñîâïàäàþùèõ äðóã ñ äðóãîì â ñëó÷àån = 1),ÿâëÿåòñÿ(1)(1)A3 (I1 ), A4 (I1 )ÿâëÿþùèõñÿ êîíöàìè ëèíèèíàäðåçà è îòâå÷àþùèõ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå;â)(dz ∧ dw)|Gε,k = dIk ∧ dϕk , k = 1, .

. . , n;ã) ïåðåìåííàÿ äåéñòâèå1Ik (ξ) =πa2k+1Z (ξ)pIk = Ik (f )è ôóíêöèÿaZ2k (ξ)1ξ − P2n+1 (y)dy, Jk (ξ) =πa2k (ξ)Jk = Jk (f )èìåþò âèäpξ − P2n+1 (y)dy,2ξ ∈ D0,ε,a2k−1 (ξ)q√áåðóòñÿ åå âåòâè, òàêèå ÷òî−P2n+1 ( 12 (a2k + a2k+1 )) >ãäå â êà÷åñòâå ôóíêöèèq0 â ïåðâîì ñëó÷àå, è i −P2n+1 ( 21 (a2k−1 + a2k )) < 0 âî âòîðîì ñëó÷àå;ä) äëÿ ëþáûõ äâóõ ðó÷åêGε,k , Gε,` ,òî æå ñåìåéñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ1≤k<nïåðåñå÷åíèåGε,k ∩ Gε,k+1 =sj (ξ),Gε,k ∩ Gε,k+1[ñîäåðæàùèõ â ñâîåé ãðàíèöå îäíî èk = ` ± 1,âûïîëíåíîïðè÷åì â ñëó÷àåÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ãåîäåçè÷åñêèõ(s2k (ξ) ∪ s2k+1 (ξ)) =|ξ|<ε[(Prw |Tξ )−1 (Sk+1 (ξ)),|ξ|<εè íà ýòîì ïåðåñå÷åíèè êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû óãîëϕk mod 2π è ϕk+1 mod 2πñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ôîðìóëàìè:00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k (ξ) + πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k (ξ) − π),00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k+1 (ξ) − πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k+1 (ξ) − π);å) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â êîîðäèíàòàõ23(Ik , ϕk mod 2π)íà ðó÷êåGε,k ,k = 1, .

. . , n,ïðèíèìàþò âèä:I˙k = 0,4) àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿùàÿ Ãàìèëüòîíèàíϕ̇k =df (Ik );dIkC2 → C2 , (z, w) 7→ (−z, w),f , ïåðåâîäèò êàæäóþ ÷åòûðåõìåðíóþ ε-ðó÷êó Gε,káÿ, è îãðàíè÷åíèå ýòîé èíâîëþöèè íà ýòó ðó÷êó â êîîðäèíàòàõèìååò âèäñîõðàíÿþâ ñå-(Ik , ϕk mod 2π)(Ik , ϕk mod 2π) 7→ (Ik , −ϕk mod 2π), 1 ≤ k ≤ n.Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ è èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü ñâîèì íàó÷íûìðóêîâîäèòåëÿì À.Ò. Ôîìåíêî è Å.À.

Êóäðÿâöåâîé çà áîëüøîå âíèìàíèå ê ðàáîòå è ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé, îïðåäåëèâøèõ îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ åå ðàçâèòèÿ. Àâòîð áëàãîäàðåí À.È. Øàôàðåâè÷ó, À.Á. Æåãëîâó çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ â ïðîöåññå ðàáîòû íà äèññåðòàöèåé, À.Ì. Ñòåïèíó è Ä.À. Àíîñîâóçà âíèìàíèå ê ðàáîòå è öåííûå çàìå÷àíèÿ.24Ãëàâà 1Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìûñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè èìíîãîóãîëüíèêè Íüþòîíà1.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿÎïðåäåëåíèå 1.1.1([30, Ÿ2.1 è Ÿ3.4]).ìíîãî÷ëåíà f (z, w) =PÌíîãîóãîëüíèêîì ÍüþòîíàPf ⊂ R2al,m z l wm íàçûâàåòñÿ âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìíîæå-l,m≥0ñòâà òî÷åê (l, m) ∈ Z òàêèõ, ÷òî al,m 6= 0. Ðàçìåðíîñòüþ dim Pf ìíîãîóãîëü2íèêà Íüþòîíà Pf íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü ìèíèìàëüíîãî àôôèííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà â R2 , ñîäåðæàùåãî ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà Pf .ÌíîãîóãîëüíèêîìPηf ⊂ R2 , îòâå÷àþùèì ìíîãîóãîëüíèêó Íüþòîíà Pf è êîâåêòîðó η ∈ R2∗ ,íàçîâåì ãðàíü (ðàçìåðíîñòè 0, 1 èëè 2) ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà Pf , íà êîòîðîé äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ôóíêöèÿ Pf → R, x 7→ hη, xi, x ∈ Pf , ãäå ÷åðåçhη, xi ∈ R îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå êîâåêòîðà η íà âåêòîðå x ∈ R2 (â ÷àñòíîñòè,ñàì ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà P0f = Pf îòâå÷àåò íóëåâîìó êîâåêòîðó η = 0, àêàæäàÿ ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà Pf îòâå÷àåò ñâîåìó âåêòîðó âíåøíåé íîð25ìàëè).

Ïî ìíîãî÷ëåíó f (z, w) =÷åííûé ìíîãî÷ëåíηf (z, w) =Pal,m z l wm è êîâåêòîðó η îïðåäåëèì óñå-Pl,m≥0al,m z l wm , ñì. ðèñ. 1.1.(l,m)∈PηfÐèñ. 1.1: Ïðèìåð ìíîãîóãîëüíèêà ÍüþòîíàÍèæå (îïðåäåëåíèÿ 1.1.2, 1.1.3 è 1.1.4) ââåäåíû òðè ïîíÿòèÿ íåâûðîæäåííîñòè äëÿ ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ , à èìåííî îïðåäåëåíûíåâûðîæäåííîñòüìíîãî÷ëåíà îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, íåîñîáîñòüf −1 (ξ)äëÿ ôóíêöèèf èíåïðèâîäèìîñòüñëîÿìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ . Ëþáîå èçýòèõ óñëîâèé âûïîëíåíî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ïðè âûïîëíåíèè äàííûõ óñëîâèé óäàåòñÿ îïèñàòü òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ñëîÿ f −1 (ξ)(ñì. òåîðåìû 7, 8, 9, 10 è ñëåäñòâèå 1.2.3, à òàêæå òåîðåìó 11 è ñëåäñòâèÿ 1.3.2è 1.3.4 íèæå). Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, äàííûå ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè (ñì. ïðèìåð 1.1.6).Îïðåäåëåíèå 1.1.2([30, Ÿ2.1, îïðåäåëåíèå]).

Ìíîãî÷ëåí f (z, w) íàçûâàåòñÿíåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà ÍüþòîíàPf , åñëèäëÿ ëþáîãî êîâåêòîðà η ∈ R2∗ âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå: äëÿ ëþáîãîðåøåíèÿ (z, w) óðàâíåíèÿ f η (z, w) = 0, ëåæàùåãî â (C \ {0})2 , äèôôåðåíöèàëdf η (z, w) 6= 0.26Îïðåäåëåíèå 1.1.3. ÑëîåìTξ ⊂ C2 ìíîãî÷ëåíà f : C2 (z, w) → C íàçûâà-åòñÿ ìíîæåñòâî Tξ = {(z, w) ∈ C2 |f (z, w) = ξ}. Ñëîé Tξ ⊂ C2 íàçûâàåòñÿíåîñîáûìäëÿ ôóíêöèè f , åñëè df (z, w) 6= 0 äëÿ ëþáûõ (z, w) ∈ Tξ .Îïðåäåëåíèå 1.1.4.Ìíîãî÷ëåí f (z, w) íàçûâàåòñÿíåïðèâîäèìûì,åñëè íåñóùåñòâóåò åãî ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè f (z, w) = p1 (z, w)p2 (z, w), ãäåp1 (z, w) è p2 (z, w) ìíîãî÷ëåíû, îòëè÷íûå îò êîíñòàíòû. äàëüíåéøåì â îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî íåîñîáûå ñëîèíåâûðîæäåííûõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ.