Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 9

2.1: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H1 (a, b, c)Ñëåäñòâèå 2.2.3.C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëü-òîíèàíîì ñòåïåíè îäèí ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ.Îòìåòèì, ÷òî àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ (z, w) 7→ (−z, w) ñîõðàíÿåòãàìèëüòîíèàí f , íà êàæäîì ñëîå èìååò îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó, à â êîìïëåêñíûõ êîîðäèíàòàõ p, q èç òåîðåìû 12 èìååò âèä (p, q) 7→ (p, −q).2.3Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè äâàÎïðåäåëåíèå 2.3.1.C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãà-ìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè äâàíàçûâàåòñÿ òðîéêà (C2 , ωC , f ), ãäå ωC = dz ∧ dw,C2 = C2 (z, w) è f (z, w) = az 2 + bw2 + cw + d, a, b, c, d ∈ C, ab 6= 0; îáîçíà÷èìýòó C-ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ÷åðåç H2 (a, b, c, d).Òåîðåìà 13.

ÄâåC-ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû H2 (a1 , b1 , c1 , d1 ) è H2 (a2 , b2 , c2 , d2 )ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà56a1 b1 = a2 b2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü a1 b1 = a2 b2 , îïðåäåëèì îòîáðàæåíèåh : C2 (z1 , w1 ) →qC (z2 , w2 ) ôîðìóëàìè z2 =2qa1a2 z1 ,w2 =qc1 −c2b1(w+1b22b1b1b2).

Òîãäà h ãàìèëü-22òîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü. qÄåéñòâèòåëüíî,q f2 (z2 , w2 ) = a2 z2 +b2 w2 +c2 w2 +d2 =a1 z12 + b1 w12 + c1 w1 +b1 2b2 )(c1 −c24b1h∗ (ωC,2 ) = dz2 ∧ dw2 =qa1a2c2 (c1 −c2+ 2 √b b1 2qb1b2 dz1b1b2 )b+ d2 = f1 (z1 , w1 ) + d2 − d1 +c21 −c22 b124b1 ,∧ dw1 = ωC,1 â ñèëó a1 b1 = a2 b2 (äëÿñîãëàñîâàííûõ âûáîðîâ âåòâåé îáåèõ ôóíêöèé êîðåíü).Îáðàòíî, ïóñòü h ãàìèëüòîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü ìåæäó H2 (a1 , 1, 0, 0) è√H2 (a2 , 1, 0, 0), Πj,ε = {(z, −ε −aj z) | z ∈ C}, ãäå ε = ±1, j = 1, 2.

ÒîãäàHHS∆1 =∆2 , ãäå ∆j 1-ôîðìà íàä C íà îñîáîì ñëîå fj−1 (0) = Πj,+ Πj,−γh◦γáåç îñîáîé òî÷êè (0, 0), äâîéñòâåííàÿ âåêòîðíîìó ïîëþ sgrad C fj , γ çàìêíó-Πj,+ ≈ Πj,−√S−a1 e2πit ), t ∈ [0, 1]. Òàê êàê fj−1 (0) = Πj,+ Πj,− , ãäåT≈ C è Πj,+ Πj,− = {(0, 0)} è êðèâàÿ γ ïðîñòàÿ è íåñòÿãèâàåìàÿòûé ïóòü γ(t) = (e2πit ,â f1−1 (0) \ {(0, 0)}, òî h ◦ γ ãîìîëîãè÷íà â f2−1 (0) \ {(0, 0)} îäíîé èç êðèâûõ√γ± (t) = (e2πit , ± a2 e2πit ), èëè ïîëó÷åííûõ èç íèõ ñìåíîé îðèåíòàöèè. ÎòñþäàHH=±, îòêóäàè èç ∆j = 2a1j z dw|fj−1 (0)\{(0,0)} èìååì ∆1 = − √πi∆2 = ± √πi−a1−a2γ±γa1 = a2 .Ñëåäñòâèå 2.3.2.C-ãàìèëüòîíîâàñèñòåìàH2 (a1 , b1 , c1 , d1 )ñ ãèïåðýëëèï-òè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè äâà ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîé ñèñòåìåH2 (a, 1, 0, 0),äëÿa = a1 b1 ∈ C \ {0}.Ëåììà 2.3.3. Ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí îñîáûé ñëîéåäèíåíèåì äâóõ òðàíñâåðñàëüíûõ êîìïëåêñíûõ{z = −iqba (w+Td− c2 .

Îí ÿâëÿåòñÿ îáú4bqbcïðÿìûõ {z = ia (w + 2b )} èc2b )}.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñíà÷àëà äîêàæåì ëåììó äëÿ C-ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì H2 (a, 1, 0, 0).Âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f = (−2w, 2az), îòêóäà ðàâåíñòâî sgrad C f = 0 ðàâíî57ñèëüíî z = w = 0. Ïîýòîìó îñîáûé ñëîé ýòî T0 = f −1 (0), òðàíñâåðñàëüíîåïåðåñå÷åíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ïðÿìûõ {z = ± √wa }.Äëÿ ïðîèçâîëüíîé C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû H2 (a, b, c, d) äîêàçàòåëüñòâîïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èç äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû 13.Òåîðåìà 14(Êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë âíå îñîáîãî ñëîÿ).Âåêòîðíûå ïîëÿsgrad H = sgrad C fïîëíåíèè ê îñîáîìó ñëîþV := Td− c2èsgrad F = −i sgrad C fïîëíû.

Íà äî-H2 (a, b, c, d) ãàìèëüòîíîâî ýê-ñèñòåìà4bC-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ((C\{0})×√(C/2πZ)(p, q mod 2π), dp ∧ dq, f0 (p, q mod 2π) = 2 abp). Áîëåå òîãî, èìååò-âèâàëåíòíà êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîéñÿC-ñèìïëåêòîìîðôèçì h : (C2 \ V, ωC ) → ((C \ {0}) × (C/2πZ), dp ∧ dq),çàäàâàåìûé êàíîíè÷åñêèìè êîìïëåêñíûìè êîîðäèíàòàìè(p, q mod 2π) :=Äîêàçàòåëüñòâî.f (z, w) − (d −√2 abc24b ), −i ln√!c az + i b(w + ) mod 2π .2b√Ñíà÷àëà äîêàæåì òåîðåìó äëÿ C-ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìH2 (a, 1, 0, 0). Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà íà íåêîòîðîì íåîñîáîì ñëîåTξ , ξ 6= 0: ż = −2w, ẇ = 2az.√2 −atÐåøåíèå èìååò âèä (z(t), w(t)) = (Ce+De√−2 −at√√√√2 −at−2 −at, − −aCe+ −aDe),ãäå C, D ∈ C êîíñòàíòû, çàäàííûå íà÷àëüíîé òî÷êîé òðàåêòîðèè, 4aCD =ξ .

Ïîñêîëüêó ðåøåíèå îïðåäåëåíî äàííîé ôîðìóëîé ïðè ëþáîì t ∈ C, òîâåêòîðíûå ïîëÿ sgrad C f è −i sgrad C f ïîëíû.Ïîêàæåì, ÷òî h âëîæåíèå. Ïóñòü h(z, w) = (p, q mod 2π). Âûðàçèì (z, w)÷åðåç (p, q mod 2π): z =√eiq +2 √ape−iq2 aèw=58√eiq −2 ape−iq.2iÎòîáðàæåíèå h ñþðúåêòèâíî, òàê êàê äëÿ ëþáûõ p 6= 0 è q mod 2π ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (z, w) óðàâíåíèÿ h(z, w) = (p, q mod 2π), âûðàæàþùååñÿ÷åðåç (p, q mod 2π) ïî âûøåïðèâåäåííûì ôîðìóëàì.Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà (h−1 )∗ (ωC ) = (h−1 )∗ (dz ∧ dw) =√1 d(eiq4 ai+√√√2 ape−iq ) ∧ d(eiq − 2 ape−iq ) = dp ∧ dq .

Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà h∗ (2 ap) =√2 ap ◦ h = f .Äëÿ ïðîèçâîëüíîé C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû H2 (a, b, c, d) äîêàçàòåëüñòâîïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èç äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû 13.Ñëåäñòâèå 2.3.4.  êàíîíè÷åñêèõ êîìïëåêñíûõ êîîðäèíàòàõp, q mod 2πíàäîïîëíåíèè ê îñîáîìó ñëîþ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà è óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà èìåþò âèä√√f (p, q mod 2π) = 2 abp, ṗ = 0, q̇ = 2 ab.ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûH2 = (a, b, c, d)Îãðàíè÷åíèÿC-íà ëþáûå íåîñîáûå ñëîè ñîïðÿæå-íû äðóã äðóãó, è äëÿ ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿTξñóùåñòâóåò êîìïëåêñíûéfξ = fξ mod 2π : Tξ → C/2πZ íà öèëèíäð, òàêîé ÷òî√= 2 ab dfdξ , ãäå dfdξ ∈ Vect(Tξ ) êîîðäèíàòíîå âåêòîðíîå ïî-äèôôåîìîðôèçì(sgrad C f )|Tξëå íà ñëîåTξ ,îòâå÷àþùåå êîîðäèíàòíîìó äèôôåîìîðôèçìóåñòü äèôôåîìîðôèçìfξ mod 2πfξ mod 2π ,òîâûïðÿìëÿåò èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè íàTξ .Íà ðèñ. 2.2 èçîáðàæåíû íåîñîáûé ñëîé è èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H2 (a, b, c, d) íà âëîæåíèè ñëîÿ â R3 è ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçâåðòêå â R2 .Çàìå÷àíèå 2.3.5.(À) Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 14 ïîêàçûâàåò, ÷òî êàíîíè-÷åñêèå êîîðäèíàòû p, q mod 2π ïðîäîëæàþòñÿ äî êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò íàäîïîëíåíèè ê ïðÿìîé Π+ = {z = −ipab (w59+ 2bc )} ⊂ Td− c2 , çàäàþùèõ ãàìèëü4bÐèñ.

2.2: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H2 (a, b, c, d)√òîíîâó ýêâèâàëåíòíîñòü h− : (C2 \Π+ , ωC , f ) → (C×(C/2πZ), dp∧dq, 2 abp).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ãàìèëüòîíîâó ýêâèâàëåíòíîñòü h+ : (C2 \Π− , ωC , f ) →√(C × (C/2πZ), dp ∧ dq̂, 2 abp) ôîðìóëàìè(p, q̂ mod 2π) :=f (z, w) − (d −√2 abc24b ), i ln√!c az − i b(w + ) mod 2π .2b√Ôóíêöèÿ ïåðåõîäà h+ ◦ h−1− : (C \ {0}) × (C/2πZ) → (C \ {0}) × (C/2πZ)√èìååò âèä (p, q mod 2π) 7→ (p, q̂ mod 2π) = (p, q + i ln(2 abp) mod 2π) è çàäàåòïîñëîéíûé àâòîìîðôèçì òðèâèàëüíîãî ðàññëîåíèÿ (C \ {0}) × (C/2πZ) →C \ {0}, êîòîðûé ïîñëîéíî íå ãîìîòîïåí òîæäåñòâåííîìó àâòîìîðôèçìó. Ïîýòîìó h− |C2 \V è h+ |C2 \V îïðåäåëÿþò òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûå òðèâèàëèçàöèè ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ â C2 \ V ≈ (C \ {0}) × (C/2πZ) ñ áàçîé C \ {0}.60(Á)  ñëó÷àå a = b = 1/2, c = d = 0 ãèïåðïëîñêîñòü Π3 := C(R×R) ⊂ C×Cèíâàðèàíòíà è ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì èñ÷åçàþùèõ öèêëîâ (ñì.

çàìå÷àíèå 3.2.2) è îñîáîé òî÷êè (0, 0). Çäåñü èñ÷åçàþùèé öèêë íà íåîñîáîì ñëîå√√Tξ ýòî îáðàç ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè γξ (t) := ( reiϕ/2 cos t, reiϕ/2 sin t),ξ→0t ∈ [0, 2π], ãäå ξ = reiϕ , r > 0. Îí íàçûâàåòñÿ èñ÷åçàþùèì, òàê êàê γξ (t) →(0, 0) ðàâíîìåðíî ïî t ∈ [0, 2π]. Ïðè ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè h± èñ÷åçàþùèé öèêë γξ ïåðåõîäèò â h± (γξ (t)) = (ξ, t ± 2i ln 2ξ mod 2π), t ∈ [0, 2π].Ïîýòîìó îáúåäèíåíèå Π3 \{(0, 0)} èñ÷åçàþùèõ öèêëîâ ïåðåõîäèò â {(reiϕ , ψ ±i2ln 2r mod 2π) | r > 0, ϕ mod 2π, ψ mod 2π ∈ S 1 } ≈ R × S 1 × S 1 .2.4Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè òðèÎïðåäåëåíèå 2.4.1.C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãà-ìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè òðèíàçûâàåòñÿ òðîéêà (C2 , ωC , f ), ãäå C2 = C2 (z, w),ωC = dz ∧ dw è f (z, w) = az 2 + bw3 + cw2 + dw + e, a, b, c, d, e ∈ C, ab 6= 0.Îáîçíà÷èì ýòó ñèñòåìó ÷åðåç H3 (a, b, c, d, e).

Ñèñòåìó H3 (a, b, c, d, e) íàçîâåì íåâûðîæäåííîé, åñëè êðèòè÷åñêèì òî÷êàì ôóíêöèè f ñîîòâåòñòâóþò äâàðàçëè÷íûõ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿ (ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ c2 6= 3bd, òî åñòüòîìó, ÷òî f êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ Ìîðñà, ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 15).Òåîðåìà 15. Âñÿêàÿ íåâûðîæäåííàÿC-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H3 (a, b, c, d, e)ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìåH3 (r, s, s, 0, 0)äëÿ íåêîòîðûõr, s ∈C, rs 6= 0. C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H3 (r, s, s, 0, 0) íåâûðîæäåíà ïðè ëþáûõr 6= 0, s 6= 0.

Äâå íåâûðîæäåííûå C-ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû H3 (r1 , s1 , s1 , 0, 0)èH3 (r2 , s2 , s2 , 0, 0)ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êî-61ãäàr1 = r2ès1 = ±s2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü w0 êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè bw3 +cw2 +dw +e,òîãäà f (z, w) = az 2 + b(w − w0 )2 (w − α) + β , ãäå α, β ∈ C, α 6= w0 . Îïðåäåëèì0îòîáðàæåíèå h : C2 → C2 ôîðìóëîé h(z, w) = ((w0 −α)z, w−ww0 −α ).

Îòîáðàæåíèåh èñêîìàÿ ãàìèëüòîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü.Îñîáûå òî÷êè p1 è p2 âåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C f ñèñòåìû H3 (r, s, s, 0, 0)òàêîâû: p1 = (0, 0) è p2 = (0, − 32 ), îòêóäà f (p1 ) = 0 è f (p2 ) = − 29 s. Âûðàæåíèåf (p1 ) 6= f (p2 ) ðàâíîñèëüíî s 6= 0, ÷òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.4.1, âûïîëíåíî.Ïóñòü ìåæäó ñèñòåìàìè H3 (r1 , s1 , s1 , 0, 0) è H3 (r2 , s2 , s2 , 0, 0) çàäàíà ãàìèëüòîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü h. Çàìåòèì, ÷òî ëèáî h(p1,j ) = h(p2,j ), ëèáîh(p1,j ) = h(p2,3−j ), j = 1, 2, ãäå pi,1 , pi,2 îñîáûå òî÷êè âåêòîðíûõ ïîëåésgrad C fi , i = 1, 2. Ïîýòîìó h ñîõðàíÿåò ðàçíîñòü êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé: ëèáîf1 (p1,1 )−f1 (p1,2 ) = f2 (p2,1 )−f2 (p2,2 ), ëèáî f1 (p1,1 )−f1 (p1,2 ) = f2 (p2,2 )−f2 (p2,1 ),ñîîòâåòñòâåííî.

Òàê êàê pi,1 = (0, 0), pi,2 = (0, − 32 ), òî ëèáî s1 = s2 èh(p1,j ) = p2,j , ëèáî s1 = −s2 è h(p1,j ) = p2,3−j ñîîòâåòñòâåííî.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàâåíñòâà r1 = r2 ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð Ai,jâ Tpi,j C2 îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè âåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C fi = (−si (3w +2)w, 2ri z)T â òî÷êå pi,j ; â êîîðäèíàòàõ z, w îí çàäàåòñÿ ìàòðèöåé0 2si0 −2si , Ai,2 = ,Ai,1 = 2ri 02ri 0îòêóäà det Ai,1 = 4ri si è det Ai,2 = −4ri si , i = 1, 2. Èç äîêàçàííîãî âûøåñëåäóåò, ÷òî s1 = ±s2 , ïðè÷åì ïðè s1 = s2 èìååì h(p1,j ) = p2,j è A2,j ◦ dh|p1,j =dh|p1,j ◦ A1,j , îòêóäà det A1,j = det A2,j , ïîýòîìó r1 = r2 . Ïðè s1 = −s2 èìååìh(p1,j ) = p2,3−j è A2,3−j ◦ dh|p1,j = dh|p1,j ◦ A1,j , îòêóäà det A1,j = det A2,3−j ,62ïîýòîìó r1 = r2 .Òåîðåìà 16. Ïóñòüáîãî) ñëîÿgξTξTξ ïîïîëíåíèå ïðîèçâîëüíîãî (íåîáÿçàòåëüíî íåîñî-H3 (a, b, c, d, e)ñèñòåìûîòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿ(òî÷íåå, îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ðàññòîÿíèÿρξ ,ñì.

îïðåäåëåíèå 2.1.10).Òîãäà:1) âûïîëíåíîTξ = TξS{pξ },ãäåpξ òî÷êà, íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íî óäà-ëåííîé;2) åñëèTξ íåîñîáûé ñëîé, òî ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçìTξ ≈ T2 ;3) ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíàÿ êîîðäèíàòà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êèpξ ∈ TξâTξ ,ÿâëÿþùàÿñÿC-äèôôåðåíöèðóåìîéâ ïðîêîëîòîéîêðåñòíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò äâå ëåììû, ïðèâåäåííûå íèæå.Ëåììà 2.4.2. Äëÿ ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî íåîñîáîãî) ñëîÿñòâóåò òàêîå ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâàC2Tξ , ξ ∈ C,ñóùå-çàìêíóòûìè ïîäìíîæåñòâàìè2Uξ,i ⊂ C2 , ãîìåîìîðôíûìè C × D ⊂ C × C, i ∈ N, ÷òî Uξ,i ⊂ Uξ,j ïðè∞SUξ,i = C2 è äëÿ ëþáîãî i âûïîëíåíî Tξ \Uξ,i ≈ D2 \{∗}, ãäå D2 i < j,i=1îòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê.Äîêàçàòåëüñòâî.Øàã 1. Ñîãëàñíî ëåììå 2.1.11, äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C ñóùåñòâó-påò âåùåñòâåííîå ÷èñëî r0 (ξ) > 0 òàêîå, ÷òî îïðåäåëåíà âåòâü 3 bw3 + cw2 + dw + e − ξ :22C \ Dr0 (ξ) → C, ÿâëÿþùàÿñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íà îáðàç, ãäå Dr0 ⊂ Cw çàìêíóòûé äâóìåðíûé øàð ðàäèóñà r0 (ξ) ñ öåíòðîì â 0.

Ïîëîæèì r0 := r0 (ξ).2Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå hξ : Cz × (Cw \ Dr0 ) → C2 ôîðìóëîé hξ (z, w) =√ p√√( az, 3 bw3 + cw2 + dw + e − ξ), ãäå ôèêñèðîâàíà îäíà èç âåòâåé ó, 3 .63Òîãäà hξ îïðåäåëåíî êîððåêòíî è ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íà îáðàç, êîîðäèíàòàìè íà îáðàçå ÿâëÿþòñÿz̃ =Ïîëîæèì r̃0 :=2Dr0 (ξ) )Sr3√az,w̃ =p3(2.4.1)bw3 + cw2 + dw + e − ξ.max |bw3 + cw2 + dw + e − ξ|. Äîêàæåì, ÷òî Uξ,i := (C ×|w|≤r02h−1ξ (C×D ri (ξ) ) èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ãäå ri = ri (ξ) = r̃0 +i.Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Prz̃ : C2z̃,w̃ → C, ãäå Prz̃ (z̃, w̃) = z̃ .2Øàã 2. Äîêàæåì, ÷òî Prz̃ ◦ hξ (Tξ \ Uξ,i ) = Cz̃ \ Dri (ξ) 32 ≈ D2 \ {0}.2Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî Prz̃ ◦ hξ (Tξ \ Uξ,i ) ⊆ Cz̃ \ Dri (ξ) 23 . Ïóñòü z̃0 ∈ Prz̃ ◦hξ (Tξ \ Uξ,i ), ðàññìîòðèì w̃0 òàêîå, ÷òî (z̃0 , w̃0 ) ∈ hξ (Tξ \ Uξ,i ), îòêóäà |w̃0 | >32ri , à çíà÷èò, |z̃0 | > ri .2Îáðàòíî, ïóñòü z̃0 ∈ Cz̃ \ D 32 , òîãäà ñóùåñòâóåò w̃0 òàêîå, ÷òî z̃02 + w̃03 = 0riè |w̃0 | > ri .

Âñå êîðíè óðàâíåíèÿ bw3 + cw2 + dw + e − ξ = w̃03 ðàçëè÷íû è ïîìîäóëþ áîëüøå r0 , îòêóäà (z̃0 , w̃0 ) ∈ hξ (Tξ \ Uξ,i ) è îòîáðàæåíèå Prz̃ ◦hξ |Tξ \Uξ,iÿâëÿåòñÿ íåðàçâåòâëåííûì òðèëèñòíûì íàêðûòèåì ñ áàçîé C\D23ri2≈ D2 \{∗}.Øàã 3. Äîêàæåì, ÷òî íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî hξ (Tξ \ Uξ,i ) ñâÿçíî. Ðàñ33ñìîòðèì ïîäíÿòèå γ̃(t) = (ri2 eπit , ri2 e2πit+πi33) çàìêíóòîãî ïóòè γ(t) = ri2 eπit ,0 ≤ t ≤ 6, ïðè íàêðûòèè Prz̃ |hξ (Tξ \Uξ,i ) . Òîãäà γ̃ ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòü,òðèëèñòíî íàêðûâàþùèé ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòü γ(t), 0 ≤ t ≤ 2, îòêóäàíàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî ñâÿçíî.Ëåììà 2.4.3.