Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 3

Ïóñòü äàíàC-ãàìèëüòîíîâàãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè•Êàæäàÿn, n ≤ 4.ñèñòåìà ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèìÒîãäà:C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H1 (a, b, c) ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíò-íà êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîéC-ãàìèëüòîíîâîé13ñèñòåìå(C2 (p, q), dp∧dq, f0 (p, q) = p). Âñå ñëîè C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû H1 (a, b, c)ÿâëÿþòñÿ íåîñîáûìè,•ÊàæäàÿC-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H2 (a1 , b1 , c1 , d1 ) ãàìèëüòîíîâî ýêâè-âàëåíòíà ñèñòåìåñëîè•C-äèôôåîìîðôíûìè C.H2 (a, 1, 0, 0),C-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìûÊàæäàÿ íåâûðîæäåííàÿäëÿC-ãàìèëüòîíîâàÂñå íåîñîáûå ñëîèãîìåîìîðôíû•ñèñòåìàH3 (a, b, c, d, e)ãà-H3 (r, s, s, 0, 0) äëÿ íåêîòîðûõ r, s ∈C-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìûH3 (a, b, c, d, e)T2 \ {p}.Êàæäàÿ íåâûðîæäåííàÿC-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H4 (a, b, c, d, e, k) ãà-ìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìåòîðûõÂñå íåîñîáûåH2 (a, b, c, d) C-äèôôåîìîðôíû R × S 1 .ìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìåC, rs 6= 0.a = a1 b1 ∈ C \ {0}.H3 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0)äëÿ íåêî-r, s, p ∈ C, rs 6= 0.

Âñå íåîñîáûå ñëîè C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûH4 (a, b, c, d, e, k)ãîìåîìîðôíûT2 \ {p1 , p2 }.Âî âòîðîé ãëàâå òàêæå îïðåäåëåíà ïîïîëíåííàÿ ñèñòåìà ïðè n = 3, 4,ñì. îïðåäåëåíèÿ 2.4.4, 2.5.5. Ýòî ïîïîëíåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé, ïðîäîëæåíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ωC íåâûðîæäåííî. Îòìåòèì, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ íåîñîáûõñëîåâ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû íà èñõîäíóþ ñèñòåìó ÿâëÿþòñÿ íåîñîáûìè ñëîÿìè èñõîäíîé ñèñòåìûu.Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ýòîé ãëàâû ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿ 2.4.5, 2.5.6îá èíòåãðèðóåìîñòè ïî Ëèóâèëëþ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû, êàê âåùåñòâåííîéãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.

Ïðè ýòîì âåùåñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòûäëÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ïîëó÷àþòñÿ îãðàíè÷åíèåì âåùåñòâåííûõ êîîðäèíàò14äåéñòâèå-óãîë, îïðåäåëåííûõ äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ëþáîãîíåîñîáîãî ñëîÿ, ñì. ñëåäñòâèÿ 2.4.6, 2.5.7. òðåòüåé ãëàâå èçó÷àåòñÿ òîïîëîãèÿ ëàãðàíæåâûõ ñëîåíèé èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îòâå÷àþùèõ Cãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì ñ îäíîé êîìïëåêñíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû íà C2 ñãèïåðýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè Ãàìèëüòîíà f = z 2 + Pn (w), n ∈ N. Òàêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (âåùåñòâåííîé) ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé(C2 , Re ωC,i , H = Re f ) ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ñ äîïîëíèòåëüíûì ïåðâûìèíòåãðàëîì F = Im f , ïðè÷åì íåîñîáûå ëàãðàíæåâû ñëîè f −1 (ξ) ãîìåîìîðôn−1íû ñôåðå ñ [ n−12 ] ðó÷êàìè è n − 2[ 2 ] ïðîêîëàìè, à ãàìèëüòîíîâû âåêòîðíûåïîëÿ ñ ãàìèëüòîíèàíàìè H è F íåïîëíû íà êàæäîì ñëîå ïðè n ≥ 3.

 ýòîéãëàâå ðàçâèâàþòñÿ ìåòîäû, ïðåäëîæåííûå â ðàáîòàõ [16], [21], [22], [24].Äâå ãîëîìîðôíûå ôóíêöèè fi : Mi → C íàçîâåì òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ñîõðàíÿþùèé îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçì h :M1 → M2 òàêîé, ÷òî f1 = f2 ◦ h + const.  òðåòüåé ãëàâå îïèñàíû êëàññûòîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé f â ìàëûõîêðåñòíîñòÿõ îñîáûõ ñëîåâ f −1 (ξ) â çàâèñèìîñòè îò n è êîìáèíàòîðíîãî òèïàñëîÿ íàáîðà êðàòíîñòåé êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñëîå (ïîëóëîêàëüíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ).

Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû (Mi4 , Re ωC,i , Hi = Re fi ) ñ äîïîëíèòåëüíûì ïåðâûì èíòåãðàëîìFi = Im fi , i = 1, 2, íàçûâàþò ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþòñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçìû h1 : M1 → M2 è h2 : C → C òàêèå,÷òî f1 = h2 ◦ f2 ◦ h1 . Ðåçóëüòàòû ãëàâû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ìàëîé îêðåñòíîñòèëþáîãî ëàãðàíæåâà ñëîÿ f −1 (ξ) ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì ðàâíî-15ñèëüíà òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ôóíêöèé f è ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ êîìáèíàòîðíûì òèïîì ñëîÿ, ñì. òåîðåìó 24. Íà îñíîâå òåîðåìû Ð. Òîìà(1965) îïèñàíû ðåàëèçóåìûå íàáîðû êîìáèíàòîðíûõ òèïîâ îñîáûõ ñëîåâ äëÿãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ.Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ãëàâû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ñëîåíèÿ â ëîêàëüíîé îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè ñèñòåì ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûìè ïîëèíîìèàëüíûìè ãàìèëüòîíèàíàìè âèäà f (z, w) = z 2 + Pn (w), n ∈ N ðàçäåëüíî äëÿ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî n. Îòäåëüíî èññëåäîâàí ñëó÷àé ìîðñîâñêîé îñîáåííîñòè. ÷àñòíîñòè, äëÿ ÷åòíîãî n îïèñàíèå ñëîåíèÿ ñôîðìóëèðîâàíî â ñëåäóþùåìïðåäëîæåíèè.Ïðåäëîæåíèå 0.0.1.

Ïðè ÷åòíîìC,ãäå4n ∈ N äëÿ ëþáîãî ε > 0 ôóíêöèÿ g : V ε →4V ε = {(z, w) ∈ C2 | |z 2 + wn | ≤ εn , |w| ≤ 2ε}, g(z, w) = z 2 + wn + ξ0 ,ξ0 ∈ C,ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèFS 1 × ([−1, 0− ] [0+ , 1]))/ ∼,q = qn : Mε4 → C,ãäåMε4 = ([0, εn ] × S 1 ×îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè∼â îïðåäåëåíèèMε4 ïîðîæäåíî ñëåäóþùèìè n + 1 îòíîøåíèÿìè: (r, ϕ mod 2π, ϕ+t+2πk mod 2π, 0− ) ∼1,k (r, ϕ mod 2π, ϕ−t+2πk mod 2π, 0+ ),nn (0, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) ∼ (0, 0 mod 2π, ψ mod 2π, h),2(0.0.3)ãäåF0 ≤ k ≤ n − 1, ϕ mod 2π ∈ R/2πZ, t ∈ [−π, π], h ∈ [−1, 0− ] [0+ , 1],q(r, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) = rei(ϕ mod 2π) + ξ0 .0 ∈ [−1, 0− ]è4Çäåñü0+ := 0 ∈ [0+ , 1], 0− :=2g(V ε ) = q(Mε4 ) = Dξ0 ,ε .Ýòî ïðåäëîæåíèå èìååò ñëåäóþùèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë.  ïðîñòðàíñòâå Mε4 êàæäûé ñëîé ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì äâóõ ïîëóöèëèíäðîâ {(r, ϕ mod 2π)} × S 1 × ([0+ , 1]F[−1, 0− ]), ïðè÷åì ïåðâûå ñîîòíîøåíèÿ16∼1,k ôîðìóëû (0.0.3) ïðåâðàùàåò åãî â ñôåðó ñ n − 1-îé ðó÷êîé è äâóìÿ ïðîêîëàìè.

Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ∼2 â (0.0.3) îòîæäåñòâëÿåò äðóã ñ äðóãîì ñëîèâèäà ({(0, ϕ mod 2π)} × S 1 × ([0+ , 1]F[−1, 0− ]))/ ∼1,k , ϕ mod 2π ∈ S 1 (îñî-áûé ñëîé). Èç ñîîòíîøåíèé â (0.0.3) ñëåäóåò, ÷òî íà ýòîì ñëîå îêðóæíîñòü{(0, 0)}×S 1 ×{0+ } ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó (ïåðåòÿæêà íà îñîáîì ñëîå). Äàííîåïîÿñíåíèå ïðîèëëþñòðèðóåì ñëåäóþùèìè ðèñ. 4 è 5.Ðèñ. 4: Ñëîé áëèçêèé ê îñîáîìóÐèñ. 5: Ìîíîäðîìèÿ ñëîÿÊðîìå òîãî, â òðåòüåé ãëàâå îïèñàíî ñëîåíèå â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ ñèñòåì ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûìè ïîëèíîìèàëüíûìè ãàìèëüòîíèàíàìè âèäà f (z, w) =z 2 + Pn (w), n ∈ N. Ïîëó÷åííàÿ êîíñòðóêöèÿ êëàññèôèêàöèè ñëîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòûðåõìåðíûì àíàëîãàì ïîíÿòèÿ àòîìà, ââåäåííîãî À.Ò.

Ôîìåíêî, òîåñòü îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ, ðàññëîåííîé íà ëèíèè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è ðàññìàòðèâàåìîé ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Àòîìûáûëè êëàññèôèöèðîâàíû â ðàáîòàõ À.Ò. Ôîìåíêî [36], [37], À.Â. Áîëñèíîâà [35] è äðóãèõ. Êðîìå òîãî, â ýòîì ñëó÷àå óñëîæíÿåòñÿ êîíñòðóêöèÿ òàêíàçûâàåìîãî êðåñòà (ñì. [7]), à ñêëåéêè íå èìåþò ñòîëü íàãëÿäíîãî âèäà.4Îäíàêî ïðè ïåðåñå÷åíèè V ε îêðåñòíîñòè íåîñîáîãî ñëîÿ Tξ0 ñ ïëîñêîñòüþΠ = {(z, w) ∈ C2 | Im z = 0, Im w = 0} âîçíèêàåò ñòàíäàðòíûé êðåñò è àòîì,17ñì.

ðèñ. 6 è 7.Ðèñ. 7: Äâóìåðíûé àòîìÐèñ. 6: Äâóìåðíûé êðåñòÁóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü Ln,k,l1 ,...,lk ,ε := Tξ0 \(kSi=14) êîìïëåêñíîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì, dimC Ln,k,l1 ,...,lk ,ε = 1, ãîìåîUi,εìîðôíîå2Mg,h,bíå÷åòíîì n =ïðè n > l,2M0,1,1F2M0,1,1ïðè ÷åòíîì n =kP2ïðèli , è M0,1,1i=1kPi=1li , g = [ n−12 ]−kP[ l2i ], h =i=13+(−1)2n, b =kP3+(−1)li2i=12, M0,1,1ïðîêîëîòûé çàìêíóòûé äâóìåðíûé äèñê. Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïîëóëîêàëüíîé òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ñëîåíèÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîéãîëîìîðôíîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ ñ íåñêîëüêèìè êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè, ÿâëÿþùàÿñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ òðåòüåé ãëàâû.Òåîðåìà 4. Ïóñòüñòåïåíèn ≥ 2,Tξ0 îñîáûé ñëîé ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàñîäåðæàùèé ðîâíîkêðèòè÷åñêèõ òî÷åêp1 , .

. . , pk ∈ Tξ0 ,ïðè÷åì êðàòíîñòè ýòèõ òî÷åê ðàâíû l1 −1, . . . , lk −1, l1 , . . . , lkñòâåííî. Òîãäà ñóùåñòâóåòöèÿff −1 (D2ξ0 ,ε )ε0 > 0òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãîòîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèè18f (z, w)≥ 2, ñîîòâåò-0 < ε ≤ ε0ôóíê-4fn,k,l1 ,...,lk : Mn,k,l→1 ,...,lk ,ε4C.

Çäåñü Mn,k,l=(1 ,...,lk ,εkFi=14V li ,ε )2Sφn,k,l1 ,...,lk ,εLn,k,l1 ,...,lk ,ε ))/(x ∼ φn,k,l1 ,...,lk ,ε (x))(Dξ0 ,ε ×Ln,k,l1 ,...,lk ,ε ) := (kFi=1F 24V li ,ε ) (Dξ0 ,ε ×ïîëó÷åíî èç íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿkF4V li ,εi=12+ 4è D ξ ,ε × Ln,k,l1 ,...,lk ,ε îòîæäåñòâëåíèåì ëþáîé òî÷êè x ∈ ∂ V l ,ε , 1 ≤ i ≤ k , ñ0i2åå îáðàçîì φn,k,l1 ,...,lk ,ε (x) ∈ D ξ ,ε ×∂Ln,k,l1 ,...,lk ,ε ïðè ãîìåîìîðôèçìå φn,k,l1 ,...,lk ,ε :0kF42∂ + V li ,ε → Dξ0 ,ε × ∂Ln,k,l1 ,...,lk ,ε , çàäàâàåìîì ôîðìóëîéi=1φn,k,l1 ,...,lk ,ε (z, w) := (z 2 + wli + ξ0 , α((arg w) mod 2π, sgn Im4(z, w) ∈ ∂ + V li ,ε , 1 ≤ i ≤ k ,z)),wliïðè li ÷åòíîì,φn,k,l1 ,...,lk ,ε (z, w) := (z 2 + wli + ξ0 , α(arg w + (li arg w + π − 2 arg z)) mod 4π),4(z, w) ∈ ∂ + V li ,ε , 1 ≤ i ≤ k ,ìóëàìèïðè li íå÷åòíîì, à ôóíêöèÿfn,1,lçàäàåòñÿ ôîð-4fn,k,l1 ,...,lk |V 4 (z, w) = z 2 + wli + ξ0 , (z, w) ∈ V li ,ε , 1 ≤ i ≤ k ,li ,εfn,k,l1 ,...,lk |D2ξ0 ,ε ×Ln,k,l1 ,...,lk ,εÏðè ýòîì2(ξ, x) = ξ , (ξ, x) ∈ Dξ0 ,ε × Ln,k,l1 ,...,lk ,ε .24fn,k,l1 ,...,lk (Mn,k,l) = Dξ0 ,ε .1 ,...,lk ,ε ïÿòîé ãëàâå äîêàçàí àíàëîã òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ íåïîëíûì ãàìèëüòîíîâûì âåêòîðíûì ïîëåì â ñëó÷àåãàìèëüòîíèàíà âèäà f (z, w) = z 2 + (w − w1 ) .