Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 5

Åñòåñòâåííîñòü ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ïîêàçûâàåò ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå 1.1.5.Çàìå÷àíèå 1.1.5.Äëÿ çàäàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà P 6= ∅ è ïî÷òè âñåõ ìíî-ãî÷ëåíîâ f , òàêèõ ÷òî Pf = P, âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:1) íóëåâîé ñëîé T0 = {(z, w) ∈ C2 | f (z, w) = 0} ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì (ñì.òåîðåìó 6);2) ìíîãî÷ëåí f (z, w) ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà Pf (ñì. [30, Ÿ2.2, òåîðåìà]);3) ìíîãî÷ëåí f (z, w) ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì.Ïðèìåð 1.1.6. òàáëèöå íèæå äëÿ êàæäîãî èç âûïèñàííûõ ìíîãî÷ëåíîâóêàçàíî, âûïîëíåíû ëè äëÿ íåãî ñâîéñòâà íåîñîáîñòè íóëåâîãî ñëîÿ, íåâûðîæäåííîñòè îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà è íåïðèâîäèìîñòè.27Ìíîãî÷ëåíÍåîñîáîñòü T0 Íåâûðîæäåííîñòü Íåïðèâîäèìîñòüz+++z 2 + w3−++z 2 + w2 + 2zw + w+−+z 3 + (w + 1)2−−+(z + 1)(z + 2)++−zw−+−(z 2 + w2 + 1)(z 2 + w2 + 2) +−−(z + 1)3−−−Çàìå÷àíèå 1.1.7.Êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå 1.1.6, óñëîâèÿ íåîñîáîñòè ñëîÿTξ ìíîãî÷ëåíà f , íåâûðîæäåííîñòè ìíîãî÷ëåíà f − ξ îòíîñèòåëüíî ñâîåãîìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà Pf −ξ , íåïðèâîäèìîñòè ìíîãî÷ëåíà f − ξ ÿâëÿþòñÿíåçàâèñèìûìè, ãäå ξ ∈ C.Òåîðåìà 6C2 → C(Êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà îñîáûõ çíà÷åíèé [28], [40]).Ïóñòüf : êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí äâóõ êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ, îòëè÷-íûé îò êîíñòàíòû.

Òîãäà ìíîæåñòâîò.å. èìååò âèäΣf = {ξi }Ni=1 ,Äîêàçàòåëüñòâî.ãäåΣf ⊂ Cîñîáûõ çíà÷åíèé êîíå÷íî,ξi ∈ C, i = 1, . . . , N .Ðàññìîòèì â C3 ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå X = {(z, w, ξ) ∈C3 | f (z, w) = ξ} ⊂ C3 è ðåãóëÿðíîå îòîáðàæåíèå Prξ : C3 → C, (z, w, ξ) 7→ ξ .Ðåãóëÿðíîñòü îòîáðàæåíèÿ Prξ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî, â ÷àñòíîñòè,∂Prξ (z,w,ξ)∂ξ=1. Îáðàçîì îòîáðàæåíèÿ F := Prξ |X ÿâëÿåòñÿ F (X) = C, ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí f (z, w) îòëè÷åí îò êîíñòàíòû. Ïî óñèëåííîé òåîðåìå Áåðòèíè (äëÿñõåì) îòñþäà ñëåäóåò (ñì. [28, Ãë.III, ñëåäñòâèå 10.7]), ÷òî ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ïî Çàðèññêîìó íåïóñòîå ìíîæåñòâî U ⊂ C òàêîå, ÷òî F |F −1 (U ) :28F −1 (U ) → U ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ìîðôèçìîì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñõåì â ñìûñëå [28, Ãë.III, Ÿ10, îïðåäåëåíèå].

Ïî òåîðåìå [28, Ãë.III, òåîðåìà 10.2] ñõåìàXξ := Spec(C[z, w]/(f − ξ)) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé äëÿ ëþáîãî ξ ∈ U , ò.å., â÷àñòíîñòè, îíà ðåãóëÿðíà â ñëåäóþùåì ñìûñëå: äëÿ ëþáîé òî÷êè (z, w) ∈ C2 ,òàêîé ÷òî (z, w, ξ) ∈ X , ëîêàëüíîå êîëüöî äàííîé ñõåìû â òî÷êå (z, w, ξ) ðåãóëÿðíî â ñìûñëå [28, Ãë.I, Ÿ5, îïðåäåëåíèå]. Ïîêàæåì, ÷òî îòñþäà ñëåäóåò,∂f÷òî ( ∂f∂z (z, w), ∂w (z, w)) 6= (0, 0), ò.å. ξ ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì çíà÷åíèåì ôóíê-öèè f . Äåéñòâèòåëüíî, èç òåîðåìû (ñì. [40, òåîðåìà 36, ñ.121] èëè [28, Ãë.1,óïðàæíåíèå 5.13]) î òîì, ÷òî ëîêàëüíîå ðåãóëÿðíîå êîëüöî íå èìååò äåëèòåëåéíóëÿ ñëåäóåò, ÷òî f (z, w) − ξ ýòî ïðîèçâåäåíèå íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ∂fPi (z, w) áåç îáùèõ íóëåé, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî ( ∂f∂z (z, w), ∂w (z, w)) 6= (0, 0)ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå àíàëîãè÷íûõ íåðàâåíñòâ äëÿ êàæäîãî íåïðèâîäèìîãîñîìíîæèòåëÿ Pi (z, w).

À äëÿ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà P (z, w) òðåáóåìîåíåðàâåíñòâî äîêàçàíî â [28, Ãë.I, òåîðåìà 5.1]. Âñÿêîå îòêðûòîå ïî Çàðèññêîìó íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî U ⊂ C èìååò âèä U = C \ {ξi }Ni=1 , îòêóäà îáðàç Σfìíîæåñòâà îñîáûõ òî÷åê ñîäåðæèòñÿ â {ξi }Ni=1 , ò.å. êîíå÷åí.1.21.2.1Îáçîð èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ ïî òîïîëîãèè ñëîåâÄîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñâÿçíîñòè ñëîÿÑëåäóþùèå äâå òåîðåìû 7 è 8 óñòàíàâëèâàþò ñâÿçíîñòü íóëåâîãî ñëîÿìíîãî÷ëåíà, ÿâëÿþùåãîñÿ ëèáî íåïðèâîäèìûì, ëèáî íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, èìåþùåãî ðàçìåðíîñòü 2.Òåîðåìà 7(Ñâÿçíîñòü ñëîåâ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà [28, Ãë.I]).29Ïóñòüìíîãî÷ëåíf = f (z, w)Äîêàçàòåëüñòâî.íåïðèâîäèì.

Òîãäà íóëåâîé ñëîéT0 = f −1 (0)ñâÿçåí.Ñîãëàñíî [28, Ãë.I, ñëåäñòâèå 1.4] ñëîé T0 íåïðèâîäèì òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà èäåàë, ïîðîæäåííûé ìíîãî÷ëåíîì f , ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì.Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ìíîãî÷ëåí f ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Íåïðèâîäèìîñòü ñëîÿ T0 îçíà÷àåò (ñì. [28, Ãë.I, îïðåäåëåíèå ⠟1,ñòð. 18]), ÷òî íå ñóùåñòâóåò Y1 , Y2 ⊂ T0 ñîáñòâåííûõ çàìêíóòûõ (â ñìûñëåòîïîëîãèè Çàðèññêîãî) â T0 ïîäìíîæåñòâ, òàêèõ ÷òî T0 = Y1SY2 , ÷òî âëå÷åòñâÿçíîñòü T0 .Òåîðåìà 8ìíîãî÷ëåíÍüþòîíà(Ñâÿçíîñòü ñëîåâ íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíà [29, Ÿ2.1]).f = f (z, w)Pf ,({0} × C))èíåâûðîæäåí îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêàdim(Pf ) = 2.íóëåâîãî ñëîÿÄîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüÒîãäà ïîäìíîæåñòâîT0 = f −1 (0)T̂0 := T0 \ ((C × {0}) ∪ñâÿçíî.e çàìûêàíèå ìíîãîîáðàçèÿ X := T̂0 â äîñòàòî÷íîÏóñòü Xïîëíîé ïðîåêòèâíîé òîðè÷åñêîé êîìïàêòèôèêàöèè M ⊃ C2 .

Ñîãëàñíî [29,e ñâÿçíî. Òàê êàê X,e X áèðàöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòíû è èìåþòŸ2.1, òåîðåìà], Xe \X êîíå÷íî. Ïîýòîìó èç ñâÿçíîñòèêîìïëåêñíóþ ðàçìåðíîñòü 1, ìíîæåñòâî Xe ïîëó÷àåì ñâÿçíîñòü X .X1.2.2Òîïîëîãèÿ ñëîÿ íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíàÎïðåäåëåíèå 1.2.1.Ïóñòü M êîìïàêòíîå àíàëèòè÷åñêîå ïðîåêòèâíîåìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè dimC M = n. Àðèôìåòè÷åñêèìãîîáðàçèÿ M íàçûâàåòñÿ àëüòåðíèðîâàííàÿ ñóììàpa (M ) :=nX(−1)k dimC (Ωk (M )),k=030ðîäîìpa (M ) ìíî-ãäå ÷åðåç Ωk (M ) îáîçíà÷åíî ïðîñòðàíñòâî ãîëîìîðôíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõk -ôîðì íà M (ñì. [29, Ÿ1.1]). Äëÿ íåêîìïàêòíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ M 0 àðèôìåòè÷åñêèé ðîä îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé pa (M 0 ) := pa (M ), ãäåM ëþáîå êîìïàêòíîå àíàëèòè÷åñêîå ïðîåêòèâíîå ìíîãîîáðàçèå, áèðàöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòíîå M 0 .Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ áèðàöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòíûõ êîìïàêòíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé M1 , M2 âûïîëíåíî dimC (Ωk (M1 )) = dimC (Ωk (M2 )) èpa (M1 ) = pa (M2 ) (ñì.

[29, Ÿ1.1]). Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå 1.2.1 êîððåêòíî äëÿíåêîìïàêòíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé. Åñëè M1 è M2 áèðàöèîíàëüíîýêâèâàëåíòíû è dimC M1 = 1, òî èìåþòñÿ êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà N1 ⊂ M1è N2 ⊂ M2 , òàêèå ÷òî M1 \ N1 è M2 \ N2 êîìïëåêñíî äèôôåîìîðôíû.Òåîðåìà 9(Íåîñîáîñòü è àðèôìåòè÷åñêèé ðîä ñëîÿ [29, Ÿ1.1, òåîðåìà 1 âŸ1.3, òåîðåìà ⠟2.1, òåîðåìà ⠟4.1]).ÑëîéT0 = f −1 (0),îïðåäåëåííûé íåâû-ðîæäåííûì (îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàíîìf (z, w) 6= constäëÿ ôóíêöèèëåf.Pf )ñ íåíóëåâûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì, ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûìÅãî àðèôìåòè÷åñêèé ðîäpa (T0 ) = 1 − (−1)dim Pf B + (Pf ),ãäåpa (T0 )B + (Pf )âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìó- êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåí-Pf(â òîïî-Pf ).Òî åñòü,íûõ òî÷åê, ëåæàùèõ ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàëîãèè ìèíèìàëüíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîäåðæàùåãîpa (T0 ) = 1 − B + (Pf )Ïðèìåð 1.2.2.ìíîãî÷ëå-ïðèdim Pf = 2,èpa (T0 ) = 1 + B + (Pf )ïðèdim Pf = 1.Äëÿ f (z, w) = z n − 1 ñëîé T0 = f −1 (0) ≈ C × {1, .

. . , n}èìååò àðèôìåòè÷åñêèé ðîä pa (T0 ) = 1 + B + (Pf ) = n â ñèëó òåîðåìû 9.Ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïàêòíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ïðîåêòèâíàÿ êðèâàÿ M ⊃ T0 ,áèãîëîìîðôíî ýêâèâàëåíòíàÿ ñëîþ T0 , ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì n31ýêçåìïëÿðîâ ñôåð Ðèìàíà: M = C × {1, . . . , n}.Ñîãëàñíî [27, Ÿ19.14], åñëè X êîìïàêòíîå ñâÿçíîå 1-ìåðíîå êîìïëåêñíîåìíîãîîáðàçèå (ò.å.ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü),ãîìåîìîðôíàÿ ñôåðå ñ ng ðó÷-êàìè, òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ãîëîìîðôíûõ 1-ôîðì íà íåé ðàâíà ng .Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå òåîðåì 8 è 9.Ñëåäñòâèå 1.2.3(Êîëè÷åñòâî ðó÷åê ó ñëîÿ).Ïóñòü ìíîãî÷ëåííåâûðîæäåí îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàdim Pf −ξ = 2èf (0, 0) 6= ξ .è ãîìåîìîðôåí ñôåðå ñãäåB + (Pf −ξ )Òîãäà ñëîéTξf (z, w) − ξPf −ξ ,ïðè÷åìÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì äëÿ ôóíêöèèfng = B + (Pf −ξ ) ðó÷êàìè è êîíå÷íûì ÷èñëîì ïðîêîëîâ,êàê â òåîðåìå 9.Îïðåäåëåíèå 1.2.4.Âåêòîðíûì ïîëåìêîñîé ãðàäèåíòsgrad C f ∈ Vect(C2 )ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè f : C2 → C îòíîñèòåëüíî ãîëîìîðôíîé 2-ôîðìû ωC =(z,w) ∂f (z,w)dz ∧ dw íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f = (− ∂f∂w, ∂z ), çàäàííîå âêîîðäèíàòàõ (z, w).Îïðåäåëåíèå 1.2.5.(À) Ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ïîïîëíåíèÿ gξ íåîñîáîãî ñëîÿTξ äëÿ ôóíêöèè f íàçîâåì ðèìàíîâó ìåòðèêó gξ = Sym(∆ξ ⊗ ∆ξ ), ãäåìîðôíàÿ 1-ôîðìàãîëî-∆ξ îïðåäåëåíà íà ñëîå Tξ ñîîòíîøåíèåì ∆ξ (sgrad C f |Tξ ) =1.

Îòìåòèì, ÷òî ðèìàíîâà ìåòðèêà gξ ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé, è èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad C f |Tξ è i sgrad C f |Tξ ÿâëÿþòñÿ åå ãåîäåçè÷åñêèìè.(Á) Íà ñëîå Tξ îïðåäåëåíàôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿρξ : Tξ × Tξ → R, ãäåäëÿ ëþáûõ x, y ∈ Tξ , ρξ (x, y) íèæíÿÿ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ, ëåæàùèõâ Tξ è ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè x, y , ðàññòîÿíèå â ñìûñëå ðèìàíîâîé ìåòðèêèïîïîëíåíèÿ gξ .32Òåîðåìà 10(Êîëè÷åñòâî ðó÷åê è ãîëîìîðôíûå 1-ôîðìû íà ñëîå [29, óòâåð-æäåíèå è ïðèìåð ⠟2.2]).Ïóñòü ìíîãî÷ëåíòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàïîäìíîæåñòâîñôåðå ñf (z, w) − ξPf −ξ ,íåâûðîæäåí îòíîñè-ïðè÷åìdim Pf −ξ = 2.ÒîãäàT̂ξ := Tξ \((C×{0})∪({0}×C)) ñëîÿ Tξ = f −1 (ξ) ãîìåîìîðôíîng = B + (Pf −ξ )ðó÷êàìè è êîíå÷íûì ÷èñëîì ïðîêîëîâ, ãäåêàê â òåîðåìå 9.

Áîëåå òîãî, 1-ôîðìû∆0 z l wmíàX,ãäåB + (Pf −ξ )(l, m) ∈ Z2âíóòðåííèå öåëî÷èñëåííûå òî÷êè ìíîãîóãîëüíèêà ÍüþòîíàPf ,îáðàçóþòáàçèñ ïðîñòðàíñòâà ãîëîìîðôíûõ 1-ôîðì íà íåêîòîðîé êîìïàêòíîé ñâÿçíîéàíàëèòè÷åñêîé ïðîåêòèâíîé êðèâîéìíîãîîáðàçèþ1.3e ⊃ T̂ξ ,Xáèãîëîìîðôíî ýêâèâàëåíòíîéT̂ξ .Ïîâåäåíèå ãàìèëüòîíîâà ïîëÿ â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ íà ïîïîëíåííîì ñëîåÎïðåäåëåíèå 1.3.1.(À) Ñêàæåì, ÷òî ìåðîìîðôíîå âåêòîðíîå ïîëå v , îïðå-äåëåííîå íà íåêîòîðîé êîìïëåêñíîé êðèâîé, èìååòòî÷êåïîëþñ ïîðÿäêàk ≥ 0âx, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:dv = h(u)u−k du, ãäå u : U → C ëîêàëüíàÿ êîîðäèíàòà â îêðåñòíîñòè òî÷êèx, h(u) íåêîòîðàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ íà u(U ), òàêèå ÷òî u(x) = 0 èh(0) 6= 0.(Á) Ñêàæåì, ÷òî ãîëîìîðôíàÿ 1-ôîðìà ∆, îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîéêîìïëåêñíîé êðèâîé, èìååòíîëü ïîðÿäêàk ≥ 0â òî÷êåx, åñëè â íåêî-òîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå: ∆ = h(u)uk du, ãäåu : U → C ëîêàëüíàÿ êîîðäèíàòà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x, h(u) íåêîòîðàÿãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ íà u(U ), òàêèå ÷òî u(x) = 0 è h(0) 6= 0.33Èç îïðåäåëåíèÿ 1.3.1 ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ãîëîìîðôíàÿ 1-ôîðìà ∆ íàêîìïëåêñíîé êðèâîé èìååò íîëü ïîðÿäêà k â òî÷êå x, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå: ∆ = uk du äëÿ íåêîòîðîé ëîêàëüíîéêîîðäèíàòû u : U → C â îêðåñòíîñòè òî÷êè x.