Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 7

Òîãäà u11,βΓl ,yˆ1 (ξ1 , u1 ) =1−αΓlu1 1 îãðàíè÷åíî11/βΓl= (ŷ2 + gΓl2 ,n2 )2. Îòñþäàè îòäåëåíî îò íóëÿ (ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëûõ u1 ), ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëóóñëîâèÿ αΓl1 > 0, ïðîòèâîðå÷èå.Äàëåå, ðàññìîòðèì ñòîðîíó Γl . Ïóñòü αΓl 6= 0. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ŷ1 , ŷ2 ∈ C \ {0}, ŷ1 6= ŷ2 , n1 , n2 ∈ N, 1 ≤ n1 < n2 ≤ nΓl1 , òàêèå ÷òîäëÿ ëþáûõ ñêîëü óãîäíî ìàëûõ ε1 , ε2 > 0 ñóùåñòâóþò (ξi , ui ), |ξi − ξ0 | < ε1 ,|ui | < ε2 , i = 1, 2, òàêèå ÷òî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå: Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,yˆ1 (ξ1 , u1 ) =Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,yˆ2 (ξ2 , u2 ). Òîãäà ŷ1 − ŷ2 = gΓl ,n2 (ξ2 , u2 ) − gΓl ,n1 (ξ1 , u1 ), ÷òî íåâîçìîæíî, â ñèëó òîãî, ÷òî ŷ1 6= ŷ2 è gΓl ,n (ξ, u) îãðàíè÷åííàÿ ãîëîìîðôíàÿôóíêöèÿ, ïðè÷åì gΓl,n (ξ, 0) = 0, ïðîòèâîðå÷èå. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿñëó÷àé, êîãäà βΓl 6= 0.Øàã 5.

Äîêàæåì, ÷òî ïðè 0 < ε1 < |a0,0 − ξ0 |/2 ìíîæåñòâîf −1 (Dξ20 ,ε1 ) \[2Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷn Dξ20 ,ε1 × (D0,ε\{0})2Γl ,nîãðàíè÷åíî â C2 . Îáîçíà÷èì X :=SΓl ,n402Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷn (Dξ20 ,ε1 × (D0,ε\ {0})).2Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî f −1 (Dξ20 ,ε1 )\X îãðàíè÷åíî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òîãäàñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zj , wj ) ∈ f −1 (Dξ20 ,ε1 ) \ X , j ∈ N, òàêàÿ ÷òîëèáî zj → ∞, ëèáî wj → ∞. Òîãäà |zj | = eαj , |wj | = eβj , ãäå αj , βj ∈ R èmax{αj , βj } → +∞. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.Ñëó÷àé 1.Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñòîðîíû Γl ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αj , βj ) îòäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè îòâåêòîðà íîðìàëè (αΓl , βΓl ).

Òîãäà |f (zj , wj ) − ξj | = eu0 αj +v0 βj (|ãu0 ,v0 | + o(1))ïðè j → ∞, ãäå ξj := f (zj , wj ), ãu,v := au,v ïðè (u, v) 6= (0, 0), ã0,0 := a0,0 − ξj ,u0 , v0 ∈ Z êîîðäèíàòû âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, íà êîòîðîé çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ αj u0 + βj v0 íàèáîëüøåå (òàêàÿ âåðøèíà â ðàññìàòðèâàåìîìñëó÷àå, áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, íå çàâèñèò îò j ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîìj ).

Ëåâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, à ïðàâàÿ îòëè÷íà îò íóëÿ,ïðîòèâîðå÷èå.Ñëó÷àé 2.Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αj , βj ) ñ òî÷íîñòüþ äî ïðî-ïîðöèîíàëüíîñòè ñòðåìèòñÿ ê âåêòîðó âíåøíåé íîðìàëè (αΓl , βΓl ) íåêîòîðîéñòîðîíû Γl ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà. Âîçìîæíû äâà ïîäñëó÷àÿ.Ïîäñëó÷àé 2à.Äîïóñòèì, ÷òî (αΓl , βΓl ) = (−1, 0). Òîãäà |zj | = e−tj → 0,|wj | = eo(tj ) → +∞, ãäå tj → +∞ ïðè j → ∞, è äëÿ ëþáîãî ìîíîìà |zjp wjq | =etj (−p+o(1)) , p, q ∈ Z.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 0 = f (zj , wj )−ξj = o(1)+f (0, wj )−ξj ,ãäå ξj := f (zj , wj ), ïîýòîìó, ââèäó òîãî, ÷òî |wj | → ∞, èìååì f (0, w) ≡ const,òî åñòü f (z, w) − ξ = zL(z, w) äëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíòû ξ ∈ C è ìíîãî÷ëåíàL = L(z, w), ïðîòèâîðå÷èå ââèäó óñëîâèé (i) è dim Pf −ξ0 = 2.Ïîäñëó÷àé 2á.Òàêèì îáðàçîì, αΓl ≥ 0 è βΓl ≥ 0. Íàïîìíèì, ÷òî öå-ëî÷èñëåííûå òî÷êè ñòîðîíû Γl èìåþò êîîðäèíàòû (u0 − nβΓl , v0 + nαΓl ),41n = 0, 1, . . . , nΓl , ãäå (u0 , v0 ) íà÷àëüíàÿ âåðøèíà ñòîðîíû Γl ⊂ ∂∆f −ξ0 ïîîòíîøåíèþ ê ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) çàìêíóòîé ëîìàíîé ∂∆f −ξ0 ⊂ C.

Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè αΓl 6= 0 (òîãäà αΓl > 0,βΓl ≥ 0 è |zj | → ∞), ðàññìîòðèì (αΓl -çíà÷íîå) îòîáðàæåíèåhΓl : (x, y) 7→ (z, w) = (xαΓl , xβΓl y 1/αΓl )αΓβΓ1/αΓlîáëàñòè (C \ {0}) × C â ñåáÿ. Òîãäà zj = xj l , wj = xj l yjäëÿ íåêîòîðûõxj , yj ∈ C. Èìååì xj → ∞, |yj | = |xj |o(1) , îòêóäà|f (zj , wj ) − fΓl (zj , wj ) − ξj | = O(|xj |u0 αΓl +v0 βΓl −1/2 ),!!nΓlnΓlXXvn /αΓlu0 αΓ +v0 βΓl v0 /αΓlu0 αΓ +v0 βΓlaun ,vn yjn ,aun ,vn yj= xj lyjfΓl (zj , wj ) = xj ln=0n=0ãäå un := u0 − nβΓl , vn := v0 + nαΓl . Ïîýòîìóu0 αΓl +v0 βΓl0 = f (zj , wj ) − ξj = xjv0 /αΓlO(|xj |−1/2 ) + yjnΓlX!aun ,vn yjnn=0ïðè j → ∞. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yj ∈ C ìîæåò ñòðåìèòüñÿ òîëüêî ê áåñêîíå÷íîñòè (ïðè v0 < 0, vnΓl < 0), ê íóëþ (ïðè v0 > 0,vnΓl > 0) è ê êîðíÿì ìíîãî÷ëåíà PΓl (y) :=PnΓln=0 aun ,vn yn. Ïåðâîå íåâîçìîæíî,òàê êàê f (z, w) ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì ìíîãî÷ëåíîì (à íå ìíîãî÷ëåíîì Ëîðàíà),à ïîòîìó v0 ≥ 0 è vnΓl ≥ 0.

Âòîðîå òîæå íåâîçìîæíî, òàê êàê â ïðîòèâíîìñëó÷àå âûïîëíÿëîñü áû |xj | → ∞ è |yj | = |xj |−εj → 0 äëÿ íåêîòîðîãî εj → 0,îòêóäà εj > 0 (íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî j ), è |xj |−1/2 = |yj |1/(2εj ) = o(|yj |v0 /αΓl ),÷òî ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yj ∈ C îãðàíè÷åíà è ìîæåò èìåòü ñâîèìè ïðåäåëüíûìè òî÷êàìè òîëüêî êîðíè ìíîãî÷ëåíàPΓl (y).42Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî limj→∞ yj = ŷn =: ŷ ∈ C èPΓl (y) = (y − ŷ)Q(y), ãäå Q ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè nΓl − 1, òîãäà ŷ 6= 0 â ñèëóóñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè.Îïðåäåëèì ïåðåìåííûå (u, g) = hΓl ,ŷ (x, y) := (x−1 , y − ŷ), òîãäà â ýòèõ ïåðåìåííûõ â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò îòíîøåíèå (f ◦ hΓl − ξ)/xu0 αΓl +v0 βΓlÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöèåé F (ξ, u, g), ñîâïàäàþùåé ñ ââåäåííîé íà øàãå 1.

Òàê êàê (uj , gj ) → (0, 0) (â ñèëó xj → ∞ è yj → ŷ ïî äîêàçàííîìó âûøå),|ξj − ξ0 | < ε1 è F (ξj , uj , gj ) = 0, òî â ñèëó øàãà 1 èìååì gj = gΓl ,n (ξj , uj ), íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî j , ãäå ξj := f (zj , wj ) è gΓl ,n (ξ, u) ôóíêöèÿ èç øàãà 1.Îòñþäà è èç øàãà 2 èìååì−αΓl(zj , wj ) = hΓl ◦ h−1Γl ,ŷ (uj , gj ) = (uj−βΓl, uj(ŷ + gj )1/αΓl )= Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (uj , gj ) = Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξj , uj ).Îòñþäà (zj , wj ) ∈ X , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî j , ïðîòèâîðå÷èå.Ñëåäñòâèå 1.3.4(Óñëîâèå êîìïàêòíîñòè ïîïîëíåííûõ ñëîåâ, òèïû îñîáåííî-ñòåé ïîëÿ sgrad C f |Tξ ).Ïóñòüf (z, w) − ξ0 íåâûðîæäåííûé ìíîãî÷ëåí îò-íîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàâèþ(i),ïðè÷åìdim Pf −ξ0 = 2,ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà âòàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî(À) ìíîãî÷ëåídim Pf −ξ0ñîäåðæàùåãîξ ∈ C, |ξ − ξ0 | ≤ ε,f (z, w) − ξóãîëüíèêà Íüþòîíà(Á) ïðèR2 ,ãäåóäîâëåòâîðÿþùèé óñëî- ðàçìåðíîñòü ìèíèìàëüíîãîPf −ξ0 .Òîãäà ñóùåñòâóåòε>0âûïîëíåíî: íåâûðîæäåí îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãî-dim Pf −ξ , ξng := B + (Pf −ξ ) ≥ 1òåëüíî ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿPf −ξ0 ,gξ íåîñîáîå çíà÷åíèå,ïîïîëíåíèåTξñëîÿdim Pf −ξ = 2;Tξ = f −1 (ξ)îòíîñè-ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíîé ñâÿçíîé ïîâåðõíî-ñòüþ ñ ïëîñêîé ìåòðèêîé è êîíè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè; ýòà ïîâåðõíîñòü43ãîìåîìîðôíà ñëîþðó÷êàìè, ïðè÷åììûõ|Tξ \ Tξ | = nµ ,áåñêîíå÷íî óäàëåííûìè,ng = 0gξe ξ = fe−1 (ξ) (ñì.

ñëåäñòâèå 1.3.2),TïîïîëíåíèåTξè â òî÷êàõ ìíîæåñòâàTξ \ Tξ ,ngíàçûâàå-ìåòðèêà èìååò êîíè÷åñêèå îñîáåííîñòè; ïðèëþáîãî ñëîÿñîâïàäàåò ñ ñàìèì ñëîåìãîìåîìîðôíà ñôåðå ñTξTξîòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿè èçîìåòðè÷íî åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè èëèïëîñêîìó öèëèíäðó;(Â) ðàçëè÷íûì ñòîðîíàì ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êè íàTξ ;êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ áåñêî-íå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê, îòâå÷àþùèõ îäíîé è òîé æå ñòîðîíå ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, ðàâíînΓl ;ïðèng ≥ 1äîé èç ýòèõ òî÷åê âåêòîðíîå ïîëåïîðÿäêà(ñîîòâåòñòâåííîsgrad C f |Tξ(1 − u0 )αΓl + (1 − v0 )βΓl + 1 ≥ 0(u0 − 1)αΓl + (v0 − 1)βΓl − 1 > 0);íåííîì ñëîåTξïðèng = 0)â êàæ-èìååò îñîáåííîñòü ïîëþñ(ñîîòâåòñòâåííî íîëü ïîðÿäêàng ≥ 1ïëîñêàÿ ìåòðèêà íà ïîïîë-èìååò â êàæäîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå êîíè÷åñêóþîñîáåííîñòü ñ ïîëíûì óãëîìÄîêàçàòåëüñòâî.2π((1 − u0 )αΓl + (1 − v0 )βΓl + 2).Ïóíêò (À) ñëåäóåò èç òåîðåìû 6 è òîãî ôàêòà, ÷òî â ñè-ëó óñëîâèÿ (i) ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ0 ñîâïàäàåòñ ìíîãîóãîëüíèêîì Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ .

Ïóíêò (Á) ñëåäóåò èçñëåäñòâèÿ 1.2.3, òåîðåìû 7 è ñëåäñòâèÿ 1.3.2. Ïóíêò (Â) ñëåäóåò èç òåîðåìû 7è ñëåäñòâèÿ 1.3.2.1.4ÏðèìåðûÏðèìåð 1.4.1.Ïóñòü f (z, w) = z 3 + w3 , òîãäà îñîáîå çíà÷åíèå îäíî è ðàâíî0. Äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C \ {0} íåîñîáûé ñëîé Tξ ≈ T2 \ {pξ,1 , pξ,2 , pξ,3 } òîð áåç44òðåõ áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê.

 êàæäîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå pξ,i ,i = 1, 2, 3, âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f èìååò óñòðàíèìóþ îñîáåííîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàâíà (0, 0), îñîáîå çíà÷åíèå ðàâíî 0, ìíîæåñòâîíåîñîáûõ çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ C \ {0}. Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà äëÿ ìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ = z 3 + w3 − ξ , ξ ∈ C \ {0}, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñâåðøèíàìè â òî÷êàõ A1 (3, 0), A2 (0, 3), A3 (0, 0), ñì. ðèñ. 1.3. Ïðîâåðèì, ÷òîìíîãî÷ëåí f (z, w) − ξ , ξ ∈ C \ {0}, ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíîñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó A2 A3 ìíîãîóãîëüíèêàÍüþòîíà ÷åðåç Γ1 , ñòîðîíó A1 A3 ÷åðåç Γ2 , ñòîðîíó A1 A2 ÷åðåç Γ3 .

Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ãðàíÿì Γ1 è Γ2 , ðàâåí PΓ1 (y) = PΓ2 (y) = y 3 − ξ è íå èìååòêðàòíûõ êîðíåé. Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ3 , ðàâåí PΓ3 (y) = y 3 + 1è íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 11 âûïîëíåíû. Êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêàÍüþòîíà ðàâíî ng = 1, êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê íà ñòîðîíå Γ3 ðàâíî2, ïîýòîìó nµ = 3. Ïî òåîðåìå 11 ñëîé Tξ èìååò òðåáóåìûå ñâîéñòâà.Ðèñ. 1.3: Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëå- Ðèñ. 1.4: Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà ìíîãî÷ëåíà f (z, w) = z 3 + w3 − ξÏðèìåð 1.4.2.íà f (z, w) = z p + wq − ξÏóñòü f (z, w) = z p + wq , p, q ∈ N, òîãäà îñîáîå çíà÷åíèå îäíî45è ðàâíî 0.

Äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C \ {0} íåîñîáûé ñëîé Tξ ãîìåîìîðôåí ñôåðåñ ((p − 1)(q − 1) − (gcd(p, q) − 1)) /2 ðó÷êàìè è áåç gcd(p, q) áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê.  êàæäîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå pξ,i , i = 1, . . . , gcd(p, q),âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f èìååò îñîáåííîñòü ïîëþñ ïîðÿäêà(p−1)(q−1)−1gcd(p,q)− 1.Äåéñòâèòåëüíî, êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàâíà (0, 0), îñîáîå çíà÷åíèå ðàâíî 0, ìíîæåñòâî íåîñîáûõ çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ C \ {0}. Ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà äëÿìíîãî÷ëåíà f (z, w) − ξ = z p + wq − ξ , ξ ∈ C \ {0}, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîìñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A1 (p, 0), A2 (0, q), A3 (0, 0), ñì. ðèñ 1.4.

Ïðîâåðèì, ÷òîìíîãî÷ëåí f (z, w) − ξ , ξ ∈ C \ {0}, ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì îòíîñèòåëüíîñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó A2 A3 ìíîãîóãîëüíèêàÍüþòîíà ÷åðåç Γ1 , ñòîðîíó A1 A3 ÷åðåç Γ2 , ñòîðîíó A1 A2 ÷åðåç Γ3 . Ìíîãî÷ëåí,îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ1 , ðàâåí PΓ1 (y) = y p − ξ è íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ2 , ðàâåí PΓ2 (y) = y q −ξ è íå èìååò êðàòíûõêîðíåé.

Ìíîãî÷ëåí, îòâå÷àþùèé ñòîðîíå Γ3 , ðàâåí PΓ3 (y) = y gcd(p,q) + 1 è íåèìååò êðàòíûõ êîðíåé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 11 âûïîëíåíû.Êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíàðàâíî ng = ((p − 1)(q − 1) − (gcd(p, q) − 1))/2, êîëè÷åñòâî öåëî÷èñëåííûõ òî÷åê íà ñòîðîíå Γ3 ðàâíî gcd(p, q) − 1, ïîýòîìó nµ = gcd(p, q). Ïî òåîðåìå 11ñëîé Tξ èìååò òðåáóåìûå ñâîéñòâà.Ïðèìåð 1.4.3.Ïóñòü f (z, w) = z 2 + Pn (w), ãäå Pn (w) ìíîãî÷ëåí îäíîéïåðåìåííîé ñòåïåíè n, Pn (w) =nPak wk , a0 .