Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 6

Ïîëþñ ïîðÿäêà k = 0 ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáåííîñòüþ âåêòîðíîãî ïîëÿ. Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèèâåêòîðíîãî ïîëÿ v , èìåþùåãî ïîëþñ ïîðÿäêà 2, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.2.Ðèñ. 1.2: Ïîëþñ ïîðÿäêà 2Ïóñòü ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà Pf −ξ0 óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:(i) ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà P = Pf −ξ0 ñîäåðæèò âìåñòå ñ êàæäîé ñâîåé òî÷êîé (u, v) ∈ P ïðÿìîóãîëüíèê conv{(0, 0), (u, 0), (0, v), (u, v)} = Pz u wv +z u +wv +1 .Óñëîâèå (i) ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî Pz l +wm +1 ⊆ Pf −ξ0 ⊆ Pz l wm +z l +wm +1 äëÿíåêîòîðûõ íåîòðèöàòåëüíûõ l, m ∈ Z.Îáîçíà÷èì Dz20 ,ε := {z ∈ C | |z − z0 | < ε}, îòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê.Òåîðåìà 11(Íîðìàëèçàöèÿ íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíà è 2-ôîðìû dz ∧dwâ áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ ñëîåâ).Ïóñòüf (z, w) − ξ0 íåâûðîæäåí-íûé ìíîãî÷ëåí îòíîñèòåëüíî ñâîåãî ìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà÷åì ìíîãîóãîëüíèê Íüþòîíà2 (ñì.

îïðåäåëåíèå 1.1.1).Pf −ξ0óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþÒîãäà ñóùåñòâóþò34ε>0èPf −ξ0 ,ïðè-(i) âûøå, è dim Pf −ξ0 =R > 0,òàêèå ÷òî1) äëÿ ëþáîé ñòîðîíûΓlìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà, íå ëåæàùåé íà êî-îðäèíàòíûõ îñÿõ, ñóùåñòâóþò ðîâíî2Dξ20 ,ε × (D0,ε\ {0}) → C2 , 1 ≤ n ≤ nΓl ,2\ {0}),(ξ, u) ∈ Dξ20 ,ε × (D0,εíà ñòîðîíåΓl ,èãîëîìîðôíûõ âëîæåíèéJΓl ,n :òàêèõ ÷òîJΓ∗l ,n (dz ∧ dw) = u(u0 −1)αΓl +(v0 −1)βΓl −1 dξ ∧ du,f ◦ JΓl ,n (ξ, u) = ξ,ξ ∈ Dξ20 ,ε , 1 ≤ n ≤ nΓl ,nΓlnΓl + 1ãäålimu→0 |JΓl ,n (ξ, u)| = ∞ïðè÷åìðàâíîìåðíî ïîðàâíî êîëè÷åñòâó öåëî÷èñëåííûõ òî÷åêΓl , (αΓl , βΓl ) íåñîêðàòèìûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ñòîðîíû(u0 , v0 ) ∈ Γl ëþáàÿ òî÷êà íà2) îáðàçû âñåõ ýòèõnµ =PlΓl ;nΓlâëîæåíèé (îòâå÷àþùèõ îäíîé è òîé æån,ëèáî ðàçíûì ñòîðîíàì ìíîãîóãîëüíèêàñòîðîíå, íî ðàçíûì çíà÷åíèÿìÍüþòîíà) ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, è îáúåäèíåíèå ýòèõ îáðàçîâ ñîäåðæèò4f −1 (Dξ20 ,ε ) \ D0,R(ò.å. äîïîëíåíèå ýòîãî îáúåäèíåíèÿ âà ïîòîìó åãî çàìûêàíèå âC2f −1 (Dξ20 ,ε ) îãðàíè÷åíî,êîìïàêòíî).Ñëåäñòâèå 1.3.2.

Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìûïëåêñíîå 2-ìåðíîå ñâÿçíîå ìíîãîîáðàçèå÷åñêèì àòëàñîì èçnµïðèêëåèâàíèåìùè âëîæåíèé{1, . . . , nµ }ξ ∈ Dξ20 ,ε ,ýêçåìïëÿðîâ ìíîæåñòâàJΓl ,n (ñì. òåîðåìó 11),Tξ = f −1 (ξ)e ξ = fe−1 (ξ)Tòàêîé ÷òîâåêòîðíîå ïîëåÈìååòñÿ êîì-ñ êîìïëåêñíî àíàëèòè-nµ +1 êàðò, ïîëó÷åííîå èç M 4 = Mξ40 ,ε := f −1 (Dξ20 ,ε ) ⊂ C2âf4 ,MÂ1-ôîðìà(ñì. îïðåäåëåíèÿ 1.2.4 è 1.2.5(À))ïðè ïîìî-f4 \ M 4 ≈ D2 × {0} ×Mξ0 ,εpξ,Γl ,n )è çàìûêàíèåeξ ⊂ Mf4Tÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì êîìïàêòíûì ñâÿç-íåêîòîðîé ãîëîìîðôíîé ôóíêöèèfe|M 4 = f .sgrad C f ,2Dξ20 ,ε × D0,ε⊂ C2òàêîå ÷òî(áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êèêàæäîãî ñëîÿíûì ñëîåìf4 = Mf4Mξ0 ,ε11.f4 → C,fe : M2UΓl ,n := JΓl ,n (Dξ20 ,ε × (D0,ε\ {0})) ⊂ M 4∆ξè ðèìàíîâà ìåòðèêà ïîïîëíåíèÿgξèìåþò ñëåäóþùèé âèä â êîîðäèíàòàõ352\ {0})(ξ, u) ∈ Dξ20 ,ε × (D0,εèç òåîðåìû11:sgrad C f |UΓl ,n = u(1−u0 )αΓl +(1−v0 )βΓl +1∆ξ |UΓl ,n = u(u0 −1)αΓl +(v0 −1)βΓl −1 du,gξ |UΓl ,n = (uu)(u0 −1)αΓl +(v0 −1)βΓl −1 du du,Ïðè ýòîì(u0 − 1)αΓl + (v0 − 1)βΓl − 1 ≥ 0ìíîãîóãîëüíèê ÍüþòîíàPf −ξ0ξ ∈ Dξ20 ,ε ,ξ ∈ Dξ20 ,ε .òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó âíóòðåííþþ òî÷êóñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè (ò.å.

êîãäàÇàìå÷àíèå 1.3.3.∂,∂ue ξ 6≈ S 2 ).T0Ïðè |ξ −ξ0 | < ε âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f |Te ξ íà êîìïàêòíîée ξ = fe−1 (ξ) èìååò ðîâíî nµ îñîáûõ òî÷åê, èíäåêñûñâÿçíîé ïîâåðõíîñòè Têîòîðûõ ðàâíû (1 − u0 )αΓl + (1 − v0 )βΓl + 1, ñì. ñëåäñòâèå 1.3.2. Ïîýòîìóñóììà èíäåêñîâ ðàâíà nµ − 2S(Pf −ξ ), ãäå S(Pf −ξ ) ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêàeξconv{(1, 1)}∪(∪l Γl ).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ñëåäñòâèþ 1.2.3 ðîä ïîâåðõíîñòè T(ò.å. êîëè÷åñòâî ðó÷åê) ðàâåí ng = B + (Pf −ξ ). Òàê êàê ñóììà èíäåêñîâ îñîáûõòî÷åê âåêòîðíîãî ïîëÿ ðàâíà 2 − 2ng , ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî nµ − 2S(Pf −ξ ) =2 − 2B + (Pf −ξ ), ðàâíîñèëüíîå èçâåñòíîé òåîðåìå Ïèêà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 11.Ñíà÷àëà îòìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (i) âû-ïîëíåíî αΓl ≥ 0 è βΓl ≥ 0, ïðè÷åì ïî êðàéíåé ìåðå îäíî íåðàâåíñòâî ñòðîãîå.Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè (u0 , v0 ) íà÷àëüíàÿ âåðøèíà ñòîðîíû Γl ⊂ ∂∆f −ξ0ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæèòåëüíîé îðèåíòàöèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) çàìêíóòîé ëîìàíîé ∂∆f −ξ0 ⊂ C.

Òîãäà öåëî÷èñëåííûå òî÷êè ñòîðîíû Γl èìåþòêîîðäèíàòû (un , vn ) := (u0 − nβΓl , v0 + nαΓl ), n = 0, 1, . . . , nΓl . Äàëåå, ðàññìîòðèì âåêòîð η := (αΓl , βΓl ) âíåøíåé íîðìàëè ñòîðîíû Γl è îòâå÷àþùèé åìó36óñå÷åííûé ìíîãî÷ëåí f (z, w) =ηnΓlPunaun ,vn z wvnu0v0= z w PΓln=0PΓl (y) :=nΓlXaun ,vn y n =n=0nΓlXαw Γlβz Γl, ãäåau0 −nβΓl ,v0 +nαΓl y n .n=0Ïóñòü ŷ1 , . . . , ŷnΓl êîðíè óðàâíåíèÿ PΓl (y) = 0. Çàìåòèì, ÷òî âñå êîðíèóðàâíåíèÿ PΓl (y) = 0 ðàçëè÷íû (òàê êàê f (z, w) íåâûðîæäåííûé ìíîãî÷ëåí) è íå ðàâíû íóëþ (òàê êàê au0 ,v0 6= 0 è aunΓ ,vnΓ = au0 −nΓl βΓl ,v0 +nΓl αΓl 6= 0llâ ñèëó òîãî, ÷òî (u0 , v0 ) è (unΓl , vnΓl ) = (u0 − nΓl βΓl , v0 + nΓl αΓl ) âåðøèíûìíîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà).

Ïîëîæèì ŷ := ŷn , ãäå n = 1, . . . , nΓl .Øàã 1. Ïóñòü αΓl 6= 0. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå22Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ : (D0,ε\ {0}) × D0,ε→ C2 ,23(u, g) 7→ (u−αΓl , u−βΓl (ŷ + g)1/αΓl ),ãäå ε2 , ε3 > 0 íåêîòîðûå ÷èñëà. Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ gn (ξ, u),òàêàÿ ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿgn (ξ, 0) = 0,f ◦ Iε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, gn (ξ, u)) = ξ. ñàìîì äåëå, çíà÷åíèå ëþáîãî ìîíîìà ak,m z k wm ìíîãî÷ëåíà f (z, w) íà ïàðå (z, w) = Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, g) ðàâíî ak,m z k wm = ak,m u−kαΓl −mβΓl (ŷ + g)m/αΓl =ak,m u−αΓl u0 −βΓl v0 uαΓl (u0 −k)+βΓl (v0 −m) (ŷ+g)m/αΓl . Çàìåòèì, ÷òî αΓl (u0 −k)+βΓl (v0 −m) ≥ 0, ïîñêîëüêó (k, m) ∈ Pf −ξ0 , è αΓl (u0 − k) + βΓl (v0 − m) = 0 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà (k, m) ∈ Γl , ïîñêîëüêó (αΓl , βΓl ) âíåøíÿÿ íîðìàëü ê Γl .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f ◦Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, g)−ξ = u−αΓl u0 −βΓl v0 (PΓl (ŷ+g)+. .

. ), ãäåíåâûïèñàííûå ìîíîìû èìåþò ñòåïåíü ïî ïåðåìåííîé u áîëüøå ëèáî ðàâíóþ22åäèíèöå. Ðàññìîòðèì â îáëàñòè C × D0,ε× D0,εãîëîìîðôíóþ ôóíêöèþ23F (ξ, u, g) := (f ◦ Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, g) − ξ)uαΓl u0 +βΓl v0 = PΓl (ŷ + g) + . . .37è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå F (ξ, u, g) = 0. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ξ ïðè u = 0ïîäñòàíîâêà g = 0 äàåò ðåøåíèå, ïîñêîëüêó ŷ êîðåíü óðàâíåíèÿ PΓl (y) = 0,ò.å. F (ξ, 0, 0) = 0. Äàëåå, (∂F/∂g)|(ξ,0,0) = (PΓ0 l (ŷ + g) + . . .

)|(ξ,0,0) = PΓ0 l (ŷ) 6= 0,òàê êàê (â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìíîãî÷ëåíà f − ξ0 îòíîñèòåëüíî ñâîåãîìíîãîãîóãîëüíèêà Íüþòîíà Pf −ξ0 ) ìíîãî÷ëåí PΓl (y) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé. Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóþò ε1 , ε2 , ε3 > 0, òàêèå22÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ gΓl ,n : Dξ20 ,ε1 × D0,ε→ D0,ε⊂ C ñî23ñâîéñòâîìgΓl ,n (ξ, 0) = 0,F (ξ, u, gΓl ,n (ξ, u)) = 0,à, ñòàëî áûòü, Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, gΓl ,n (ξ, u)) ∈ Tξ . Áîëåå òîãî, ñîãëàñíî òåîðåìå îíåÿâíîé ôóíêöèè, ôóíêöèÿ gΓl ,n = gΓl ,n (ξ, u) ÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé.Øàã 2. Äàëåå, ïîëîæèìJε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξ, u) := Iε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (u, gΓl ,n (ξ, u))è âû÷èñëèìJε∗1 ,ε2 ,ε3 ,αΓ ,βΓ ,ŷ (dz ∧ dw) = d(u−αΓl ) ∧ d(u−βΓl (ŷ + gΓl ,n (ξ, u))1/αΓl )ll(ŷ + gΓl ,n (ξ, u))(1−αΓl )/αΓl −βΓ ∂gΓl ,n (ξ, u)u ldξ)= (−αΓl udu) ∧ (αΓl∂ξ∂F (ξ, u, gΓl ,n ) ∂F (ξ, u, gΓl ,n )= (ŷ + gΓl ,n (ξ, u))(1−αΓl )/αΓl u−αΓl −βΓl −1 (−/)dξ ∧ du∂ξ∂g−αΓl −1+ gΓl ,n (ξ, u))(1−αΓl )/αΓldξ ∧ du,PΓ0 l (ŷ + gΓl ,n (ξ, u)) + .

. .αΓl (u0 −1)+βΓl (v0 −1)−1 (ŷ=uãäå íåâûïèñàííûå ìîíîìû, êàê è ïðåæäå, èìåþò ñòåïåíü ïî u áîëüøå ëèáîðàâíóþ åäèíèöå. ÏîýòîìóJε∗1 ,ε2 ,ε3 ,αΓ ,βΓ ,ŷ (dz ∧ dw) = uαΓl (u0 −1)+βΓl (v0 −1)−1 h(ξ, u)dξ ∧ du,ll38ãäå h(ξ, u) ãîëîìîðôíàÿ îòäåëåííàÿ îò íóëÿ ôóíêöèÿ äâóõ êîìïëåêñíûõïåðåìåííûõ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (ξ0 , 0).

Îòñþäà ñóùåñòâóþò ε > 02˜ ũ), ïðè÷åì, ψ : (ξ, u) 7→ (ξ,è çàìåíà êîîðäèíàò ψ : U (ξ0 , 0) → Dξ20 ,ε × D0,εξ˜ = ξ , òàêèå ÷òî(Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ ◦ ψ −1 )∗ (dz ∧ dw) = ũαΓl (u0 −1)+βΓl (v0 −1)−1 dξ ∧ dũ,ãäå U (ξ0 , 0) ⊂ C2 íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè (ξ0 , 0) â C2 .Øàã 3. Äîêàæåì, ÷òî Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ âëîæåíèå. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, òîãäà ñóùåñòâóþò (ξ1 , u1 ) è (ξ2 , u2 ), òàêèå ÷òî (ξ1 , u1 ) 6= (ξ2 , u2 ) è Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξ1 , u1 ) =Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξ2 , u2 ).

Îòñþäà ξ1 = ξ2 , òàê êàê ξ1 = f (Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξ1 , u1 )) =f (Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ (ξ2 , u2 )) = ξ2 , îáîçíà÷èì ξ := ξ1 = ξ2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,−αΓlòàê êàê (u1−βΓl, u1−αΓl(ŷ + gΓl ,n (ξ, u1 ))1/αΓl ) = (u2−βΓl, u2(ŷ + gΓl ,n (ξ, u2 ))1/αΓl ),òî gΓl ,n (ξ, u1 ) = gΓl ,n (ξ, u2 ) è (â ñèëó âçàèìíîé ïðîñòîòû αΓl è βΓl ) u1 = u2 ,ïðîòèâîðå÷èå.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿ Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl ,βΓl ,ŷ , åñëè αΓl = 0 è βΓl 6=0 (êàê ñëåäñòâèå, βΓl = 1). Òåì ñàìûì ïóíêò 1) äîêàçàí.

Äîêàæåì ïóíêò 2).Øàã 4. Äîêàæåì, ÷òî îáðàçû ïîñòðîåííûõ âëîæåíèé ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ÷òî êàæäîå èç íèõ èíúåêòèâíî. Ïóñòü Γl1 6= Γl2 .Ñëó÷àé 1.Ïóñòü αΓli 6= 0, i = 1, 2. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ŷ1 , ŷ2 ∈ C \{0}, n1 , n2 ∈ N, 1 ≤ n1 ≤ nΓl1 , 1 ≤ n2 ≤ nΓl2 , òàêèå ÷òî äëÿ ëþáûõ ñêîëü óãîäíî ìàëûõ ε1 , ε2 > 0 ñóùåñòâóþò (ξi , ui ), |ξi − ξ0 | < ε1 , |ui | < ε2 , i = 1, 2, òàêèå÷òî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå: Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl1,βΓl ,yˆ1 (ξ1 , u1 )1= Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl2,βΓl ,yˆ2 (ξ2 , u2 ).2Òîãäà−αΓlu11−αΓl= u22,−βΓlu111/αΓl(ŷ1 + gΓl1 ,n1 )391−βΓl= u221/αΓl(ŷ2 + gΓl2 ,n2 )2.ÎòñþäàαΓ βΓ −αΓ βΓu2 l1 l2 l2 l1=(ŷ2 +gΓl2,n2 )αΓ /αΓl1l2ŷ1 +gΓl,n1 1αΓl βΓl −αΓl βΓl, à, çíà÷èò, u21221îãðàíè-÷åíî è îòäåëåíî îò íóëÿ (ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëûõ u2 ), ñëåäîâàòåëüíî αΓl1 βΓl2 −αΓl2 βΓl1 = 0, îòêóäà âåêòîðû (αΓl1 , βΓl1 ) è (αΓl2 , βΓl2 ) ïðîïîðöèîíàëüíû, à ïîòîìó ñîâïàäàþò, ïðîòèâîðå÷èå.Ñëó÷àé 2.Ïóñòü αΓl1 6= 0 è αΓl2 = 0 (çàìåòèì, ÷òî îäíîâðåìåííî ðàâåíñòâàíóëþ αΓli = 0, i = 1, 2, íåâîçìîæíû, â ñèëó óñëîâèÿ Γl1 6= Γl2 ).

Äîïóñòèì, ÷òîñóùåñòâóþò ŷ1 , ŷ2 ∈ C\{0}, n1 , n2 ∈ N, 1 ≤ n1 ≤ nΓl1 , 1 ≤ n2 ≤ nΓl2 , òàêèå ÷òîäëÿ ëþáûõ ñêîëü óãîäíî ìàëûõ ε1 , ε2 > 0 ñóùåñòâóþò (ξi , ui ), |ξi − ξ0 | < ε1 ,|ui | < ε2 , i = 1, 2, òàêèå ÷òî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå: Jε1 ,ε2 ,ε3 ,αΓl−αΓlJε1 ,ε2 ,ε3 ,0,1,yˆ2 (ξ2 , u2 ).