Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 12

Òàê êàê Aξ = a3 = A(1 + o(1)) ïðè R → ∞, ãäå4(bw4 +cw3 +dw2 +ew+k−ξ) 4√√2ρ̃0 . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî min{R1x ,Ry } = O( R1 )A = a 4 b ∈ C \ {0}, òî ρξ < |A|ïðè R → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 20.Ïóíêò 1 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ëåìì 2.5.3è 2.5.4. Äîêàæåì ïóíêòû 2 è 3. Èç ëåìì ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé ñëîé Tξ êîìïàêòåí. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå p : Tξ → C, ãäå p(z, w) = w ðàçâåòâëåííîå äâóëèñòíîå ñîõðàíÿþùåå îðèåíòàöèþ íàêðûòèå. Îñîáûìè çíà÷åíèÿìè(òî åñòü îáðàçàìè òî÷åê â êîòîðûõ p íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ãîìåîìîðôèçìîì) ÿâëÿþòñÿ êîðíè óðàâíåíèÿ bw4 + cw3 + dw2 + ew + k − ξ = 0.

Áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ, òàê êàê èìååò ðîâíîäâà ïðîîáðàçà. Òàê êàê ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà òî÷êà âåòâëåíèÿ, íàêðû78âàþùåå ïðîñòðàíñòâî Tξ ñâÿçíî. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ðèìàíà-Ãóðâèöà èìååìχ(Tξ ) = 2χ(C) − 4 = 0, îòêóäà Tξ ãîìåîìîðôíî òîðó.Ââåäåì êîîðäèíàòó uξ,j íà ñëîå Tξ â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êè pξ,j , j = 1, 2, ñîîòíîøåíèåì: z̃ = (−1)j−1 iu−2 ,ξ,j w̃ = u−1 ,ξ,jãäå uξ,j : Vj →Dr̃20 (ξ)−1 \{0},ãäå Vj ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà(2.5.2)Tξ \h−1ξC×2Dr̃0 (ξ)≈F(D2 \ {∗}) (D2 \ {∗}), òàêàÿ ÷òî pξ,j ∈ V j (ñì.

ëåììó 2.5.3). Ïðîäîëæèìäèôôåîìîðôèçì uξ,j äî ãîìåîìîðôèçìà uξ,j : V j → Dr̃20 (ξ)−1 â áåñêîíå÷íîóäàëåííóþ òî÷êó pξ,j ñîîòíîøåíèåì uξ,j (pξ,j ) = 0, j = 1, 2.Îïðåäåëåíèå 2.5.5.C-ãàìèëüòîíîâûìïîïîëíåíèåìC-ãàìèëüòîíîâîé ñè-ñòåìû H4 (a, b, c, d, e, k), îáîçíà÷àåìûì H 4 (a, b, c, d, e, k), íàçîâåì C-ãàìèëüòîíîâóñèñòåìó (M 4 , ω C , f ), ãäå• ìíîæåñòâî M 4 =STξ := {(ξ, x) | ξ ∈ C, x ∈ Tξ } îáëàäàåò ñòðóêòóðîéξ∈CC-ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, çàäàâàåìîé ñëåäóþùèì íàáîðîì êàðò U ≈V, Uξ0 ,j ≈ Vξ0 ,j , j = 1, 2, ãäå U, Uξ0 ,j ⊂ M 4 , ξ0 ∈ C, è ôóíêöèé ïåðåõîäà:êàðòà U ≈ V := C2 (z, w), ñåìåéñòâî êàðò Uξ0 ,j ≈ Vξ0 ,j := {(ξ, uj ) ∈ C2 ||ξ − ξ0 | < ε, |uj | < ε}, ξ0 ∈ C, j = 1, 2, ãäå ε = ε(ξ0 ) > 0, à ôóíêöèÿïåðåõîäà φξ0 ,j : Vξ00 ,j → V 0 , ãäå V 0 := {(z, w) ∈ C2 | |f (z, w) − ξ0 | <202ε, (z, w) ∈ h−1f (z,w) (Cz̃ × (Cw̃ \ D r̃0 (f (z,w)) ))} è Vξ0 ,j := Vξ0 ,j \ {(ξ, 0) ∈ C ||ξ − ξ0 | < ε}, îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé (2.5.1) è (2.5.2):j−1 −2(ξ, uj ) 7→ (z, w) := h−1iuj , w̃ = u−1j );ξ (z̃ = (−1)• âûïîëíåíî ω C |U = ϕ∗ ωC è f |U = f ◦ ϕ, ãäå ϕ : U → V = C2 êîîðäè79íàòíûé ãîìåîìîðôèçì äëÿ êàðòû U ≈ V .Îòìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ M 4 òî÷êè pξ1 ,j1 6= pξ2 ,j2 ðàçëè÷íû ïðè ξ1 6= ξ2èëè j1 6= j2 .

Äàëåå áóäåì îòîæäåñòâëÿòü C2 = V ñ îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîìU ⊂ M 4 ïîñðåäñòâîì êîîðäèíàòíîãî ãîìåîìîðôèçìà ϕ : U → V .Òåîðåìà 21(Ñóùåñòâîâàíèå C-ãàìèëüòîíîâà ïîïîëíåíèÿ).ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû(C2 , ωC , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k)Äëÿ ëþáîéC-âûïîëíåíû ñëåäóþ-ùèå ñâîéñòâà:1) äëÿ ëþáîãîξ0 ∈ Cèj = 1, 2ôóíêöèÿφξ0 ,j : Vξ00 ,j → V 0èíúåêòèâíà èèìååò âñþäó íåíóëåâîé ÿêîáèàí;2) íà êîìïëåêñíîì ìíîãîîáðàçèèôóíêöèÿ ÃàìèëüòîíàfM 4 C-äèôôåðåíöèàëüíàÿ2-ôîðìàωCèîïðåäåëåíû êîððåêòíî è ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêè-ìè.3) 2-ôîðìàÿâëÿåòñÿωCíåâûðîæäåíà, òî åñòü âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ íàC-ñèìïëåêòè÷åñêîéÒàêèì îáðàçîì, ëþáàÿñòâåííîåM4èñòðóêòóðîé.C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H4 (a, b, c, d, e, k) èìååò åäèí-C-ãàìèëüòîíîâîÒåîðåìà 22. Äëÿ ëþáîéïîïîëíåíèå(M 4 , ω C , f ).C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (C2 , ωC , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k)âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:1) êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèèTξ C-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìûñèñòåìûH 4 (a, b, c, d, e, k)2) âåêòîðíûå ïîëÿâíå òî÷åêf;fñîäåðæàòñÿ âC2è ñîâïàäàþò ñ êðè-â ÷àñòíîñòè, äëÿ ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿH4 (a, b, c, d, e, k)ñëîéTξ C-ãàìèëüòîíîâîéÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì;sgrad C fèi sgrad C fp1 , p2 , p3 ∈ C.80ïîëíû íàM4è íå èìåþò íóëåéÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 21 è 22.Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.5.3, øàã 1, èôîðìóëû (2.5.2) ñëåäóåò, ÷òî ϕξ0 ,j èíúåêòèâíî, è ÷òî â êîîðäèíàòàõ (z̃, w̃) =2∗hξ0 (z, w) â C2z,w \(C×Dr0 (ξ0 ) ) 2-ôîðìà (h−1ξ0 ) ωC = Bξ0 dz̃ ∧dw̃ , ãäå Bξ0 =îïðåäåëåíà â îáëàñòè C × (C \2Dr̃0 (ξ0 ) )1Aξ0 ◦h−1ξ0îïðåäåëåíèÿ (z̃, w̃), Bξ0 (z̃, w̃) 6= 0 è|Bξ0 (z̃, w̃)| îãðàíè÷åí íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (z̃, w̃).Êîîðäèíàòû (z̃, w̃) = hξ0 (z, w) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç (ξ, uj ) ïîñðåäñòâîì îòîáj−1 −2 −1ðàæåíèÿ hξ0 ◦ ϕξ0 ,j : (ξ, uj ) 7→ (z̃, w̃) = hξ0 ◦ h−1iuj , uj ) òàê: ϕξ0 ,j :ξ ((−1)1−4 4j−1 −2 −1iuj , uj ), z̃ = (−1)j−1 iu−2(ξ, uj ) 7→ (z, w) = h−1j , w̃ = (ξ − ξ0 + uj ) ,ξ ((−1)3îòêóäà (hξ0 ◦ ϕξ0 ,j )∗ (dz̃ ∧ dw̃) = (−1)j−1 2i (1 + (ξ − ξ0 )u4j )− 4 dξ ∧ duj è ϕ∗ξ0 ,j ωC =3∗j−1 i4 −4(hξ0 ◦ ϕξ0 ,j )∗ (h−1ξ0 ) ωC = (−1)2 (Bξ0 ◦ hξ0 ◦ ϕξ0 ,j )(1 + (ξ − ξ0 )uj ) dξ ∧ duj .Îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé è âñþäó íåâûðîæäåííîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû lξ0 ,j (ξ, uj )dξ ∧ duj íà Vξ0 ,j = {|ξ − ξ0 | < ε, |uj | < ε},ñîâïàäàþùåé ñ ϕ∗ξ0 ,j ωC íà {|ξ − ξ0 | < ε, 0 < |uj | < ε}, ãäå lξ0 ,j (ξ, uj ) =3(−1)j−1 2i (1+(ξ−ξ0 )u4j )− 4 Bξ0 ◦hξ0 ◦ϕξ0 ,j (ξ, uj )4 −3=i(1+(ξ−ξ )uj ) 4(−1)j−1 2Aξ ◦ϕξ 0,j (ξ,uj)00 îãðàíè-i= (−1)j−1 2√ai √4 b , ñì.÷åííàÿ, âñþäó íåíóëåâàÿ ôóíêöèÿ, lξ0 ,j (ξ, 0) = (−1)j−1 2Aäîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.5.4.

Òàê êàê ÿêîáèàí ôóíêöèè ïåðåõîäà ϕξ0 ,j ðàâåílξ0 ,j (ξ, uj ), îí âñþäó îòëè÷åí îò íóëÿ.2Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà f ◦h−1ξ0 â îáëàñòè {|ξ−ξ0 | < ε, 0 < |uj | < ε} ⊂ C (z̃, w̃)24èìååò âèä f ◦ h−1ξ0 = z̃ + w̃ + ξ0 , f ◦ ϕξ0 ,j = ξ , j = 1, 2, ïîýòîìó â êîîðäèíàòàõ(ξ, uj ) ôóíêöèÿ f èìååò âèä f = ξ , çíà÷èò f êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêîé è íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â M 4 \ C2 .Òåîðåìà 21 è òåîðåìà 22, ïóíêò 1), äîêàçàíû.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f â êîîðäèíàòàõ (ξ, uj ),sgrad C f = (0, lξ0 ,j1(ξ,uj ) )=1∂lξ0 ,j (ξ,uj ) ∂uj ,îòêóäà âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f íå èìååò812íóëåé íà Tξ \ (C × Dr0 ).Âåêòîðíûå ïîëÿ sgrad C f è i sgrad C f ïîëíû íà M 4 , áóäó÷è ãëàäêèìè âåêòîðíûìè ïîëÿìè íà êàæäîì èíâàðèàíòíîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå MC4 :=Tξ ⊂ M 4 , ñîäåðæàùåì âñå îñîáûå ñëîè, ãäå C > 0 ëþáàÿ êîíñòàíòà,S|ξ|≤Cïðåâîñõîäÿùàÿ max{|f (p1 )|, |f (p2 )|, |f (p3 )|}. ñëåäóþùåì ñëåäñòâèè èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ èç ñëåäñòâèÿ 2.4.5.(Êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû).Ñëåäñòâèå 2.5.6ÄëÿC-ãàìèëüòîíîâà ïîïîëíåíèÿ H 4 (a, b, c, d, e, k) ëþáîé C-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû(C2 , ωC , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k)ïîëíû.

Äëÿ ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿωξ ∈ C \ {0}ddfξ∈ Vect(Tξ )èi sgrad C fλ(ξ) ∈ C \ R,fξ = fξ mod (2π, λ(ξ)) : Tξ →íà äâóìåðíûé òîð, òàêèå ÷òîsgrad C f |Tξ = ωξ dfdξ , êîîðäèíàòíîå âåêòîðíîå ïîëå íà ñëîåùåå êîîðäèíàòíîìó äèôôåîìîðôèçìóôèçìsgrad C fñóùåñòâóþò ÷èñëàè êîìïëåêñíûé äèôôåîìîðôèçìT2λ(ξ) = C/(2πZ + λ(ξ)Z)ãäåTξâåêòîðíûå ïîëÿTξ ,îòâå÷àþ-fξ mod (2π, λ(ξ)), òî åñòü äèôôåîìîð-fξ mod (2π, λ(ξ)) âûïðÿìëÿåò èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè íà Tξ . Âåùå-ñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìûH 4 (a, b, c, d, e, k)îïðåäåëåíû (íåîäíîçíà÷íûì îáðàçîì) â ìàëîé îêðåñò-íîñòè ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿ âÄîêàçàòåëüñòâî.M 4.Äîêàçàòåëüñòâî äàííîãî ñëåäñòâèÿ ïîëó÷àåòñÿ äîñëîâíûìïîâòîðåíèåì äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ 2.4.5, ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû 22,ïóíêò 2), òåîðåìû 20, ïóíêò 2), ëåììû 2.1.6, à òàêæå òåîðåì 21 è 20.Àíàëîãè÷íî (2.4.3) è äîêàçàòåëüñòâó ñëåäñòâèé 2.4.5 è 2.5.6, ñòðîÿòñÿ âå-82ùåñòâåííûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë(I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2π) : Ũξ0 → D2 × T2äëÿ ïîïîëíåíèÿ (M 4 , Re ω C , Re f ) ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (C2 , Re ωC , Re f )ñ äîïîëíèòåëüíûì ïåðâûì èíòåãðàëîì Im f , îïðåäåëåííûå â ìàëîé îêðåñòíîñòè Ũξ0 =Tξ ⊂ M 4 ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿ Tξ0 è ïðèíèìàþùèå çíà-S|ξ−ξ0 |<ε̃÷åíèÿ â îáëàñòè D2 × T2 , ãäå D2 ⊂ R2 îáëàñòü, ãîìåîìîðôíàÿ îòêðûòîìóêðóãó, ε̃ = ε̃(ξ0 ) > 0 äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî.

Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ óãîë â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ pξ,1 ∈ Ũξ0 ìîãóò áûòü âûáðàíûðàâíûìè (ϕ1 mod 2π)(pξ,1 ) = (ϕ2 mod 2π)(pξ,1 ) = 0, à â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõòî÷êàõ pξ,2 ∈ Ũξ0 áóäóò èìåòü ñïåöèàëüíûé âèä.Ñëåäñòâèå 2.5.7(Âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ èñõîäíîéñèñòåìû). Âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2πâ îêðåñòíîñòèŨξ0íåîñîáîãî ñëîÿTξ0âM4äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû(M 4 , Re ω C , Re f ) ìîãóò áûòü âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ îãðàíè÷åíèåT2íà CŨξ0 çàäàåò âåùåñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòèñëîÿTξ0äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû(C2 , Re ωC , Re f ),ïðèíèìàþùèå çíà-÷åíèÿ â îáëàñòèD2 × (T2 \ {(0, 0) modd 2π}) \ Γ(dJ) modd 2π ,∂J∂JΓ(dJ) modd 2π := {(I1 , I2 , ∂I(I1 , I2 ) mod 2π, ∂I(I1 , I2 ) mod 2π) | (I1 , I2 ) ∈ D2 },12TJ : D2 → R íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ ÷òî Γ(dJ) modd 2π (D2 ×ãäå{(0, 0) modd 2π}) = ∅.ëûRe fèIm fÏðè ýòîì â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè ïåðâûå èíòåãðà-ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ïåðåìåííûõ äåéñòâèå83I1 , I2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Íàïîìíèì, ÷òî ïåðåìåííûå äåéñòâèå â Ũξ0 ìîæíî îïðåäå-ëèòü ïî ôîðìóëàì Ij (Tξ ) =12πRα, |ξ − ξ0 | < ε̃, ãäå α 1-ôîðìà íà Ũξ0sξ,jòàêàÿ, ÷òî dα = Re ω C , sξ,j áàçèñíûå öèêëû íà òîðå Tξ , j = 1, 2.