Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 15

PDF-файл Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 15 Физико-математические науки (33010): Диссертация - Аспирантура и докторантураИнтегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2: Физико-математические науки - PDF, страница 15 (33010) - СтудИзба2019-03-142019-03-14СтудИзба

Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2649

Описание файла

PDF-файл из архива "Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 15 страницы из PDF

. . , an , êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò îáå âåðøèíû, ãîìåîìîðôíûé ãðàôóK2,n è íàçûâàåìûéèñ÷åçàþùèì ãðàôîì äëÿ ôóíêöèègn . Ïðè n = 2 èñ÷å-çàþùèé ãðàô ãîìåîìîðôåí îêðóæíîñòè è íàçûâàåòñÿèñ÷åçàþùåé îêðóæ-íîñòüþ.Îñòàâøååñÿ ñîîòíîøåíèå ∼2 â (3.2.2) îòîæäåñòâëÿåò äðóã ñ äðóãîìñëîè âèäà ({(0, ϕ mod 2π)} × S 1 × ([−1, 0− ] t [0+ , 1]))/ ∼1 , ϕ mod 2π ∈ S 1(îñîáûé ñëîé). Èç ñîîòíîøåíèé â (3.2.2) ñëåäóåò, ÷òî íà îñîáîì ñëîå èñ÷åçàþùèé ãðàô ñêëåèâàåòñÿ â òî÷êó (ïåðåòÿæêà íà îñîáîì ñëîå).

Òàêèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî èñ÷åçàþùèõ ãðàôîâ (èñ÷åçàþùèõ îêðóæíîñòåé ïðè n = 2) íàíåîñîáûõ ñëîÿõ ñòðåìèòñÿ ê îñîáîé òî÷êå (èñ÷åçàåò) ïðè ñòðåìëåíèè ñëîÿ êîñîáîìó.(Á) Èç (À) è äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 3.2.1 ñëåäóåò, ÷òî èñ÷åçàþùèé2ãðàô αξ íà íåîñîáîì ñëîå Tξ = gn−1 (ξ), ξ ∈ Dξ0 ,ε \ {ξ0 }, èìååò âèä αξ =n−1S(Prw |Tξ )−1 (γ0,wi,ξ ), ãäå Prw : (z, w) 7→ w, wi,ξ êîðíè óðàâíåíèÿ wn = ξ−ξ0 ,i=00 ≤ i < n, ÷åðåç γa,b îáîçíà÷åí ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê íà C ñ êîíöàìèa, b ∈ C.Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 3.2.1.4Øàã 1.

Ôóíêöèÿ q : Mε,n→ C îïðåäå-ëåíà êîððåêòíî, òàê êàê ïðè 0 ≤ k < nq(r, ϕ mod 2π,ϕ ± t + 2πkmod 2π, 0∓ ) = reiϕ +ξ0 , q(0, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) = ξ0 .nØàã 2. Äëÿ ëþáûõ n ∈ N, n ≥ 2, ϕ0 ∈ R, 0 ≤ a < b ðàññìîòðèì â97ïëîñêîñòè C ïîäìíîæåñòâàAn,ϕ0 ,a,b,± := {w = reiϕ ∈ C | a ≤ r ≤ b, 0 ≤ ±(ϕ−ϕ0 ) ≤π}, Bn,ϕ0 ,b,± := An,ϕ0 ,0,b,± .nÂâåäåì âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû (u = un,ϕ0 ,± , v = vn,ϕ0 ,± ) íà Bn,ϕ0 ,b,± ñîîòπíîøåíèåì uei(ϕ0 ± n ) + veiϕ0 = w, ãäå 0 ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ dn,b (u), dn,b (u) :=−u cosπn+qb2 − u2 sin2 ( πn ). Ïîäìíîæåñòâî An,ϕ0 ,a,b,± ⊂ Bn,ϕ0 ,b,± â êîîðäèíàòàõ(u, v) çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè dn,a (u) ≤ v ≤ dn,b (u) è 0 ≤ u ≤ b.

Îïðåäåëèìãîìåîìîðôèçì αn,ϕ0 ,a,b,± : Bn,ϕ0 ,b,± → An,ϕ0 ,a,b,± â êîîðäèíàòàõ (u, v) ôîðìóëîé (u, v),u ≥ a,αn,ϕ0 ,a,b,± (u, v) = (u, d (u) + v dn,b (u)−dn,a (u) ), u ≤ a.n,adn,b (u)Îòîáðàæåíèå αn,ϕ0 ,a,b,± êîððåêòíî îïðåäåëåíî è íåïðåðûâíî, òàê êàê ïðè u =ìíîæåñòâà An,ϕ0 ,a,bdn,b (u)−dn,a (u))dn,b (u)= (u, v) â ñèëó dn,a (a) = 0. ÂâåäåìSS:= An,ϕ0 ,a,b,+ An,ϕ0 ,a,b,− , Bn,ϕ0 ,b := Bn,ϕ0 ,b,+ Bn,ϕ0 ,b,− , èa âûïîëíåíî (u, dn,a (u) + vãîìåîìîðôèçì αn,ϕ0 ,a,b : Bn,ϕ0 ,b → An,ϕ0 ,a,b , ïîëàãàÿ αn,ϕ0 ,a,b (w) := αn,ϕ0 ,a,b,± (w)ïðè w ∈ Bn,ϕ0 ,b,± .44Øàã 3. Ïðè ÷åòíîì n îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå h1 : V ε,n → Mε,nôîðìóëîé|α(w)|−r1/nr, ϕ, −η arg α(w), η (2ε)1/n −r1/n , r ≥ 0, wn e−iϕ 6∈ [0, r],h1 (z, w) :=(r, ϕ, −η arg α(w), 0η ) ,r > 0, wn e−iϕ ∈ [0, r], (0, 0, 0, 0 ) ,z = w = 0,−4ãäå âòîðàÿ è òðåòüÿ êîîðäèíàòû òî÷êè h1 (z, w) ∈ Mε,nðàññìàòðèâàþòñÿ ïîìîäóëþ 2π , z 2 + wn = reiϕ , r ∈ [0, ε], 0 ≤ ϕ < 2π , ϕ := 0 ïðè r = 0,z),sgn (Im wn/2 − sgn ( z ),wn/2η = η(z, w) :=−, − sgn ( z ),eiϕ/298r ≥ 0, wn e−iϕ 6∈ [0, r],r > 0, wn e−iϕ ∈ (0, r),r ≥ 0, wn = reiϕ , z = 0,r > 0, w = 0,α(w) = αr,ϕ,l (w) := αn, ϕ+π+2πl ,r1/n ,(2ε)1/n (w), ÷èñëî l = l(r, ϕ, w) ∈ Z ∩ [0, n − 1]nîïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè l(r, ϕ, 0) := 0, arg w ∈ [ ϕ+2πln ,ϕ+2π(l+1))nïðè w 6= 0.Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ çíàêà η(z, w) = ±.

Â ïåðâûõ äâóõñëó÷àÿõ èìååì w 6= 0, ïîëîæèì λ = λ(z, w) :=z,wn/2îòêóäà reiϕ = z 2 + wn =(λ2 + 1)wn . Ïîýòîìó â ïåðâîì ñëó÷àå λ2 6∈ [0, +∞), îòêóäà λ 6∈ R, à âî âòîðîìñëó÷àå λ2 > 0, ïîýòîìó λ ∈ R \ {0}. Â ÷åòâåðòîì ñëó÷àå èç w = 0 èìååìz = ±r1/2 eiϕ/2 , ïîýòîìózeiϕ/2= ±r1/2 ∈ R \ {0}. Çíà÷èò, η(z, w) è h1 (z, w)îïðåäåëåíû êîððåêòíî.Îòìåòèì, ÷òî âî âòîðîì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ η(z, w) âûïîëíåíî2nλ2 + 1, λ ∈ R \ {0}, îòêóäà d z w+w= 2λdλ, è Im(dλ(z, w)) =n12λz 2 +wnwn2=nIm(d z w+wn ).Øàã 4. Ïðîâåðèì, ÷òî îòîáðàæåíèå h1 íåïðåðûâíî â êàæäîé òî÷êå (ẑ, ŵ) ∈4V ε,n .

Ïóñòü r̂, ϕ̂, ˆl, η̂ := η(ẑ, ŵ), α̂ := αr̂,ϕ̂,ˆl (ŵ) è r, ϕ, l, η = η(z, w), α :=αr,ϕ,l (w) ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ (ẑ, ŵ) è (z, w). Îáîçíà÷èì÷åðåç ˜l ∈ Z òàêîå ÷èñëî, ÷òî |ϕ + 2π˜l − ϕ̂ − 2πˆl| < π (åñëè ϕ 6∈ ϕ̂ + π + 2πZ).44Îáîçíà÷èì ÷åðåç V ε,n (ẑ, ŵ) ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (z, w) ∈ V ε,n , äëÿ êîòîðûõl := l(r, ϕ, w) = ˜l è çíà÷åíèÿ h1 (z, w) è η := η(z, w) âû÷èñëÿþòñÿ ïî òåì æå4ôîðìóëàì, ÷òî h1 (ẑ, ŵ) è η̂ .

Òîãäà h1 (z, w) → h1 (ẑ, ŵ) ïðè (z, w) ∈ V ε,n (ẑ, ŵ)4è (z, w) → (ẑ, ŵ). Ïóñòü äàëåå òî÷êà (z, w) ∈ V ε,n äîñòàòî÷íî áëèçêà ê (ẑ, ŵ).Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ òî÷êè (ẑ, ŵ).À. Äîïîëíåíèå ê èñ÷åçàþùåìó ãðàôó â íåîñîáîì ñëîå.Ïóñòü r̂ > 0, ŵn e−iϕ̂ 6∈[0, r̂]. Òîãäà çíà÷åíèÿ h1 (z, w) è η = η(z, w) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ñâîèì ïåðâûìôîðìóëàì, îòêóäà η = η̂ . Åñëè arg ŵ >4ϕ̂+2πˆln ,òî l = ˜l, îòêóäà (z, w) ∈V ε,n (ẑ, ŵ) è âñå äîêàçàíî (ñì. âûøå).

Åñëè arg ŵ =ϕ̂+2πˆln ,òî αr̂,ϕ̂,ˆl (ŵ) = ŵè αr,ϕ,l (w) = w äëÿ ëþáîé òî÷êè (z, w) èç ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (ẑ, ŵ)99(íåçàâèñèìî îò ϕ, l), â ñèëó ïîñòðîåíèÿ ãîìåîìîðôèçìà αn,ϕ0 ,a,b íà øàãå 2.Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå h1 (z, w) íåïðåðûâíî â äàííîé îêðåñòíîñòè.Á.

Äîïîëíåíèå ê èñ÷åçàþùåìó ãðàôó â îñîáîì ñëîå.Ïóñòü r̂ = 0, ŵ 6= 0.Òîãäà αr,ϕ,l (w) → α0,ϕ,l (ŵ) = ŵ = α̂ ïðè (z, w) → (ẑ, ŵ) (íåçàâèñèìî îò ϕ, l). Âìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (ẑ, ŵ) çíà÷åíèÿ h1 (z, w) è η = η(z, w) âû÷èñëÿþòñÿïî ïåðâûì ôîðìóëàì, ïîýòîìó η = η̂ è h1 (z, w) → h1 (ẑ, ŵ) ïðè (z, w) →(ẑ, ŵ).Â. Îòêðûòîå ðåáðîaˆl+1èñ÷åçàþùåãî ãðàôà íà íåîñîáîì ñëîå.Ïóñòü r̂ >0, ŵn e−iϕ̂ ∈ (0, r̂]. Òîãäà çíà÷åíèå h1 (ẑ, ŵ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî âòîðîé ôîðìóëå,à çíà÷åíèå η̂ = η(ẑ, ŵ) ïî âòîðîé èëè òðåòüåé ôîðìóëå.

Èìååì ŵ 6= 0,arg ŵ =ϕ̂+2πˆln ,|α̂| = r̂1/n , arg α̂ =ϕ̂+2πˆl+t̂näëÿ íåêîòîðîãî t̂ ∈ [0, π).4Åñëè ẑ 6= 0 è (z, w) 6∈ V ε,n (ẑ, ŵ), òî wn e−iϕ 6∈ [0, r] è êàæäîå çíà÷åíèåh1 (ẑ, ŵ) è η(ẑ, ŵ) (ñîîòâåòñòâåííî h1 (z, w) è η(z, w)) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñâîåéâòîðîé (ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé) ôîðìóëå, ïðè÷åì âûïîëíåíî ëèáî arg w ∈˜l ϕ+2π(˜l+1)˜l, ëèáî arg w ∈ ( ϕ+2π(˜l−1) , ϕ+2π˜l ) è l = ˜l − 1. Â ïåðâîì( ϕ+2π,)èl=nnnnñëó÷àå ïðè (z, w) → (ẑ, ŵ) èìååì, âî-ïåðâûõ, αr,ϕ,l (w) → αr̂,ϕ̂,ˆl (ŵ) = α̂, îòêóäà|αr,ϕ,l (w)| → |α̂| = r̂1/n è arg αr,ϕ,l (w) → arg α̂ =ϕ̂+2πˆl+t̂,nà, âî-âòîðûõ, çíà÷å-z) = sgn (Im λ(z, w)) (âû÷èñëåííîå ïî ïåðâîéíèå η := η(z, w) = sgn (Im wn/2ôîðìóëå) â ñèëó λ̂ ∈ R \ {0} è ôîðìóëû äëÿ Im(dλ(ẑ, ŵ)), ñì.

øàã 3, ðàâíî2nçíà÷åíèþ sgn (λ̂ Im z w+wn ) = − sgn λ̂ = η̂ (âû÷èñëåííîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå).Ïîýòîìó çíà÷åíèå h1 (z, w), âû÷èñëåííîå ïî ïåðâîé ôîðìóëå, ñòðåìèòñÿ ê çíàˆl+t̂÷åíèþ (r̂, ϕ̂, −η̂ ϕ̂+2π, 0η̂ ) = h1 (ẑ, ŵ), âû÷èñëåííîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå. Âînâòîðîì ñëó÷àå ïðè (z, w) → (ẑ, ŵ) èìååì, âî-ïåðâûõ, αr,ϕ,l (w) → αr̂,ϕ̂,ˆl−1 (ŵ),îòêóäà |αr,ϕ,l (w)| → r̂1/n è arg αr,ϕ,l (w) →100ϕ̂+2πˆl−t̂,nè, âî-âòîðûõ, çíà÷åíèåzη(z, w) = sgn (Im wn/2) = sgn (Im λ(z, w)) (âû÷èñëåííîå ïî ïåðâîé ôîðìóëå)â ñèëó λ̂ ∈ R \ {0} è ôîðìóëû äëÿ Im(dλ(ẑ, ŵ)), ñì. øàã 3, ðàâíî çíà÷åíèþ2nsgn (λ̂ Im z w+wn ) = sgn λ̂ = −η̂ (âû÷èñëåííîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå). Ïîýòîìóçíà÷åíèå h1 (z, w) (âû÷èñëåííîå ïî ïåðâîé ôîðìóëå) ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ(r̂, ϕ̂, η̂ϕ̂ + 2πˆl − t̂ϕ̂ + 2πˆl + t̂, 0−η̂ ) ∼1,ˆl (r̂, ϕ̂, −η̂, 0η̂ ) = h1 (ẑ, ŵ)nn(âû÷èñëåííîìó ïî âòîðîé ôîðìóëå).

Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè ñîîòíîøåíèå ∼1,ˆl4â ïðîñòðàíñòâå Mε,n, ñì. (3.2.2).Ïóñòü òåïåðü ẑ = 0 (ñåðåäèíàðåáðàaˆl+1èñ÷åçàþùåãî ãðàôà)è (z, w) 6∈4V ε,n (ẑ, ŵ). Òîãäà çíà÷åíèå η̂ = η(ẑ, ŵ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî òðåòüåé ôîðìóëå âîïðåäåëåíèè η(z, w), ïîýòîìó ëèáî êàæäîå çíà÷åíèå h1 (z, w) è η(z, w) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ñâîåé ïåðâîé ôîðìóëå, ëèáî êàæäîå ïî ñâîåé âòîðîé ôîðìóëå. Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðèâåäåííîìó âûøå, ñ ó÷åòîìòîãî, ÷òî t̂ = 0 (îòêóäà arg αr,ϕ,l (w) →ϕ̂+2πˆln= arg α̂) è ÷òî ïàðà òî÷åêˆl4(r̂, ϕ̂, ∓ ϕ̂+2πn , 0± ) îòîæäåñòâëÿåòñÿ â îäíó òî÷êó â Mε,n ââèäó ñîîòíîøåíèÿ∼1,ˆl ïðè t = 0.Ã. Âåðøèíà èñ÷åçàþùåãî ãðàôà íà íåîñîáîì ñëîå.Ïóñòü r̂ > 0, ŵ = 0.

Òî-ãäà çíà÷åíèå h1 (ẑ, ŵ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî âòîðîé ôîðìóëå, à çíà÷åíèå η̂ = η(ẑ, ŵ) ïî ÷åòâåðòîé ôîðìóëå. Ïîñêîëüêó ˆl = l(r̂, ϕ̂, 0) = 0 è α̂ = αr̂,ϕ̂,0 (0), òî|α̂| = r̂1/n è arg α̂ =ϕ̂+πn ,ẑîòêóäà η̂ = − sgn eiϕ̂/2è h1 (ẑ, ŵ) = (r̂, ϕ̂, −η̂ ϕ̂+πn , 0η̂ ).Åñëè (z, w) → (ẑ, 0), òî èç w → 0 ïîëó÷àåì |αr,ϕ,l (w)| → r̂1/n íåçàâèñèìî îòϕ, l.zÏîêàæåì, ÷òî η = (−1)l−1 sgn (Re eiϕ/2) ïðè (z, w) → (ẑ, 0). Ïðè w = 0 ýòîñëåäóåò èç ÷åòâåðòîé ôîðìóëû äëÿ η(z, w) ââèäó l = 0. Ïðè wn e−iϕ ∈ (0, r)èìååì arg w =ϕ+2πln ,arg(wn/2 ) =ϕ2+ πl, îòêóäà ïî âòîðîé ôîðìóëå äëÿ101iϕ/2zη(z, w) èìååì η = − sgn ( wn/2) = − sgn ( ewn/2 ·íåö ïðè wn e−iϕ 6∈ [0, r] èìååì arg w ∈zz) = (−1)l−1 sgn ( eiϕ/2).

Íàêîeiϕ/2ϕ+2π(l+1)( ϕ+2πl), arg(wn/2 ) ∈ ( ϕ2 +πl, ϕ2 +n ,nz)=π(l + 1)), îòêóäà ïî ïåðâîé ôîðìóëå äëÿ η(z, w) èìååì η = sgn (Im wn/2iϕ/2zzsgn (Im ewn/2 ) · sgn (Re eiϕ/2) = (−1)l−1 sgn (Re eiϕ/2). Çäåñü ìû ïðèìåíèëè ðà-âåíñòâî sgn (Im uv ) = sgn (Im v1 ) · sgn (Re u) ïðè u2 + v 2 = 1, v → 0, v 6∈ R,ïîëîæèâ u :=z,r1/2 eiϕ/2v :=˜wn/2.r1/2 eiϕ/2l−˜l−1z(−1)l−l−1 sgn (Re eiϕ/2+π) = (−1)l̃izÎòñþäà η = (−1)l−1 sgn (Re eiϕ/2) =˜ẑ) = (−1)l−l η̂ ââèäó ϕ + 2π˜l → ϕ̂.sgn ( eiϕ̂/24Äëÿ ëþáîãî l0 ∈ Z ∩ [0, n − 1] îáîçíà÷èì ÷åðåç V ε,n,l0 ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê44(z, w) ∈ V ε,n , äëÿ êîòîðûõ l − ˜l = l0 .

Òîãäà ïðè (z, w) → (ẑ, 0) è (z, w) ∈ V ε,n,l0èìååì η(z, w) = (−1)l0 η̂ =: η0 (ñì. âûøå), è â ñèëó ϕ + 2π ˜l → ϕ̂ âûïîëíåíîarg αr,ϕ,l (w) →ϕ̂ + π + 2πl0,nh1 (z, w) ∈ (0, ε] × S 1 × S 1 × {η0 h | h ∈ [0η0 , 1)},è h1 (z, w) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïåðâîé èëè âòîðîé ôîðìóëå, îòêóäà h1 (z, w) →00(r̂, ϕ̂, −η0 ϕ̂+π+2πl, 0η0 ). Ïîëó÷åííàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà (r̂, ϕ̂, −η0 ϕ̂+π+2πl, 0η 0 ) ∼nn40(r̂, ϕ̂, ϕ̂−η0 π+2πl, 0− ) ∈ Mε,níå çàâèñèò îò l0 è ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé h1 (ẑ, ŵ) =nϕ̂−η̂πl0(r̂, ϕ̂, −η̂ ϕ̂+πn , 0η̂ ) ∼ (r̂, ϕ̂, n , 0− ) â ñèëó η0 = (−1) η̂ è ñîîòíîøåíèé ∼1,k ïðèt = ±π .Ä.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.