Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 18

äëÿ ëþáûõsgrad C f |T0âêîððåêòíî îïðåäåëåííîå ñ òî÷íîñòüþ(z1 , w), (z2 , w) ∈ T0òàêèõ, ÷òî(Prw )∗ (sgrad C f (z1 , w)) = −(Prw )∗ (sgrad C f (z2 , w));116z1 6= z2 ,âåðíî(Á) Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíàíîå ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà âåêòîðíîå ïîëåPNâåùåñòâåííû, òî îïðåäåëåí-±(Prw )∗ (sgrad C f |T0 )íàCwñèì-ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé,ò.å. èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìàÄîêàçàòåëüñòâî.Cw → Cw , w 7→ w.(À)  òî÷êå (z, w) ∈ T0 âûïîëíåíî sgrad C f (z, w) = (−PN0 (w), 2z),ïîýòîìó (Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = 2z∂/∂w. Î÷åâèäíî, ëþáûå äâà ïðîîáðàçà(z1 , w), (z2 , w) ∈ T0 òî÷êè w ∈ Cw ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì z1 = −z2 . ÏîýòîìóPrw |T0 ÿâëÿåòñÿ ðàçâåòâëåííûì äâóëèñòíûì íàêðûòèåì è (Prw )∗ (sgrad C f (z1 , w)) =2z1 ∂/∂w = −2z2 ∂/∂w = −(Prw )∗ (sgrad C f (z2 , w)).(Á) Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå sym : T0 → T0 , çàäàííîå ôîðìóëîé (z, w) 7→(z, w). Îòîáðàæåíèå sym îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó åñëè z 2 +PN (w) =0, òî z 2 + PN (w) = z 2 + PN (w) = 0, ãäå ïåðâîå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî ââèäóòîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà PN (w) âåùåñòâåííû.

Èç ðàâåíñòâ(Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(Prw (w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(w),Sym ◦ Prw = Prw ◦ sym,sym∗ (sgrad C f (z, w)) = (−PN0 (w), 2z) = sgrad C f (sym(z, w))ñëåäóåò, ÷òîSym∗ (((Prw )∗ sgrad C f )(w)) = Sym∗ ((Prw )∗ (sgrad C f (z, w)))= (Prw )∗ (sym∗ (sgrad C f (z, w))) = (Prw )∗ (sgrad C f (sym(z, w)))= (Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(w) = ((Prw )∗ sgrad C f )(Sym(w)).117Ëåììà 4.1.2((íîðìàëèçàöèÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íå÷åòíîé ñòå-ïåíè è 2-ôîðìû dz ∧ dw â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ)).z 2 + P2n+1 (w),P2n+1 (w)ãäåíûìè êîýôôèöèåíòàìè,âëîæåíèå ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèn ∈ N.f ◦ h(ξ, u) = ξ,2n + 1ε > 0Òîãäà ñóùåñòâóþò22h : D0,ε× (D0,ε\ {0}) → C2 ,Ïóñòüf (z, w) =ñ êîìïëåêñ-è ãîëîìîðôíîåòàêèå ÷òîh∗ (dz ∧ dw) = u2n−2 dξ ∧ du,22(ξ, u) ∈ D0,ε× (D0,ε\ {0}),2limu→0 |h(ξ, u)| = ∞ ðàâíîìåðíî ïî ξ ∈ D0,ε, è äîïîëíåíèå222h D0,ε× (D0,ε\ {0}) â Mε4 := f −1 (D0,ε) îãðàíè÷åíî â C2 .

Âïðè÷åììíîæå-ñòâà÷àñòíî-ñòè, èìååòñÿ êîìïëåêñíîå 2-ìåðíîå ñâÿçíîå ìíîãîîáðàçèåàíàëèòè÷åñêèì àòëàñîì èç äâóõ êàðò, ïîëó÷åííîå èçâàíèåì ìíîæåñòâà22D0,ε× D0,ε⊂ C22fε4 \ Mε4 ≈ D0,εM× {0}Äîêàçàòåëüñòâî.h.Ïðè ýòîì2pξ , ξ ∈ D0,ε).ε>02n + 1f (z, w) = z 2 + P2n+1 (w),ãäåP2n+1 (w)ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè,òàêîå, ÷òî ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ëþáîén ∈ N.Tξ = f −1 (ξ)ξ ∈ C, 0 < |ξ| < ε. Áîëåå òîãî, íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ Tξnïðèêëåè-Ñì. ñëåäñòâèå 1.3.4.ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèñôåðå ññ êîìïëåêñíîMε4 ⊂ C2ïðè ïîìîùè âëîæåíèÿ(áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êèÑëåäñòâèå 4.1.3. Ïóñòüñóùåñòâóåòfε4Míåîñîáà ïðèãîìåîìîðôíàðó÷êàìè è îäíèì ïðîêîëîì â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåòîðíîå ïîëåsgrad C f |Tξè ðèìàíîâà ìåòðèêà ïîïîëíåíèÿìàëîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèUξ ⊂ Tξds2ξÒîãäàpξ .Âåê-â äîñòàòî÷íîáåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êèpξèìåþò âèäu̇ = u2−2n ,ãäå2u : Uξ → D0,ε\ {0} ⊂ Cds2ξ = u2n−2 u2n−2 du du, êîîðäèíàòíûé äèôôåîìîðôèçì, òàêîé ÷òî118lim u(g) = 0.g→pξ ÷àñòíîñòè, ïîïîëíåíèåds2ξòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿñnðó÷êàìè.

ÍàTξêâàäðàòè÷íûõ ôîðìds2ξ (pξ ) 6= 04.1.1ïðèTξ = Tξ ∪ {pξ }ñëîÿTξîòíîñè-êîìïàêòíî, ãîìåîìîðôíî ñôåðåèìååòñÿ ãëàäêîå ïîëå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõds2ξ ,òàêîå ÷òîds2ξ |Tξ = ds2ξ , ds2ξ (pξ ) = 0n ≥ 2,ïðèèn = 1.Ïåðèîäè÷íîñòü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé íà íóëåâîì ñëîåÏðåäëîæåíèå 4.1.4. Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+1 (w),ãäåP2n+1 (w) = (w −a1 ) . .

. (w−a2n+1 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n+1, a1 < a2 < . . . < a2n+1 , n ∈ N. Òîãäàâñå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿsgrad C f |T0 ,íå ÿâëÿþùèåñÿñåïàðàòðèñàìè (ò.å. íå âõîäÿùèå â áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êóâûõîäÿùèå èç íåå, ñì. ñëåäñòâèå4.1.3),p0è íåÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè. Áîëååòîãî:(À) èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿïðè ïðîåêöèèPrw |T0 : T0 → C, (z, w) 7→ w,êàê íà ðèñ.

4.1 ïðèïàðàòðèñn = 3;(ñîîòâåòñòâåííîT0íàíûõ âíóòðåííîñòè öèëèíäðàCíà4.1.1(À)),nñåïàðàòðèñâûãëÿäÿò2n − 1ñå-S1 , . . . , Sn ⊂ C,s1 = (Prw |T0 )−1 (S1 ), s2k−2 ∪ s2k−1 = (Prw |T0 )−1 (Sk ), k = 2, . . . , n),êîòîðûå ðàçáèâàþò ñëîéêîñòüñì. ëåììó(è èõ îáðàçûñðåäè ýòèõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ ðîâíîs1 , . . . , s2n−1 ⊂ T0òàêèõ ÷òîsgrad C f |T0nîáëàñòåénñâÿçíûõ êîìïîíåíòS 1 × (0, 1)C1 , .

. . , C n ⊂ C ,(Prw |T0 )−1 (Ck ), k = 1, . . . , n);c1 , . . . , c n ,ãîìåîìîðô-(ñîîòâåòñòâåííî ðàçáèâàþò ïëîñòàêèõ ÷òî[a2k , a2k+1 ] ⊂ Ck , ck =â êàæäîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè119ckòðàåê-òîðèè ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäîìaZ2k+1Tk =a2kdwp,−P2n+1 (w)k = 1, . . . , n;âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà èìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êånPp0 ∈ T0 , è äëèíû ñåïàðàòðèñ â ìåòðèêå ds20 ðàâíû |s2k−2 | = |s2k−1 | = (−1)i−k Tii=knPïðè k = 2, . . . , n è |s1 | =(−1)i−1 Ti ;i=1(Á) íà ñëîå T0 ñóùåñòâóåò íàáîð ñåïàðàòðèñ d1 , . . . , dn âåêòîðíîãî ïîëÿi sgrad C f , èìåþùèõ íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå p0 , òàêèõ÷òîdk ⊂ ckäåðæàòñÿ âðåçîêCw ,è èõ îáðàçûCk ,Prw |T0 (dk ) = Dkïðè÷åì ïðè[a2k , a2k+1 ] ⊂ Cw ,ñì. ðèñ.

4.2 ïðèïðè ïðîåêöèèPrw |T0 : T0 → Cwk = 1, . . . , n − 1 òðàåêòîðèÿ Dkà òðàåêòîðèÿDnñî-ïåðåñåêàåò îò-ñîâïàäàåò ñ ëó÷îì[a2n+1 , +∞) ⊂n = 3;(Â) óïîðÿäî÷èâàíèå ïàðû ñåïàðàòðèñè âûáîð îäíîé èç äâóõ ñåïàðàòðèñs2k−2 ∪s2k−1 = (Prw |T0 )−1 (Sk ) â ï.(À)dk ⊂ (Prw |T0 )−1 (Dk )â ï.(Á) îäíîçíà÷íîîïðåäåëåíû ñëåäóþùèì óñëîâèåì: ïîäìíîæåñòâîT++0onp:=−P2n+1 (w), w | Im w ≥ 0 ⊂ T0(ãäå â êà÷åñòâå ôóíêöèè0)√âûáðàíà åå âåòâü, òàêàÿ ÷òîq−P2n+1 ( 12 (a2 + a3 )) >èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñî ñëåäóþùèìè ñåïàðàòðèñàìè:I(s4k ), I(d2k+1 ),ãäåI : C2 → C21≤k≤[n−1],2s4k−2 , d2k , èíâîëþöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîéÄîêàçàòåëüñòâî.I(d1 ),n1 ≤ k ≤ [ ],2I(z, w) = (−z, w).Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ èíòåãðàëü-íûì òðàåêòîðèÿì âåêòîðíîãî ïîëÿ u := sgrad C f |T0 , âõîäÿùèì â áåñêîíå÷íî120Ðèñ.

4.1: Òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad C f |T0 è èõîáðàçû ïðè ïðîåêöèè Prw |T0 : T0 → Cw , ïðèn=3Ðèñ. 4.2: Ïðîåêöèè èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé ïîëÿ i sgrad f |T0 íà ïëîñêîñòü Cw ïðèn=3óäàëåííóþ òî÷êó p0 èëè èñõîäÿùèì èç íåå, ÷åðåç Ip0 . Ïóñòü T0 \ Ip0 =NSci ,i=1ãäå ci âñå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè T0 \ Ip0 , i = 1, . . . , N .Èç ñëåäñòâèÿ 4.1.3ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå u|ci ïîëíî.Øàã 1.

Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿγi ⊂ ci äëÿ íåêîòîðîãî 1 ≤ i ≤ N , ïåðèîä γi ðàâåí T > 0. Òîãäà ïîêàæåì,÷òî âñÿêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ γ ⊂ ci ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ òåì æåïåðèîäîì T .Êàê âûøå, îáîçíà÷èì ÷åðåç u âåêòîðíîå ïîëå u = sgrad C f |T0 , ÷åðåç vîðòîãîíàëüíîå åìó îòíîñèòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds20 := Sym(∆0 ⊗ ∆0 )âåêòîðíîå ïîëå v = isgrad C f |T0 . Ïîñêîëüêó [u, v] = 0, òî ñóùåñòâóåò ε > 0òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî τ ∈ (−ε, ε) âûïîëíåíî gvτ γi ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ u ñ ïåðèîäîì T , ãäå gvτ ñäâèã âäîëü âåêòîðíîãîïîëÿ v íà τ ∈ R.

Îòñþäà îáúåäèíåíèå T -ïåðèîäè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé âåêòîðíîãî ïîëÿ u|ci ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîì â T0 (è â121ci ), êîòîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç Γi .Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî Γi ⊂ ci çàìêíóòî â ci . Ïóñòü òî÷êà ĝ ∈ ci ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà Γi . Òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå u|ci ïîëíî è ĝ ∈ ci , òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå ψ :[0, T ] × [−ε, ε] → T0 , (t, τ ) 7→ gvτ gut (ĝ).  ëþáîé áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ĝ ñóùåñòâóþò òî÷êè, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäÿò ïåðèîäè÷åñêèå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëÿ u ñ ïåðèîäîì T (ò.å.

ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâóΓi ). Ïîýòîìó (çàìåíÿÿ êàæäóþ òàêóþ òî÷êó íà ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåéèíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèè ñ êðèâîé gvτ (ĝ), τ ∈ [−ε, ε]) ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè τj → 0 ïðè j → ∞ (âîçìîæíî, τj = 0 äëÿ íåêîòîðûõτj ), òàêîé ÷òî gvj (ĝ) ∈ Γi . Ïîñêîëüêó [u, v] = 0, òî ψ : (t, τ ) 7→ gut gvτ (ĝ), îòêóäàττψ(T, τj ) = guT gvj (ĝ) = gvj (ĝ) = ψ(0, τj ).

Çíà÷èò, ψ(T, 0) = ψ(0, 0) = ĝ , ò.å. ÷åðåç òî÷êó ĝ ïðîõîäèò ïåðèîäè÷åñêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ γĝ ñ ïåðèîäîìT (è ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì T /k äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ N). Ïåðèîä T ÿâëÿåòñÿìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì ýòîé òðàåêòîðèè (ò.å. k = 1) â ñèëó îòêðûòîñòè îáúåäèíåíèÿ (T /k)-ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, ñì. âûøå. Ïîýòîìó ĝ ∈ Γi , ÷òîäîêàçûâàåò çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà Γi â ci .Òàê êàê Γi 6= ∅, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì è çàìêíóòûì â ci , òî Γi = ci .Øàã 2.

Ðàññìîòðèì ïðîåêöèþ Prw : T0 → Cw , (z, w) 7→ w. Äàííàÿ ïðîåêöèÿ ÿâëÿåòñÿ äâóëèñòíûì ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì ñ òî÷êàìè âåòâëåíèÿa1 , . . . , a2n+1 , {∞} ∈ Cw . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïóñòü a1 < a2 < . . . <a2n+1 , òîãäà P2n+1 |(a1 ,a2 )∪(a3 ,a4 )∪...∪(a2n+1 ,+∞) > 0 è P2n+1 |(−∞,a1 )∪(a2 ,a3 )∪...∪(a2n ,a2n+1 ) <0. Ïîýòîìó (îïðåäåëåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) âåêòîðíîå ïîëå ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) =p±2 −P2n+1 (w)∂/∂w íà Cw êàñàòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ C íà ïîä122ìíîæåñòâå (−∞, a1 ) ∪ (a2 , a3 ) ∪ . . . ∪ (a2n , a2n+1 ) ⊂ R è îðòîãîíàëüíî ýòîéïðÿìîé íà ïîäìíîæåñòâå (a1 , a2 ) ∪ (a3 , a4 ) ∪ . .

. ∪ (a2n+1 , +∞) ⊂ R.Øàã 3. Ïîñêîëüêó â îêðåñòíîñòè òî÷êè p0 ∈ T0 âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f |T0èìååò îñîáåííîñòü ïîëþñ 2n−2-ãî ïîðÿäêà, êîëè÷åñòâî ñåïàðàòðèñ â òî÷êå p0ðàâíî 2(2n − 1), à òàê êàê òî÷êà p0 ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì òî÷êè âåòâëåíèÿ ∞,òî êîëè÷åñòâî ñåïàðàòðèñ (îïðåäåëåííîãî ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) âåêòîðíîãîïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) â òî÷êå {∞} ∈ Cw ðàâíî 2n − 1.Èçó÷èì ñåïàðàòðèñû âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cw .Ñóùåñòâóåò ñåïàðàòðèñà (îáîçíà÷èì åå S1 ), ñîâïàäàþùàÿ êàê ìíîæåñòâî ñ(−∞, a1 ], ñì. øàã 2.

Òàêæå ñóùåñòâóåò n îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, îáõîäÿùèõ âîêðóã îòðåçêîâ [a2k , a2k+1 ], k = 1, . . . , n.Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ê âåêòîðíîìó ïîëþ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) è óêàçàííûì nñåìåéñòâàì ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì íà øàãå 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè êàæäîì k = 2, .

. . , n ñóùåñòâóåò òî÷êàak,∗ ∈ [a2k−1 , a2k ] ⊂ R ⊂ Cw , êîòîðàÿ âî-ïåðâûõ ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåéãðàíüþ ìíîæåñòâà òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ îòðåçêîì [a2k−1 , a2k ] ïåðèîäè÷åñêèõòðàåêòîðèé (k − 1)-ãî ñåìåéñòâà (îáõîäÿùèõ âîêðóã îòðåçêà [a2k−2 , a2k−1 ]),à âî-âòîðûõ ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîé ñåïàðàòðèñå, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåçSk . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ck îáúåäèíåíèå âñåõ ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà, k = 1, . . . , n. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ ñåïàðàòðèñà S2 , .