Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 16

Èñ÷åçàþùèé ãðàô (ïåðåòÿæêà) íà îñîáîì ñëîå îñîáàÿ òî÷êà.Ïóñòür̂ = 0, ŵ = 0. Òîãäà ẑ = 0 è h1 (ẑ, ŵ) = ĥ1 (0, 0) = (0, 0, 0, 0− ) ïî òðåòüåé ôîðìóëå â îïðåäåëåíèè h1 (z, w). Ïðè (z, w) → (0, 0) èìååì r → 0 (ò.å. ñëîéñòðåìèòñÿ ê îñîáîìó) è w → 0, îòêóäà |αr,ϕ,l (w)| → 0 íåçàâèñèìî îò ϕ, l, ò.å.òî÷êà h1 (z, w) ñòðåìèòñÿ ê èñ÷åçàþùåìó ãðàôó {(0, 0)} × S 1 × {0− } â îñî4áîì ñëîå {(0, 0)} × S 1 × ([−1, 0− ] ∪ [0+ , 1]).

Òàê êàê â Mε,nóêàçàííûé ãðàôîòîæäåñòâëÿåòñÿ â òî÷êó (0, 0, 0, 0− ), èìååì h1 (z, w) → (0, 0, 0, 0− ) = ĥ1 (0, 0).Øàã 5. Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå h1 èíúåêòèâíî. Ïóñòü h1 (z1 , w1 ) =102h1 (z2 , w2 ) =: (r, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h). Òîãäà z12 + w1n = z22 + w2n = reiϕ . Åñëèh 6∈ {0− , 0+ }, òî êàæäîå h1 (zj , wj ) è êàæäîå η(zj , wj ) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ïåðâûì ôîðìóëàì, j = 1, 2; â ñèëó h = η1|αr,ϕ,l1 (w1 )|−r1/n(2ε)1/n −r1/n= η2|αr,ϕ,l2 (w2 )|−r1/n(2ε)1/n −r1/n6= 0è ψ = −η1 arg αr,ϕ,l1 (w1 ) = −η2 arg αr,ϕ,l2 (w2 ) èìååì sgn h = η1 = η2 =: η èαr,ϕ,l1 (w1 ) = αr,ϕ,l2 (w2 ) =: α, îòñþäà arg α ∈ [ϕ+2πlj ϕ+2π(lj +1)),n ,nj = 1, 2, ïîýòî-ìó l1 = l2 è (ïîñêîëüêó αn,ϕ0 ,a,b ãîìåîìîðôèçì, ñì.

øàã 2) w1 = w2 , à â ñèëóη = sgn (Imz1n/2 )w1= sgn (Imz2n/2 )w2èìååì z1 = z2 , ò.å. (z1 , w1 ) = (z2 , w2 ). Åñëèh ∈ {0− , 0+ } è r = 0, òî êàæäîå h1 (zj , wj ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî òðåòüåé ôîðìóëåè ïîýòîìó (zj , wj ) = (0, 0), j = 1, 2.Ïóñòü h ∈ {0− , 0+ } è r > 0, òîãäà êàæäîå h1 (zj , wj ) âû÷èñëÿåòñÿ ïî âòîðîé ôîðìóëå, j = 1, 2. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî h = 0− . Ïîϕ+tj +2πljnïîñòðîåíèþ èìååì arg(αr,ϕ,lj (wj )) =äà h1 (zj , wj ) = (r, ϕ, −ηjϕ+tj +2πlj, 0ηj )näëÿ íåêîòîðîãî tj ∈ [0, π], îòêó-∼1,lj (r, ϕ,ϕ−ηj tj +2πlj, 0− )nãäå ηj := η(zj , wj ), j = 1, 2.

Ïîýòîìó â ñëó÷àå ψ ∈è w1 = w2 = 0, l1 = l2 = 0, ψ =ϕ+π2πn + n Z èìååì 0 ≤ tjϕ+2πlj −ηj tj, j = 1, 2, ïîýòîìó l1nϕ−ηj πn ,ϕ+π2πn + nZ∼1 (r, ϕ, ψ, 0− ),èìååì t1 = t2 = πj = 1, 2, îòêóäà η1 = η2 ; à â ñëóϕ+2πljn ,÷àå ψ 6∈< π è wj 6= 0, îòêóäà arg wj =ψ == l2 =: l, t1 = t2 , η1 = η2 (òàê êàê ïðètj = 0 èìååì ηj = −1 ïî òðåòüåé ôîðìóëå), îòêóäà αr,ϕ,l (w1 ) = αr,ϕ,l (w2 ), ïîýòîìó w1 = w2 (òàê êàê αn,ϕ0 ,a,b ãîìåîìîðôèçì, ñì.

øàã 2). Åñëè ψ ∈ ϕn + 2πn Z,òî t1 = t2 = 0 è z1 = z2 = 0; à åñëè ψ 6∈ϕn+ πn Z èëè ψ ∈ϕ+πn+ 2πn Z, òî η1 = η2âû÷èñëÿþòñÿ ïî âòîðîé (ñîîòâåòñòâåííî ÷åòâåðòîé) ôîðìóëå, îòêóäà z1 = z2 .Çíà÷èò, (z1 , w1 ) = (z2 , w2 ).44Øàã 6. Äîêàæåì, ÷òî h1 (V ε,n ) = Mε,n. Ðàññìîòðèì ëþáóþ òî÷êó (r, ϕ, ψ, h) ∈4Mε,n. Àíàëîãè÷íî øàãó 5 ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àå h 6∈ {0− , 0+ } è1034h ∈ {0− , 0+ } èìååòñÿ òî÷êà (z, w) ∈ V ε,n , òàêàÿ ÷òî h1 (z, w) = (r, ϕ, ψ, h).Òàê êàê îòîáðàæåíèå h1 íåïðåðûâíî, áèåêòèâíî è îïðåäåëåíî íà êîìïàêòå4V ε,n , òî îíî ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì. Óòâåðæäåíèå 3.2.1 äîêàçàíî.Ïðåäëîæåíèå 3.2.3((òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè êðèòè-÷åñêîé òî÷êè íå÷åòíîé êðàòíîñòè)).Ïðè íå÷åòíîìn∈Näëÿ ëþáûõε>0è4ξ0 ∈ C ôóíêöèÿ g = gn : V ε,n → C, g(z, w) = z 2 +wn +ξ0 , òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèè44q = qn : Mε,n→ C, ãäå Mε,n= ([0, ε]×S 1 ×S 1 ×[−1, 0])/ ∼,îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè∼ïîðîæäåíî ñëåäóþùèìèn+1îòíîøåíèÿ-ìè:(r, ϕ mod 2π, ϕ+t+2πkmod 4π, 0) ∼1,k (r, ϕ mod 2π, ϕ−t+2πk+ 2π mod 4π, 0),nn(0, ϕ mod 2π, ψ mod 4π, h) ∼2 (0, 0 mod 2π, ψ mod 4π, h),(3.2.3)0 ≤ k < n, r ∈ [0, ε], ϕ mod 2π ∈ R/2πZ, ψ mod 4π ∈ R/4πZ, t ∈ [−π, π], h ∈[−1, 0], q(r, ϕ mod 2π, ψ mod 4π, h) = reiϕ + ξ0 .Ïðè ýòîì44)=g(V ε,n ) = q(Mε,n2Dξ0 ,ε .Çàìå÷àíèå 3.2.4.(À) (Èñ÷åçàþùèé ãðàô).

Àíàëîãè÷íî çàìå÷àíèþ 3.2.2,4ïðîñòðàíñòâî Mε,n:= ([0, ε] × S 1 × S 1 × [−1, 0])/ ∼ ïîëó÷åíî èç òðèâèàëüíî4:= [0, ε] × S 1 × S 1 × [−1, 0] ïóòåì îòîæäåñòâðàññëîåííîãî ïðîñòðàíñòâà M̃ε,nëåíèé, îïèñàííûõ â (3.2.3) è èìåþùèõ ñëåäóþùèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë.4 ïðîñòðàíñòâå M̃ε,nêàæäûé ñëîé ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì {(r, ϕ mod 2π)}×S 1 ×[−1, 0], ïðè÷åì ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ∼1 , ïîðîæäåííîå íàáîðîì ñîîòíîøåíèé∼1,k ôîðìóëû (3.2.3), 0 ≤ k < n, ïðåâðàùàåò ñëîé â ñâÿçíóþ äâóìåðíóþïîâåðõíîñòü ðîäàn−12ñ ñâÿçíûì êðàåì, îòîæäåñòâëÿÿ òî÷êè âåðõíåãî îñ-íîâàíèÿ öèëèíäðà, ðàçáèòîãî íà 2n ðàâíûõ äóã (êîòîðûå ïîìåòèì ïîñëå104−1äîâàòåëüíî ñèìâîëàìè a1 , .

. . , an , a−11 , . . . , an ïðè ïîëîæèòåëüíîì îáõîäå îñ-íîâàíèÿ öèëèíäðà, ïðè÷åì ðàçáèåíèå íà äóãè ïîâåðíóòî íà óãîëϕ2nmod 2πâ íàïðàâëåíèè îðèåíòàöèè ýòîãî îñíîâàíèÿ), ïðè ïîìîùè ïîïàðíîãî ñêëåèâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ äóã ñ îáðàùåíèåì îðèåíòàöèè. Íà êàæäîì ñëîå({(r, ϕ mod 2π)} × S 1 × [−1, 0])/ ∼1 ïîëó÷àåì ãðàô ({(r, ϕ mod 2π)} × S 1 ×{0})/ ∼1 ñ äâóìÿ âåðøèíàìè è n ðåáðàìè a1 , . . . , an , êàæäîå èç êîòîðûõ ñîåäèíÿåò îáå âåðøèíû, ãîìåîìîðôíûé ãðàôó K2,n è íàçûâàåìûé èñ÷åçàþùèìãðàôîì äëÿ ôóíêöèègn . (Ïðè n = 1 èñ÷åçàþùèé ãðàô ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì.)Îñòàâøååñÿ ñîîòíîøåíèå ∼2 â (3.2.3) îòîæäåñòâëÿåò äðóã ñ äðóãîì ñëîè âèäà({(0, ϕ mod 2π)} × S 1 × [−1, 0])/ ∼1 , ϕ mod 2π ∈ S 1 (îñîáûé ñëîé). Èç ñîîòíîøåíèé â (3.2.3) ñëåäóåò, ÷òî íà îñîáîì ñëîå èñ÷åçàþùèé ãðàô ñêëåèâàåòñÿâ òî÷êó (ïåðåòÿæêà íà îñîáîì ñëîå).

Òàêèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî èñ÷åçàþùèõ ãðàôîâ íà íåîñîáûõ ñëîÿõ ñòðåìèòñÿ ê îñîáîé òî÷êå (èñ÷åçàåò) ïðèñòðåìëåíèè ñëîÿ ê îñîáîìó.(Á) Èç (À) è äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 3.2.3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ èñ÷åçàþ2ùåãî ãðàôà αξ íà íåîñîáîì ñëîå Tξ = gn−1 (ξ), ξ ∈ Dξ0 ,ε \ {ξ0 }, âåðíà òà æåôîðìóëà ÷òî è â çàìå÷àíèè 3.2.2(Á).óòâåðæäåíèÿ 3.2.3.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó44ïðè íå÷åòíîìóòâåðæäåíèÿ 3.2.1. Ïðè ýòîì ãîìåîìîðôèçì h1 : V ε,n → Mε,nn îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîép1/n r, ϕ, 2 arg( α(w)), − |α(w)|−r, (z, w) 6= (0, 0),(2ε)1/n −r1/nh1 (z, w) := (0, 0, 0, 0) ,(z, w) = (0, 0),4ãäå âòîðàÿ è òðåòüÿ êîîðäèíàòû òî÷êè h1 (z, w) ∈ Mε,nðàññìàòðèâàþòñÿ ïîìîäóëþ 2π è 4π ñîîòâåòñòâåííî, z 2 + wn = reiϕ , r ∈ [0, ε], 0 ≤ ϕ < 2π ,105ϕ := 0 ïðè r = 0, ôóíêöèè l = l(r, ϕ, w) ∈ Z ∩ [0, n − 1] è α(w) = αr,ϕ,l (w)îïðåäåëÿþòñÿ òåìè æå ôîðìóëàìè êàê â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3.2.1(ñì. øàã 3), ïðè÷åì â êà÷åñòâå ôóíêöèèpα(w) áåðåòñÿ åå âåòâü, òàêàÿ ÷òîïðè |w| = (2ε)1/n , z 2 + wn = reiϕ è r ∈ [0, ε] âûïîëíåíî Im √(Ñëåäñòâèå 3.2.5ñêîé òî÷êè)).zα(w))n< 0.((òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè ìîðñîâñêîé êðèòè÷å44ε > 0 ôóíêöèÿ g : V ε → C, ãäå V ε = {(z, w) ∈√C2 | |z 2 + w2 | ≤ ε, |w| ≤ 2ε} ⊂ C2 , g(z, w) = z 2 + w2 + ξ0 , ξ0 ∈ C, òîÄëÿ ëþáîãîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèFS 1 × ([−1, 0− ] [0+ , 1]))/ ∼,q : Mε4 → C,ãäåMε4 = ([0, ε] × S 1 ×îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè∼â îïðåäåëåíèèMε4 ïîðîæäåíî ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: (r, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, 0+ ) ∼1 (r, ϕ mod 2π, −ψ + ϕ mod 2π, 0− ), (0, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, v) ∼ (0, 0 mod 2π, ψ mod 2π, v),(3.2.4)20+ := 0 ∈ [0+ , 1], 0− := 0 ∈ [−1, 0− ], 0 ≤ r ≤ ε, ϕ mod 2π ∈ R/2πZ,Fψ mod 2π ∈ R/2πZ, h ∈ [−1, 0− ] [0+ , 1], q(r, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) = rei(ϕ mod 2π) +ξ0 ,è3.342g(V ε ) = q(Mε4 ) = Dξ0 ,ε .Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè ñëîÿ(ïîëóëîêàëüíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé)Íà ïðîòÿæåíèè äàííîãî ïàðàãðàôà îáîçíà÷èì l :=kSlj , ãäå l1 −1, .

. . , lk −1j=1 íàáîð êðàòíîñòåé âñåõ îñîáûõ òî÷åê p1 , . . . , pk íà ñëîå Tξ0 = f −1 (ξ0 ). Ïðè2k = 0 ïîëîæèì l := 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Mg,bêîìïàêòíóþ ñâÿçíóþ îðèåíòè-ðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü ðîäà g ≥ 0, êðàé êîòîðîé ñîñòîèò èç b ≥ 0 êîìïîíåíò.106Îíà ãîìåîìîðôíà ñôåðå ñ g ðó÷êàìè, èç êîòîðîé âûêèíóòû âíóòðåííîñòèb ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ çàìêíóòûõ äâóìåðíûõ äèñêîâ. Îáîçíà÷èì ÷å2ñâÿçíóþ îðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åííóþ èç êîìïàêòíîéðåç Mg,h,b2âûêèäûâàíèåì h âíóòðåííèõ òî÷åê.ïîâåðõíîñòè Mg,bËåììà 3.3.1. ÏóñòüTξ0 = f −1 (ξ0 ) (îñîáîå èëè íåîñîáîå) ìíîæåñòâîóðîâíÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà2,ñîäåðæàùåå ðîâíîk ≥ 0êðèòè÷åñêèõ òî÷åêêðàòíîñòè ýòèõ òî÷åê ðàâíû l12.Òîãäàl ≤ n, l < n + kf (z, w) = z 2 + Pn (w)− 1, .

. . , lk − 1è ñóùåñòâóåòñòåïåíèp1 , . . . , pk ∈ Tξ0 ,ïðè÷åìñîîòâåòñòâåííî, l1 , . . . , lkε 0 > 0,4òî÷åêòàêèå ÷òî:(À) ôóíêöèÿf |U 4ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèj,εz 2 + w̃lj + ξ0 , ñì. (3.1.2) è (3.2.1),ôóíêöèè≥òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãîε ∈ (0, ε0 ] ñóùåñòâóþò çàìêíóòûå ÷åòûðåõìåðíûå îêðåñòíîñòè U j,εpj , 1 ≤ j ≤ k ,n≥4glj : V ε,lj → C,ãäåglj (z, w̃) =à òàêæå òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà4qlj : Mε,l→ C (ñì. óòâåðæäåíèÿ 3.2.1 è 3.2.3), j = 1, .

. . , k ;j(Á) ôóíêöèÿf|2(f −1 (Dξ0 ,ε ))\(kS4òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèf0 :U j,ε )j=12Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk → C, (ξ, x) 7→ ξ ,ãäåLn,k,ε,l1 ,...,lk := Tξ0 \ (kS4U j,ε ) êîì-j=12dimC Ln,k,ε,l1 ,...,lk = 1, ãîìåîìîðôíîå ëèáî Mg,h,bF 22ïðè n > l èëè ñóùåñòâîâàíèè õîòÿ áû îäíîãî íå÷åòíîãî lj , ëèáî M0,1,kM0,1,kkPlj3+(−1)nn−1ïðè n = l (îòêóäà k > 0) è âñåõ ÷åòíûõ lj , ãäå g = []−[], h =,222ïëåêñíîå ìíîãîîáðàçèå ñ êðàåì,j=1b=kPj=1lj3+(−1).2Äîêàçàòåëüñòâî.Íåðàâåíñòâà l ≤ n, l < n + k ñëåäóþò èç ñëåäñòâèÿ 3.1.18.2Äëÿ êàæäîé òî÷êè pj = (0, w0,j ) ðàññìîòðèì çàìêíóòûå îêðåñòíîñòè U j,ε è42U j,ε ⊂ C × U j,ε òî÷åê w0,j è pj ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæå äèôôåîìîðôèçìû1072244ϕj : U j,ε → D0,(2ε)1/lj , ϕj : w 7→ w̃, è (idC × ϕj )|U 4 : U j,ε → V ε,lj êàê âj,εëåììå 3.1.16 è åå äîêàçàòåëüñòâå, 1 ≤ j ≤ k . Âûáåðåì ñòîëü ìàëîå ε1 > 0, ÷òî4U j,ε , 1 ≤ j ≤ k , ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.

Ïóíêò (À) ñëåäóåò èç ëåììû 3.1.1622è óòâåðæäåíèé 3.2.1 è 3.2.3. Äîêàæåì (Á). Ïîëîæèì Uj,ε:= ϕ−1j (D0,(2ε)1/lj),44Uj,ε:= ((idC × ϕj )|U 4 )−1 (Vε,l), 1 ≤ j ≤ k , ñì. (3.2.1).jj,ε2Øàã 1. Ïðè ëþáûõ ε ∈ (0, ε1 ), ξ ∈ Dξ0 ,ε ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Prw |Tξ \(kSj=1Tξ \ (kS4Uj,ε) → C\(j=1kS2Uj,ε), (z, w) 7→ w. Îíî ÿâëÿåòñÿ äâóëèñòíûì ðàçâåòâ-j=1ëåííûì íàêðûòèåì ñ n−l òî÷êàìè âåòâëåíèÿ íàä ïîâåðõíîñòüþ C\(kS2Uj,ε)≈j=12M0,1,k.