Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 13

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M 4 \ C2 áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê, îíî ñîñòîèò èç äâóõïîâåðõíîñòåé Λj := {pξ,j | ξ ∈ C}, j = 1, 2. Ïóñòü v ∈ Tpξ,j Λj , v 6= 0, òîãäàïàðà (v, iv) áàçèñ â Tpξ,j Λj . Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Re ω C (v, iv) = 0,îòêóäà Λ1 è Λ2 ëàãðàíæåâû ïîâåðõíîñòè â M 4 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåííûå óãîë ìîæíî âûáðàòü (äëÿ çàäàííûõ ïåðåìåííûõ äåéñòâèå) òàêèìîáðàçîì, ÷òî (ϕ1 mod 2π)(Λ1 ) = (ϕ2 mod 2π)(Λ1 ) = 0. Ïîñòðîåííûå ïåðåìåííûå äåéñòâèå-óãîë â Ũξ0 ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè è çàäàþò ãîìåîìîðôèçìŨξ0 ≈ D2 ×T2 , ãäå D2 := I(Ũξ0 ), I = (I1 , I2 ).

Îïðåäåëèì ôóíêöèþ J˜ : Ũξ0 → RR˜ ξ) =ôîðìóëîé J(Tα, |ξ − ξ0 | < ε̃, ãäå γξ,j ïóòü íà ïîâåðõíîñòè Λj ,−1γξ,1 γξ γξ,2γξ,j (t) := p(1−t)ξ0 +tξ,j , 0 ≤ t ≤ 1, j = 1, 2, γξ íåêîòîðûé ïóòü íà òîðå Tξ ,âåäóùèé èç áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè pξ,1 â áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó−1 −1γξ0 ñòÿãèâàåì â Ũξ0 ≈ D2 × T2 .pξ,2 è òàêîé, ÷òî çàìêíóòûé ïóòü γξ,1 γξ γξ,2Óêàçàííûé èíòåãðàë íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè γξ (ïðè ôèêñèðîâàííîì ïóòèγξ0 ) â ñèëó ëàãðàíæåâîñòè òîðà Tξ .

Îïðåäåëèì ôóíêöèþ J : D2 → R óñëîâèåì J ◦ I = J˜. Òîãäà (ϕj mod 2π)(pξ,2 ) =∂J∂Ij (I(pξ,2 )) mod 2π ,|ξ − ξ0 | < ε̃,j = 1, 2.Òåì ñàìûì èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H4 (a, b, c, d, e, k) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.4.Îòìåòèì, ÷òî àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ (z, w) 7→ (−z, w) ñîõðàíÿåòãàìèëüòîíèàí f , íà êàæäîì íåîñîáîì ñëîå Tξ èìååò ÷åòûðå íåïîäâèæíûåòî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå Tξ , è ïåðåñòàâëÿåò äðóã ñ äðóãîì áåñêîíå÷íî óäàëåí84Ðèñ.

2.4: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H4 (a, b, c, d, e, k)íûå òî÷êè pξ,1 è pξ,2 .  êîîðäèíàòàõ (ξ, u1 ) è (ξ, u2 ) èç îïðåäåëåíèÿ 2.5.5 ýòàèíâîëþöèÿ èìååò âèä (ξ, u1 ) 7→ (ξ, u2 := u1 ), ñì. (2.5.1) è (2.5.2).  âåùåñòâåííûõ êîîðäèíàòàõ äåéñòâèå-óãîë èç ñëåäñòâèÿ 2.5.7 äàííàÿ èíâîëþöèÿ èìååò∂J∂Jâèä (I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2π) 7→ (I1 , I2 , ∂I(I1 , I2 ) − ϕ1 mod 2π, ∂I(I1 , I2 ) −12ϕ2 mod 2π).Ñëåäñòâèå 2.5.8. ÄëÿíîñòèUξ0ñòâèå(I1 , I2 )C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû H4 (a, b, c, d, e, k) â îêðåñò-íåîñîáîãî ñëîÿè ôóíêöèèTξ0 ⊂ Uξ0 , ξ0 ∈ C \ Σf ,Jçíà÷åíèÿ êîîðäèíàò äåé-èç ñëåäñòâèÿ 2.5.7 íà ñëîåTξ ⊂ Uξ0ìîãóò áûòüâû÷èñëåíû ïî ôîðìóëàì:1I` (Tξ ) = ReπZzξ (w)dw,` = 1, 2,γξ,`Z J(Tξ ) = 2 Re32zξ (w)dw − wdzξ (w) ,55γξãäåzξ (w) =ñÿùàÿ îòqξ−bw4 −cw3 −dw2 −ew−k îäíà èç äâóõ âåòâåé, íåïðåðûâíî çàâèaξ , γξ,1 , γξ,2 : [0, 1] → C ïðîñòûå ïóòè, âåäóùèå èç85wξ,1âwξ,4è èçêåwξ,2wξ,4íèÿâñîîòâåòñòâåííî, ïåðåñåêàþùèåñÿ òîëüêî â êîíå÷íîé òî÷-è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îòwξ,m , m = 2, 3, 4ÔóíêöèÿJäåíèåì ïóòèèγξ :íå ïðîõîäÿùàÿ íè ÷åðåç îäèíξ.è ïóòèÏåðåìåííàÿ äåéñòâèÿI`(−zξ (γξ,` (1 − t)), γξ,` (1 − t)), t ∈ [0, 1],îòâå÷àåò ïðîñòîìó ïóòè íàíå÷íî óäàëåííûå òî÷êèξ,ïîëó÷åííîìó ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðîõîæäåíèåì ïó-(zξ (γξ,` (t)), γξ,` (t)), t ∈ [0, 1],` = 1, 2.wξ,1 ,è íåïðåðûâíî çàâèñÿùàÿ îòTξ , êîðíè óðàâíå-íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îò ïîëóïðÿìàÿ, âûõîäÿùàÿ èçîòâå÷àåò öèêëó íàòèξ , wξ,m , m = 1, 2, 3, 4bw4 + cw3 + dw2 + ew + k = ξ ,[0, ∞) → Cèçwξ,4pξ,1 , pξ,2Tξ ,ñîåäèíÿþùåìó áåñêî-è ïîëó÷åííîìó ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðîõîæ-(−zξ (γξ (1 − t)), γξ (1 − t)), t ∈ (0, 1],t ∈ [0, 1).86è ïóòè(zξ (γξ (t)), γξ (t)),Ãëàâà 3Òîïîëîãèÿ ëàãðàíæåâûõ ñëîåíèé3.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿÎïðåäåëåíèå 3.1.1.

Ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ òðîéêà (M 2n , ω, H),ãäå M 2n ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ω ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íà M 2n ,H : M 2n → R ãëàäêàÿ âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåìàÿåé Ãàìèëüòîíàôóíêöè-(èëè ãàìèëüòîíèàíîì). Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé,åñëè ñóùåñòâóåò íàáîð èç n ãëàäêèõ ôóíêöèé f1 , . .

. , fn : M 2n → R, íàçûâàåìûõïåðâûìè èíòåãðàëàìè,òàêîé ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) íàáîð f1 , . . . , fn ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèì íà M 2n , òî åñòü df1 , . . . , dfnëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå âñþäó ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà â M 2n , èf1 = H ;2) ïðè ëþáûõ i, j = 1, . . . , n ôóíêöèè fi è fj íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè îò∂f∂fi jíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω , òî åñòü {fi , fj } = ω kl ∂xk ∂xl = 0 âëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x1 , .

. . , x2n , ãäå ω kl êîìïîíåíòû ìàòðèöû, îáðàòíîéìàòðèöå kωkl k.Îïðåäåëåíèå 3.1.2.Âåêòîðíûì ïîëåì87êîñîé ãðàäèåíòôóíêöèè f : M 2n →R íàçûâàåòñÿ ïîëå sgrad f , òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g : M 2n → R âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå {f, g} = sgrad g(f ). Â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x1 , . . . , x2n∂fâåêòîðíîå ïîëå sgrad f èìååò âèä (sgrad f )i = ω ij ∂xj.Ñ êàæäîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñâÿçàíî óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà.Îïðåäåëåíèå 3.1.3.

Óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (M 2n , ω, H)íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ẋ(t) = sgrad H|x(t) , ãäå t ∈ I ïàðàìåòð â íåêîòîðîì èíòåðâàëå I ⊂ R. Åñëè ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿèíòåãðèðóåìîé è âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñóùåñòâóþò ãëîáàëüíî, òî åñòü äîïóñêàþò ïðîäîëæåíèå ïàðàìåòðà t íà R, òî ñèñòåìó íàçîâåìèíòåãðèðóåìîé ïî ËèóâèëëþÎïðåäåëåíèå 3.1.4.áîé),èëèâïîëíå èíòåãðèðóåìîé.Òî÷êà x ∈ M 2n íàçûâàåòñÿêðèòè÷åñêîé(èëèîñî-åñëè df1 (x), . . . , dfn (x) ëèíåéíî çàâèñèìû.

Îòîáðàæåíèå Φ : M 2n → Rn ,Φ : x 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)), íàçûâàåòñÿîòîáðàæåíèåì ìîìåíòà.Îáðàç Φ(x)ëþáîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè x ∈ M 2n íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.Áèôóðêàöèîííîé äèàãðàìîéΣΦ ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæå-ñòâî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.Çàìå÷àíèå 3.1.5.Ïðè n = 1 îñîáûå òî÷êè x ∈ M 2 ñîâïàäàþò ñ êðèòè÷å-ñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà.Îïðåäåëåíèå 3.1.6.

Ëàãðàíæåâûì ñëîåíèåì,îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðè-ðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå, íàçîâåì ðàçáèåíèå ìíîãîîáðàçèÿ M 2n íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , . . . , fn . Ñëîåì (èëè ëèñòîì)èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (M 2n , ω, H) ñ ïåð-âûìè èíòåãðàëàìè f1 , . . . , fn íàçîâåì êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ïîäìíîæåñòâà88Tξ1 ,...,ξn = {x ∈ M 2n |f1 (x) = ξ1 , . . . , fn (x) = ξn }.

(Ñëîè ÿâëÿþòñÿ ëàãðàíæåâûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè ñ îñîáåííîñòÿìè; ïîäìíîæåñòâî Tξ1 ,...,ξn ñâÿçíî,åñëè íàáîð ôóíêöèé (f1 , . . . , fn ) ñîñòîèò èç âåùåñòâåííûõ è ìíèìûõ ÷àñòåéêîìïëåêñíîçíà÷íûõ ìíîãî÷ëåíîâ Ëîðàíà n ïåðåìåííûõ, îáðàçóþùèõ íåâûðîæäåííûé äëÿ ñâîèõ ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà íàáîð èç n/2 ìíîãî÷ëåíîâ,è åñëè ðàçìåðíîñòè ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà ðàâíû n [29, Ÿ2, òåîðåìà]; ïîñëåäíèå óñëîâèÿ âûïîëíåíû, íàïðèìåð, äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî êîìïëåêñíîçíà÷íîãî ìíîãî÷ëåíà f (z, w), ðàññìàòðèâàåìîãî â äàííîé ðàáîòå.) ÑëîéTξ1 ,...,ξn íàçûâàåòñÿíåîñîáûì,åñëè âñå åãî òî÷êè íåîñîáûå (òî åñòü â êàæ-äîé åãî òî÷êå df1 , .

. . , dfn ëèíåéíî íåçàâèñèìû), èíà÷åîñîáûì.Äâå èíòåãðè-ðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû (Mi2n , ωi , Hi ) ñ íàáîðàìè ïåðâûõ èíòåãðàëîâΦi = (fi,1 , . . . , fi,n ), òàêèå ÷òî âñå ñëîè Φ−1i (ξ1 , . . . , ξn ) ñâÿçíû, i = 1, 2, íàçûâàþòïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíûìè[7, îïðåäåëåíèå 1.29], åñëè ñóùåñòâóþòñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçìû h1 : M1 → M2 è h2 : Rn → Rnòàêèå, ÷òî Φ1 = h2 ◦ Φ2 ◦ h1 .Îïðåäåëåíèå 3.1.7.ñÿ C-ãàìèëüòîíîâàÀíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèÿì 3.1.1 è 3.1.2 îïðåäåëÿþò-ñèñòåìà(M 2n , ωC , f ) è âåêòîðíîå ïîëåêîñîé ãðàäèåíòsgrad C f , ãäå M 2n êîìïëåêñíîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè dimC M = n,ωC êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ çàìêíóòàÿ íåâûðîæäåííàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ 2ôîðìà íà M 2n , f : M 2n → C ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ íà M 2n .3.1.1Âàæíûé êëàññ êîìïëåêñíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìÏóñòü M 4 = C2 (z, w).

Ðàññìîòðèì ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå R4 (x1 , y1 , x2 , y2 )è äèôôåîìîðôèçì R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) → C2 (z, w), (x1 , y1 , x2 , y2 ) 7→ (x1 +iy1 , x2 +89iy2 ) = (z, w). Íà R4 ââåäåì ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ω = dx1 ∧ dx2 − dy1 ∧dy2 , çàìåòèì, ÷òî ω = Re(dz ∧ dw), òàêæå ââåäåì ôóíêöèþ H = Re(f (z, w)) :R4 → R, ãäå f (z, w) êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí äâóõ êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ. Ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ëåììå, ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà(3.1.1)(R4 , ω, H) = (C2 (z, w), Re(dz ∧ dw), Re(f (z, w)))èìååò äîïîëíèòåëüíûé ïåðâûé èíòåãðàë F = Im(f (z, w)).Ëåììà 3.1.8òû íàC2 ,(Ëåììà 2.1.6).Åñëè ìíîãî÷ëåíòî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàäîïîëíèòåëüíûì ïåðâûì èíòåãðàëîìf (z, w)(3.1.1)îòëè÷åí îò êîíñòàí-ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ñF = Im(f (z, w)),ïðè÷åìsgrad F =−i sgrad H .Ëåììà 3.1.9äèåíòîì(Ëåììà 2.1.7).sgrad C fÂåêòîðíîå ïîëåsgrad Hêîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèèïëåêñíîçíà÷íîé ñèìëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûñîâïàäàåò ñ êîñûì ãðà-f (z, w)îòíîñèòåëüíî êîì-ωC = dz ∧ dwíàC2 (z, w),ò.å.sgrad H = sgrad C f (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.7).Ïî ëåììå 3.1.9 óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåì (R4 , ω, H) = (C2 , Re(ωC ), Re f )è (C2 , ωC , f ) ñîâïàäàþò.