Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 14

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî C-ãàìèëüòîíîâûñèñòåìû. Ëåììû 3.1.8 è 3.1.9 ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.Îïðåäåëåíèå 3.1.10.Äâå C-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè fi : Mi → C,i = 1, 2, áóäåì íàçûâàòüýêâèâàëåíòíûìè),ýêâèâàëåíòíûìè(ñîîòâåòñòâåííîòîïîëîãè÷åñêèåñëè ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíûé äèôôåîìîðôèçì (ñîîòâåò-ñòâåííî ñîõðàíÿþùèé îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçì) h : M1 → M2 òàêîé, ÷òîf2 ◦ h = f1 .90 Ÿ3.2 è Ÿ3.3 èññëåäóþòñÿ êëàññû òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ f = f (z, w) â ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ êðèòè÷åñêèõòî÷åê (ñîîòâåòñòâåííî êðèòè÷åñêèõ ñëîåâ), ò.å. ïîëó÷åíà ëîêàëüíàÿ (ñîîòâåòñòâåííî ïîëóëîêàëüíàÿ) òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé òàêèõôóíêöèé. ßñíî, ÷òî èç òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè òàêèõ ôóíêöèé ñëåäóåò ïîñëîéíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ëàãðàíæåâûõ ñëîåíèé (ñì.îïðåäåëåíèÿ 3.1.6, 3.1.10).Îïðåäåëåíèå 3.1.11.(À) Ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ïîïîëíåíèÿ ds2ξ íà íåîñîáîìñëîå Tξ = f −1 (ξ) äëÿ ôóíêöèè f íàçîâåì ðèìàíîâó ìåòðèêó ds2ξ := ∆ξ ∆ξ =12 (∆ξ⊗ ∆ξ + ∆ξ ⊗ ∆ξ ) íà Tξ , ãäå ãîëîìîðôíàÿ1-ôîðìà∆ξ îïðåäåëåíà íà ñëîåTξ ñîîòíîøåíèåì ∆ξ (sgrad C f |Tξ ) = 1.

Îòìåòèì, ÷òî ðèìàíîâà ìåòðèêà ds2ξÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé, è èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad C f |Tξè i sgrad C f |Tξ ÿâëÿþòñÿ åå ãåîäåçè÷åñêèìè.(Á) Íà ñëîå Tξ îïðåäåëåíàôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿρξ : Tξ × Tξ → R, ãäå äëÿëþáûõ x, y ∈ Tξ , ρξ (x, y) íèæíÿÿ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ, ëåæàùèõ â Tξè ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè x, y , äëèíà â ñìûñëå ðèìàíîâîé ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿds2ξ .3.1.2Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû: òîïîëîãèÿ íåîñîáîãî ñëîÿ,ëîêàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿÄëÿ ëþáûõ r > 0, ξ0 ∈ C îáîçíà÷èì2Dξ20 ,r := {ξ ∈ C | |ξ − ξ0 | < r},Dξ0 ,r := {ξ ∈ C | |ξ − ξ0 | ≤ r}.91Îïðåäåëåíèå 3.1.12.Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà p ∈ C2 ìíîãî÷ëåíà f (z 1 , z 2 ), â êî-òîðîé ìàòðèöà âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ kçûâàåòñÿñêèì,ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé.∂ 2 f (z 1 ,z 2 )∂z i ∂z j |p kíåâûðîæäåíà, íà-Ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿìîðñîâ-åñëè âñå åãî êðèòè÷åñêèå òî÷êè ìîðñîâñêèå.Îïðåäåëåíèå 3.1.13.

Êðàòíîñòüþf (z, w) (÷èñëîì(z, w) 7→Ìèëíîðà)∂f( ∂f∂z (z,w), ∂w (z,w)),∂f|( ∂f∂z (z,w), ∂w (z,w))|êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ∈ C2 ìíîãî÷ëåíàíàçûâàåòñÿ ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Γ : Sε3 → S 3 ,ãäå Sε3 ñôåðà â C2 ñ öåíòðîì â òî÷êå p äîñòàòî÷íîìàëîãî ðàäèóñà ε (ñì. [15] è [10, Ãë.I, Ÿ3, ïðåäëîæåíèå 1]).Îïðåäåëåíèå 3.1.14.Êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí âèäà f (z, w) = z 2 + Pn (w),ãäå Pn (w) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n ∈ N îò w, áóäåì òàêæå íàçûâàòüðýëëèïòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíèòàêæåãèïå-n (èìååòñÿ â âèäó ñòåïåíü ïî w), àãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíèn ñèñòåìû (C2 , dz ∧dw, f (z, w)).Ëåììà 3.1.15. Ïóñòüãî÷ëåíàñ[ n−12 ]ξ ∈ C íåîñîáîå çíà÷åíèå ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíî-f (z, w) = z 2 +Pn (w).

Òîãäà ñëîé Tξ = f −1 (ξ) ⊂ C2 ãîìåîìîðôåí ñôåðåðó÷êàìè è áåçÄîêàçàòåëüñòâî.3+(−1)nòî÷åê.2Ðàññìîòðèì äâóëèñòíîå ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå Prw |Tξ :Tξ → C, (z, w) 7→ w. Òî÷êè âåòâëåíèÿ â êîíå÷íîé ÷àñòè ïëîñêîñòè ñîâïàäàþò ñ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ Pn (w) = ξ , âñåãî n êîíå÷íûõ òî÷åê âåòâëåíèÿ. Ðàññìîòðèì òî÷êó ∞ ∈ C è ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé u =1w.ÏóñòüPn (w) − ξ = (w − w1 ) . . .

(w − wn ), ãäå wi ∈ C, i = 1, . . . , n. Òîãäà z(u) =p√±i u−n (1 − w1 u) . . . (1 − wn u). Îòñþäà ïðè ÷åòíîì n òî÷êà u = 0 íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ, à ïðè íå÷åòíîì n ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ. Çíà÷èò,92Σξ èìååò îäèí ïðîêîë ïðè íå÷åòíîì n è äâà ïðîêîëà ïðè ÷åòíîì n. Ýéëåðîâàõàðàêòåðèñòèêà χ(Tξ ) = 2χ(C) − n, îòêóäà 2 − 2g −êîëè÷åñòâî ðó÷åê. Îòñþäà g =Ëåììà 3.1.16Ak−1 )).= 2 − n, ãäå g n−1 2 . Ëåììà äîêàçàíà.((ëîêàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé: îñîáåííîñòü òèïàÄëÿ ëþáîãî ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàè ëþáîé åãî êðèòè÷åñêîé òî÷êè03+(−1)n2è çàìêíóòàÿ îêðåñòíîñòüýêâèâàëåíòíà ôóíêöèè4p ∈ C24U ⊂ C2g : V ε,k → C,êðàòíîñòèòî÷êèãäåp,f (z, w) = z 2 + Pn (w)k−1ñóùåñòâóþòòàêèå ÷òî ôóíêöèÿf |U 4g(z, w) = z 2 + wk + f (p),4V ε,k = {(z, w) ∈ C2 | |z 2 + wk | ≤ ε, |w| ≤ (2ε)1/k }.Äîêàçàòåëüñòâî.ε>(3.1.2)Ïóñòü p = (z0 , w0 ) êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, òîãäà z0 = 0 èf (z, w) = z 2 +(w−w0 )k Qn−k (w)+f (p), ãäå Qn−k (w) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n−k ,ïðè÷åì Qn−k (w0 ) 6= 0.

Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü U12 ⊂ C òî÷êè w0 òàêóþ, ÷òîäëÿ ëþáîé òî÷êè w ∈ U12 âûïîëíåíî |Qn−k (w) − Qn−k (w0 )| < |Qn−k (w0 )|.  U12êîððåêòíî îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå ϕ :ãäå√kU12p→ C, w →7 w̃ = (w−w0 ) k Qn−k (w), îäíà èç âåòâåé â U12 . Ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U22 ⊂ U12 òî÷êè w0òàêàÿ, ÷òî ϕ|U22 : U22 → ϕ(U22 ) äèôôåîìîðôèçì. Âûáåðåì ε > 0 òàêîå, ÷òî444V ε,k ⊂ C×(ϕ(U22 )) = (idC ×ϕ)(C×U22 ). Ïîëîæèì U := U22 ∩(idC ×ϕ)−1 (V ε,k ),44òîãäà (idC × ϕ)|U 4 : U → V ε,k äèôôåîìîðôèçì, è g ◦ (idC × ϕ)(z, w) =p4g(z, (w−w0 ) k Qn−k (w)) = z 2 +(w−w0 )k Qn−k (w)+f (p) = f (z, w), (z, w) ∈ U .Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 3.1.17((êîìïëåêñíàÿ ëåììà Ìîðñà)). Ñîãëàñíî ëåììå 3.1.16 ïðèk = 2, äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ãàìèëüòîíèàíà f (z, w) è ëþáîé åãî ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ∈ C2 ñóùåñòâóåò ε > 0 è çàìêíóòàÿ îêðåñò934íîñòü U ⊂ C2 òî÷êè p ∈ U 4 òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f |U 4 ýêâèâàëåíòíà ôóíê44öèè g : V ε → C â îêðåñòíîñòè V ε ⊂ C2 , ãäå g(z, w) = z 2 + w2 + f (p) è4V ε = {(z, w) ∈ C2 | |z 2 + w2 | ≤ ε, |w| ≤4√2ε}.

 äåéñòâèòåëüíîñòè, óêà-4çàííûå ñëîåíèÿ â U è V ε ñèìïëåêòîìîðôíû îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû ωC = dz ∧ dw [7]. Òàêèå îñîáåííîñòè ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ èìåþòòèï ôîêóñ-ôîêóñ [7]. Äëÿ êîìïàêòíûõ ñëîåâ ëàãðàíæåâî ñëîåíèå ñ îñîáåííîñòüþ òèïà ôîêóñ-ôîêóñ îïèñàíî â [7, ïðèëîæåíèå 3].Ïî ëåììå Ìîðñà â îêðåñòíîñòè ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ìíîãî÷ëåí f èìååò âèä f = (z 1 )2 + (z 2 )2 + c, â íåêîòîðûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõz 1 , z 2 , c ∈ C.

Ïîýòîìó êðàòíîñòü êðèòè÷åñêîé òî÷êè p ðàâíà 1 (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.13).3.1.3Íàáîðû êðàòíîñòåé êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà îñîáûõ ñëîÿõÒåîðåìà 23((Ð. Òîì [45, òåîðåìà (1)])).Ëþáîé ñèñòåìå{ξj }sj=1ðàçëè÷íûõêîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ëþáîé ñèñòåìå íàáîðîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë1 ≤ j ≤ s,òàêèõ ÷òî ïðè ëþáîìj ∈ [1, s]âûïîëíåíîkjPkj(pij )i=1,(pij + 1) ≤ nèi=1kjs PPpij = n − 1,ìîæíî ñîïîñòàâèòü ìíîãî÷ëåí P = Pn (w) ñòåïåíè n,j=1 i=1sèìåþùèé ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé {ξj }j=1 è íàáîð êðàòíîñòåékj(pij )i=1êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èçP −1 (ξj )äëÿ êàæäîãîj ∈ [1, s].Äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f (z, w) = z 2 + Pn (w) îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ îñîáûõ çíà÷åíèé ÷åðåç s(f ), à êîëè÷åñòâî êðèòè÷åñêèõòî÷åê íà îñîáîì ñëîå Tξj = f −1 (ξj ) ÷åðåç kj , 1 ≤ j ≤ s(f ).

Íàáîð êðàòíîkjñòåé êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà îñîáîì ñëîå Tξj îáîçíà÷èì (pij )i=1, à ñóììó ýòèõ94êðàòíîñòåé îáîçíà÷èì µj :=kjPpij , 1 ≤ j ≤ s(f ). Èç òåîðåìû Òîìà (ñì. òåîðå-i=1ìó 23) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå î êîëè÷åñòâàõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åêíà îñîáûõ ñëîÿõ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ.Ñëåäñòâèå 3.1.18.

Ïóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíf (z, w) = z 2 + Pn (w)ñòåïåíè1)µ1 + · · · + µs(f ) = n − 1,2)kj ≤ µj , kj + µj ≤ nn ∈ N.äëÿ ëþáîãîÂåðíî îáðàòíîå: äëÿ ëþáûõ ÷èñåëÒîãäà:j = 1, . . . , s(f ).s ∈ N ∪ {0}, k1 , . . . , ks , µ1 , . . . , µs ∈ N,âëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 1) è 2) âûøå, ëþáîãî ðàçáèåíèÿâ ñóììókjñëàãàåìûõ,1 ≤ j ≤ s,è ëþáûõ ðàçëè÷íûõ òî÷åêñóùåñòâóåò ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèèìåþùèé ðîâíîsTξjèìååòñÿ ðîâíîkjêàæäîãîµjξ1 , . . . , ξ s ∈ Cn = µ1 + · · · + µs + 1,ðàçëè÷íûõ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé, ðàâíûõ÷åì íà îñîáîì ñëîåìèkj(pij )i=1óäî-ξ1 , . .

. , ξ s ,ïðè-êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ñ êðàòíîñòÿ-kp1j , . . . , pj j , j = 1, . . . , s.3.2Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè (ëîêàëüíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé)Àíàëîãè÷íî (3.1.2), äëÿ ëþáûõ n ∈ N, ε > 0 îáîçíà÷èì4V ε,n := {(z, w) ∈ C2 | |z 2 + wn | ≤ ε, |w| ≤ (2ε)1/n },4Vε,n22n1/n:= {(z, w) ∈ C | |z + w | ≤ ε, |w| < (2ε)Ïðåäëîæåíèå 3.2.1}.(3.2.1)((òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè êðèòè-÷åñêîé òî÷êè ÷åòíîé êðàòíîñòè)).Ïðè ÷åòíîì95n ∈ Näëÿ ëþáûõε > 0èξ0 ∈ Côóíêöèÿ4g = gn : V ε,n → C, g(z, w) = z 2 + wn + ξ0 ,ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèF([−1, 0− ] [0+ , 1]))/ ∼,ùèìèn+14→ C,q = qn : Mε,nãäåòîïîëîãè÷åñêè4= ([0, ε] × S 1 × S 1 ×Mε,nîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè∼ïîðîæäåíî ñëåäóþ-îòíîøåíèÿìè:(r, ϕ mod 2π, ϕ+t+2πkmod 2π, 0− ) ∼1,k (r, ϕ mod 2π, −ϕ+t−2πkmod 2π, 0+ ),nn(0, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) ∼2 (0, 0 mod 2π, ψ mod 2π, h),(3.2.2)F0 ≤ k < n, r ∈ [0, ε], ϕ mod 2π, ψ mod 2π ∈ R/2πZ, t ∈ [−π, π], h ∈ [−1, 0− ] [0+ , 1],q(r, ϕ mod 2π, ψ mod 2π, h) = reiϕ + ξ0 .[−1, 0− ]è4Çäåñü0+ := 0 ∈ [0+ , 1], 0− := 0 ∈24) = Dξ0 ,ε .g(V ε,n ) = q(Mε,nÇàìå÷àíèå 3.2.2.(À) (Èñ÷åçàþùàÿ îêðóæíîñòü èëè èñ÷åçàþùèé ãðàô).4:= ([0, ε]×S 1 ×S 1 ×([−1, 0− ]t[0+ , 1]))/ ∼ ïîëó÷åíî èç òðèÏðîñòðàíñòâî Mε,n4:= [0, ε]×S 1 ×S 1 ×([−1, 0− ]t[0+ , 1])âèàëüíî ðàññëîåííîãî ïðîñòðàíñòâà M̃ε,nïóòåì îòîæäåñòâëåíèé, îïèñàííûõ â (3.2.2) è èìåþùèõ ñëåäóþùèé ãåîìåò4êàæäûé ñëîé {(r, ϕ mod 2π)} × S 1 ×ðè÷åñêèé ñìûñë.

 ïðîñòðàíñòâå M̃ε,n([−1, 0− ] t [0+ , 1]) ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì äâóõ öèëèíäðîâ, ïðè÷åì ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ∼1 , ïîðîæäåííîå íàáîðîì ñîîòíîøåíèé ∼1,k ôîðìóëû (3.2.2), 0 ≤ k < n, ïðåâðàùàåò ñëîé â ñâÿçíóþ äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü ðîäàn−22ñ êðàåì èç äâóõ êîìïîíåíò, îòîæäåñòâëÿÿ âåðõíåå îñíîâà-íèå ïåðâîãî öèëèíäðà, ðàçáèòîå íà n ðàâíûõ äóã (êîòîðûå ïîìåòèì ïîñëåäîâàòåëüíî ñèìâîëàìè a1 , .

. . , an ïðè ïîëîæèòåëüíîì îáõîäå îñíîâàíèÿ öèëèíäðà), ñ íèæíèì îñíîâàíèåì âòîðîãî öèëèíäðà, ðàçáèòûì íà n ðàâíûõäóã (êîòîðûå ïîìåòèì ïîñëåäîâàòåëüíî ñèìâîëàìè an , . . . , a1 ïðè ïîëîæèòåëüíîì îáõîäå îñíîâàíèÿ öèëèíäðà), ïðè÷åì ïåðâîå ðàçáèåíèå íà äóãè ïî96âåðíóòî íà óãîë ϕ/n â íàïðàâëåíèè ñâîåé îðèåíòàöèè, à âòîðîå ðàçáèåíèå íà òîò æå óãîë â íàïðàâëåíèè ïðîòèâîïîëîæíîì ñâîåé îðèåíòàöèè, ïðèïîìîùè ïîïàðíîãî ñêëåèâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ äóã ñ ó÷åòîì îðèåíòàöèè.Íà êàæäîì ñëîå ({(r, ϕ mod 2π)} × S 1 × ([−1, 0− ] t [0+ , 1]))/ ∼1 ïîëó÷àåìãðàô ({(r, ϕ mod 2π)} × S 1 × {0− , 0+ })/ ∼1 ñ äâóìÿ âåðøèíàìè è n ðåáðàìèa1 , .