Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòíà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.938.5+514.756.4Ëåïñêèé Òèìóð Àëåêñàíäðîâè÷Èíòåãðèðóåìîñòü êîìïëåêñíûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè â C201.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿäèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:Àêàäåìèê À.Ò. Ôîìåíêî,Äîöåíò Å.À.

ÊóäðÿâöåâàÌîñêâà 2011ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå14Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè è ìíîãîóãîëüíèêè Íüþòîíà1.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2Îáçîð èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ ïî òîïîëîãèè ñëîåâ1.31.4. . . . . . . . 291.2.1Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñâÿçíîñòè ñëîÿ . . . . . . .

. . . . . 291.2.2Òîïîëîãèÿ ñëîÿ íåâûðîæäåííîãî ìíîãî÷ëåíà . . . . . . . 30Ïîâåäåíèå ãàìèëüòîíîâà ïîëÿ â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõíà ïîïîëíåííîì ñëîå225Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Ãàìèëüòîíîâà êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì ñ ýëëèïòè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè 1,2,3,4492.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿ . .

. . . . . . . . . . . . . . . 492.2Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè îäèí . . . . . . . . . 552.3Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè äâà . . . . . . . . . 562.4Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè òðè . . . . . . . . . 612.5Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè ÷åòûðå . . . . . . . 7313Òîïîëîãèÿ ëàãðàíæåâûõ ñëîåíèé3.187Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è óòâåðæäåíèÿ . . . . . . .

. . . . . . . . . . 873.1.1Âàæíûé êëàññ êîìïëåêñíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì . . . 893.1.2Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû: òîïîëîãèÿ íåîñîáîãîñëîÿ, ëîêàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.33.2Íàáîðû êðàòíîñòåé êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà îñîáûõ ñëîÿõ . 94Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè (ëîêàëüíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé) .

. . . . . . . . . . . 953.3Òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè ñëîÿ(ïîëóëîêàëüíàÿ òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé) . 1064Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ4.1116Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ íå÷åòíîé ñòåïåíè. . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1164.1.1Ïåðèîäè÷íîñòü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé íà íóëåâîì ñëîå1194.1.2Ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ íà ñëîÿõ, áëèçêèõ ê íóëåâîìó . . . . . . . 1254.1.3Êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë è ôóíêöèè ïåðåõîäà. Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ . . . .

. . . . . . 1294.2Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ ÷åòíîé ñòåïåíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2.1Ïåðèîäè÷íîñòü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé íà íóëåâîì ñëîå14124.2.2Ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ íà ñëîÿõ, áëèçêèõ ê íóëåâîìó . . . . . . . 1484.2.3Êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë è ôóíêöèè ïåðåõîäà. Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ . . . . . . .

. . . 151Ëèòåðàòóðà1613ÂâåäåíèåÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîcâÿùåíà ðåøåíèþ ðÿäà ïðîáëåì â àêòèâíî ðàçâèâàþùåéñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, êîòîðûå èãðàþò âàæíóþ ðîëü ïðè îïèñàíèè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ áåç äèññèïàöèè. Âàæíûìè âîïðîñàìè â òåîðèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ ïîëíîòû ïîòîêà, îïèñûâàþùåãî ñèñòåìó (íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåìû ïî Ëèóâèëëþ), è çàäà÷è êëàññèôèêàöèè (ñ òî÷íîñòüþ äîðàçëè÷íûõ îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè) òàêèõ ñèñòåì.Ïóñòü M 2n ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ω ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íàM 2n , H : M 2n → R ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåìàÿãàìèëüòîíèàíîì,èïóñòü sgrad H ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå ñ ãàìèëüòîíèàíîì H íà M 2n .Ñëåäóÿ [7, Ÿ1.5], ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó (M 2n , ω, H) íàçîâåìðóåìîé(èëèèíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ),âïîëíå èíòåãðè-åñëè ñóùåñòâóåò íàáîð ãëàäêèõôóíêöèé f1 = H, f2 , . .

. , fn : M 2n → R, òàêîé ÷òî:1) f1 , . . . , fn ïåðâûå èíòåãðàëû sgrad H ;2) f1 , . . . , fn ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû íà M 2n , òî åñòü ïî÷òè âñþäó íàM 2n èõ ãðàäèåíòû ëèíåéíî íåçàâèñèìû;3) {fi , fj } = 0 ïðè ëþáûõ i, j = 1, . . . , n;4) âåêòîðíûå ïîëÿ sgrad fi , i = 1, . . . , n ïîëíû, òî åñòü åñòåñòâåííûé ïàðà-4ìåòð íà èõ òðàåêòîðèÿõ îïðåäåëåí íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.Åñëè âûïîëíåíû ëèøü óñëîâèÿ 13 (à óñëîâèå ïîëíîòû ïîòîêîâ íå îáÿçàòåëüíî âûïîëíåíî), òî ñèñòåìó ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íàáîðîì ïåðâûõ èíòåãðàëîâ f1 , . . . , fn íàçîâåìèíòåãðèðóåìîé.Åñëè åñòåñòâåííûé ïàðàìåòð íà òðàåêòîðèÿõ õîòÿ áû îäíîãî èç êîììóòèðóþùèõ âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad fi , i = 1, . .

. , n îïðåäåëåí íå íà âñåé ÷èñëîâîéïðÿìîé, òî íàáîð âåêòîðíûõ ïîëåé è íàáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîòîêîâ íàçîâåìíåïîëíûìè,à ñèñòåìó èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ íåïîë-íûìè ïîòîêàìè.Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà (R2 \ {O}, dx ∧ dy, −y), çàäàííàÿ íà R2 \ {O}âåêòîðíûì ïîëåì v = (1, 0) â ñòàíäàðòíûõ êîîðäèíàòàõ x, y íà R2 , ãäå O ∈ R2 íåêîòîðàÿ òî÷êà, ñì.

ðèñ. 1. Îäíàêî â äàííîì ïðèìåðå îñîáåííîñòü âåêòîðíîãî ïîëÿ v â òî÷êå O ÿâëÿåòñÿóñòðàíèìîé,ïîñêîëüêó ìîæíî òàê îïðåäå-ëèòü âåêòîðíîå ïîëå v â òî÷êå O ∈ R2 , ÷òî, âî-ïåðâûõ, âåêòîðíîå ïîëå v áóäåòîïðåäåëåíî êîððåêòíî íà âñåì R2 , à, âî-âòîðûõ, ïîòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîðíîìó ïîëþ v , áóäåò ïîëíûì. Äàííûé ïðèìåð ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòüêàê ïðèìåð äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, çàäàííîé âåêòîðíûì ïîëåì v = (1, 0) íàR2 \ {O}, äëÿ êîòîðîé âåêòîðíûå ïîëÿ v = (1, 0) è u = (0, 1) âñþäó ëèíåéíî íåçàâèñèìû, êîììóòèðóþò è îáëàäàþò íåïîëíûìè ïîòîêàìè.

Ïðèìåðîìäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñíåóñòðàíèìîé îñîáåííîñòüþè íåïîëíûìè êîììó-òèðóþùèìè ïîòîêàìè ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà íà C \ {0}, çàäàííàÿ âåêòîðíûì ïîëåì v = z −(n+1) â ñòàíäàðòíîé êîîðäèíàòå z íà C, ñ ïàðîé êîììóòèðóþùèõâåêòîðíûõ ïîëåé v è i v , ãäå n ∈ N. Òàêàÿ îñîáåííîñòü íàçûâàåòñÿ5ïîëþñîìïîðÿäêàn + 1, åå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.Ðèñ. 1: Óñòðàíèìàÿ îñîáåííîñòüÐèñ. 2: Ïîëþñ ïîðÿäêà 2 êëàññè÷åñêèõ ðàáîòàõ ïî èññëåäîâàíèþ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì:1) ñèñòåì, âîçíèêàþùèõ â ìåõàíèêå è îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà,2) ñèñòåì, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà íà êîìïàêòíûõ àëãåáðàõ Ëè(ñì. [1], [2], [8], [6], [5], [11], [13], [17], [18]) áåçóñëîâíî âûïîëíÿëîñü óñëîâèåïîëíîòû ïîòîêîâ, ÷òî ïîçâîëÿëî èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó Ëèóâèëëÿ (ñì. [7]) äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ òàêèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.

Òàê êàêäëÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè, ïî-âèäèìîìó, íåèçâåñòíûíèêàêèå àíàëîãè òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, òî êëàññ òàêèõ ñèñòåì ïðåäñòàâëÿåòñÿâåñüìà òðóäíûì äëÿ èçó÷åíèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì À.Ò. Ôîìåíêî ïîñòàâèë çàäà÷óîá îáîáùåíèè òåîðåìû Ëèóâèëëÿ íà ñëó÷àé èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè, à èìåííî: îïèñàíèå òîïîëîãèè ñëîÿ, îïèñàíèå ëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ â îêðåñòíîñòè ñëîÿ, ïîñòðîåíèå àíàëîãà ïåðåìåííûõäåéñòâèå-óãîë. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî çàäà÷à äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòèïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñàìà ïî ñåáå íåòðèâèàëüíà. Ýòèì, ïîâèäèìîìó, îáúÿñíÿåòñÿ òî, ÷òî èññëåäîâàíèÿ óñëîâèÿ ïîëíîòû ïîòîêîâ äëÿèíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ïîÿâèëèñü ñîâñåì íåäàâíî â ðàáîòàõW. Gordon [39], À.Þ.

Ìîñêâèíà, Ä.Â. Íîâèêîâà.6 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì(0.0.1)(C2 , Re(dz ∧ dw), Re(f (z, w))),îáëàäàþùèõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íåïîëíûìè ïîòîêàìè, ãäå f (z, w) ìíîãî÷ëåí äâóõ êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ è Im(f (z, w)) ïåðâûé èíòåãðàëñèñòåìû. Òàêîé êëàññ ñèñòåì áûë ïðåäëîæåí äëÿ èññëåäîâàíèÿ À.Ò. Ôîìåíêî è À.È. Øàôàðåâè÷åì, ïîñêîëüêó îí òåñíî ñâÿçàí ñ êâàíòîâàíèåì êîìïëåêñíûõ ìíîãîîáðàçèé, â ÷àñòíîñòè, ñ îïèñàíèåì êâàíòîâûõ ñèñòåì ÊàëîäæåðîÑòðîêêè, ñì.

[12]. Ïîä C-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìîé(MC2 , ωC , f ),ãäå MC2 äâóìåðíîå êîìïëåêñíîå ìíîãîîáðàçèå, dimC MC2 = 2, ωC çàìêíóòàÿ íåâûðîæäåííàÿ ãîëîìîðôíàÿ 2-ôîðìà íà MC2 , f : MC2 → C ãîëîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ, áóäåì ïîíèìàòü äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, çàäàííóþ êîìïëåêñíûìè óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà ẋ(t) = sgrad C f |x(t) , ãäå x = (x1 , x2 ) ëîijij∂f 2êàëüíûå êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû, sgrad C f := (ωC ∂xj )i=1 , ωC êîìïîíåíòûîáðàòíîé ìàòðèöû ê ìàòðèöå 2-ôîðìû ωC â êîîðäèíàòàõ (x1 , x2 ), ïàðàìåòð tïðåäïîëàãàåòñÿ âåùåñòâåííûì.