Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 11

Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ñòðîÿòñÿ (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ëèóâèëëÿ) âåùåñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë(I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2π) : Ũξ0 → D2 × T2(2.4.3)äëÿ ïîïîëíåíèÿ (M 4 , Re ω C , Re f ) ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (C2 , Re ωC , Re f )ñ äîïîëíèòåëüíûì ïåðâûì èíòåãðàëîì Im f , îïðåäåëåííûå â ìàëîé îêðåñòíîñòè Ũξ0 =STξ ⊂ M 4 ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿ Tξ0 è ïðèíèìàþùèå çíà-|ξ−ξ0 |<ε̃÷åíèÿ â îáëàñòè D2 × T2 , ãäå D2 ⊂ R2 îáëàñòü, ãîìåîìîðôíàÿ îòêðûòîìó70êðóãó, ε̃ = ε̃(ξ0 ) > 0 äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî.

Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ óãîë íà ìíîæåñòâå áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê pξ ∈ Ũξ0 ìîæåò áûòüâûáðàíî ðàâíûì (ϕ1 mod 2π)(pξ ) = (ϕ2 mod 2π)(pξ ) = 0 mod 2π . Òåì ñàìûìèíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H3 (a, b, c, d, e) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.3.Ðèñ. 2.3: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû H3 (a, b, c, d, e)Ñëåäñòâèå 2.4.6(Âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ èñõîäíîéñèñòåìû).

Âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2πâ îêðåñòíîñòèŨξ0íåîñîáîãî ñëîÿTξ0âM4äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû(M 4 , Re ω C , Re f ) ìîãóò áûòü âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ îãðàíè÷åíèåT2íà CŨξ0 çàäàåò âåùåñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòèñëîÿTξ0äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû÷åíèÿ â îáëàñòè(C2 , Re ωC , Re f ),D2 × (T2 \ {(0, 0) modd 2π}).íîñòè ïåðâûå èíòåãðàëûÄîêàçàòåëüñòâî.Re fèIm fïðèíèìàþùèå çíà-Ïðè ýòîì â óêàçàííîé îêðåñò-ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îòI1 , I2 .Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü Λ := {pξ | ξ ∈ C} = M 4 \ C2 ,ñîñòîÿùóþ èç áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê.

Ïóñòü v ∈ Tpξ Λ, v 6= 0, òîãäà ïàðà(v, iv) áàçèñ â Tpξ Λ. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ω(v, iv) = Re ωC (v, iv) =710, îòêóäà Λ ëàãðàíæåâà ïîâåðõíîñòü â M 4 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåííûåóãîë ìîæíî âûáðàòü (äëÿ çàäàííûõ ïåðåìåííûõ äåéñòâèå) òàêèì îáðàçîì,÷òî (ϕ1 mod 2π)(pξ ) = (ϕ2 mod 2π)(pξ ) = 0 mod 2π , |ξ − ξ0 | < ε̃.Îòìåòèì, ÷òî àíòèêàíîíè÷åñêàÿ èíâîëþöèÿ (z, w) 7→ (−z, w) ñîõðàíÿåòãàìèëüòîíèàí f è íà êàæäîì íåîñîáîì ñëîå Tξ èìååò ÷åòûðå íåïîäâèæíûåòî÷êè, âêëþ÷àÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó pξ .  êîîðäèíàòàõ (ξ, u) èç îïðåäåëåíèÿ 2.4.4 ýòà èíâîëþöèÿ èìååò âèä (ξ, u) 7→ (ξ, −u), ñì. (2.4.1) è (2.4.2). âåùåñòâåííûõ êîîðäèíàòàõ äåéñòâèå-óãîë èç ñëåäñòâèÿ 2.4.6 èíâîëþöèÿèìååò âèä (I1 , I2 , ϕ1 mod 2π, ϕ2 mod 2π) 7→ (I1 , I2 , −ϕ1 mod 2π, −ϕ2 mod 2π).Ñëåäñòâèå 2.4.7.

ÄëÿíîñòèUξ0ñòâèå(I1 , I2 )C-ãàìèëüòîíîâîéíåîñîáîãî ñëîÿíà ñëîåñèñòåìûTξ0 ⊂ Uξ0 , ξ0 ∈ C \ Σf ,Tξ ⊂ Uξ0H3 (a, b, c, d, e)â îêðåñò-çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò äåé-ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî ôîðìóëàì:1I` (Tξ ) = ReπZzξ (w)dw,` = 1, 2,γξ,`qξ−bw3 −cw2 −dw−e îäíà èç äâóõ âåòâåé, íåïðåðûâíî çàâèñÿùàÿaãäåzξ (w) =îòξ , γξ,1 , γξ,2 : [0, 1] → Cwξ,2âwξ,3 ïðîñòûå ïóòè, âåäóùèå èçwξ,1âwξ,3ñîîòâåòñòâåííî, ïåðåñåêàþùèåñÿ òîëüêî â êîíå÷íîé òî÷êåè íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îòcw2 + dw + e = ξ ,îòâå÷àåò öèêëó íàξ , wξ,m , m = 1, 2, 3íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îò êîðíè óðàâíåíèÿξ.è èçwξ,3bw3 +Ïåðåìåííàÿ äåéñòâèÿI`Tξ , ïîëó÷åííîìó ïîñëåäîâàòåëüíîìó ïðîõîæäåíèþ ïóòè(zξ (γξ,` (t)), γξ,` (t)), t ∈ [0, 1], è ïóòè (−zξ (γξ,` (1 − t)), γξ,` (1 − t)), t ∈ [0, 1], ` =1, 2.722.5Ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñòåïåíè ÷åòûðåÎïðåäåëåíèå 2.5.1.C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì ãà-ìèëüòîíèàíîì ñòåïåíè ÷åòûðåíàçûâàåòñÿ òðîéêà (C2 , ωC , f ), ãäå C2 =C2 (z, w), f (z, w) = az 2 + bw4 + cw3 + dw2 + ew + k , a, b, c, d, e, k ∈ C, ab 6= 0è ωC = dz ∧ dw.

Îáîçíà÷èì ýòó ñèñòåìó ÷åðåç H4 (a, b, c, d, e, k). ÑèñòåìóH4 (a, b, c, d, e, k) íàçîâåìíåâûðîæäåííîé,åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ðîâíî òðèðàçëè÷íûõ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿ (ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî f êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ Ìîðñà, ñì. ëåììó 2.5.2 íèæå).Ëåììà 2.5.2.

Âñÿêàÿr, s, p ∈ C, rs 6= 0,C-ãàìèëüòîíîâàñèñòåìàèìååò íå áîëåå òðåõ îñîáûõ ñëîåâíåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìîãóò ñîâïàäàòü, ãäå t1√t3 =−3(p+1)+9(p+1)2 −32p.8j ∈ {1, 2, 3}= 0, t2 =Tf (0,tj ) , j = 1, 2, 3,√2−3(p+1)−9(p+1) −32p,8C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H4 (r, s, s(p+1), sp, 0, 0, 0)√íåâûðîæäåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàëþáîãîH4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0),ñóùåñòâóåòrs 6= 0C-ãàìèëüòîíîâàèp∈/ {0, ±1, 7±4i9ñèñòåìà2}.ÄëÿH4 (r1 , s1 , s1 (p1 +1), s1 p1 , 0, 0), ãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíàÿ H4 (r, s, s(p+1), sp, 0, 0) ñ ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòüþÄîêàçàòåëüñòâî.√hjòàêîé, ÷òîÏîëîæèì q =hj (0, tj ) = (0, 0).p9(p + 1)2 − 32p äëÿ ïðîèçâîëüíîé âåòâè.

Îñîáûå ñëîè ñèñòåìû îòâå÷àþò çíà÷åíèÿì f (pj ), j = 1, 2, 3, ãäå p1 =(0, 0), p2 = (0, t2 ), p3 = (0, t3 ), ãäå t2 =−3(p+1)−q,8−3(p+1)+q.8t3 =f (z, w) = rz 2 + sw2 (w + 1)(w + p), òî f (0, t2 ) = s (q+3p+3)f (0, t3 ) = s (q−3p−3)2(q+5p−3)(−q+3p−5).2122Òàê êàê(−q+5p−3)(q+3p−5)212èÍåâûðîæäåííîñòü ñèñòåìû îçíà÷àåò, ÷òîçíà÷åíèÿ f (pj ), j = 1, 2, 3 ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî√ïîñëåäíåå óñëîâèå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî p ∈/ {0, ±1, 7±4i9732}.

Ðàññìîòðèì òðèêàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿ: h1 : (z, w) 7→ (z, w),√ p122,−αw),ãäåα=(7+9p+q+3pq+2h2 : (z, w) 7→ ( z−t2 5 − 6p + 5p2 + q + pq),−α8√ p123,−αw),ãäåα=(7+9p+q+3pq−2h3 : (z, w) 7→ ( z−t2 5 − 6p + 5p2 + q + pq).−α8Äàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì ëåììû.C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H4 (a, b, c, d, e, k)Òåîðåìà 19. Âñÿêàÿ íåâûðîæäåííàÿãàìèëüòîíîâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå H4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0) äëÿ íåêîòî√ðûõ r, s, p ∈ C, rs 6= 0, p ∈/ {0, ±1, 7±4i9 2 }.

Äâå íåâûðîæäåííûå C-ãàìèëüòîíîâûñèñòåìûH4 (r1 , s1 , s1 (p1 + 1), p1 , 0, 0)èH4 (r2 , s2 , s2 (p2 + 1), s2 p2 , 0, 0)òîíîâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèáîp1 = p2 , ëèáî r1 =òî÷êè(0, 0)r2,p22s1 = s2 p42èp1 =r1 = r2 , s1 = s2è1p2 , ïðè óñëîâèè òîãî, ÷òî îáðàç îñîáîéîòíîñèòåëüíî ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâåíÄîêàçàòåëüñòâî.ãàìèëü-(0, 0).Ïóñòü w1 êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè bw4 + cw3 + dw2 +ew + k , òîãäà f (z, w) = az 2 + b(w − w1 )2 (w − α)(w − β) + γ , ãäå α, β, γ ∈ C,α, β 6= w1 è α 6= β , f (0, w2 ) 6= f (0, w3 ), ãäå w2 è w3 äâå äðóãèå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè bw4 + cw3 + dw2 + ew + k . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå1h : C2 → C2 ôîðìóëîé h : (z, w) 7→ (z(w1 − α), w−ww1 −α ).

Îòîáðàæåíèå h èñêîìàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äëÿ r =a(w1 −α)2 ,s = b(w1 − α)4 , p =w1 −βw1 −α .Ïóñòü ìåæäó ñèñòåìàìè H4 (r1 , s1 , s1 (p1 + 1), s1 p1 , 0, 0) è H4 (r2 , s2 , s2 (p2 +1), s2 p2 , 0, 0) çàäàíà ãàìèëüòîíîâà ýêâèâàëåíòíîñòü h. Îñîáûå ñëîè ñèñòåìîòâå÷àþò çíà÷åíèÿì fi (pi,j ), i = 1, 2 è j = 1, 2, 3, ãäå pi,1 = (0, 0), pi,2 =(0, ti,2 ), pi,3 = (0, ti,3 ), ãäå ti,2 =−3(pi +1)−qi,8ti,3 =−3(pi +1)+qi,8i = 1, 2, ãäåqi îïðåäåëåíî êàê â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.5.2. Òàê êàê fi (z, w) = ri z 2 +2si w2 (w + 1)(w + pi ), òî fi (0, ti,2 ) = si (qi +3pi +3)si (qi −3pi −3)2(qi +5pi −3)(−qi +3pi −5).21274(−qi +5pi −3)(qi +3pi −5)212è fi (0, ti,3 ) =Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð Ai,j â Tpi,j C2 îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèèâåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C fi = (−si (4w3 + 3(pi + 1)w2 + 2pi w), 2ri z)T â òî÷êå pi,j ,j = 1, 2, 3; â êîîðäèíàòàõ z, w îí çàäàåòñÿ ìàòðèöåéqi +3+3piqi −3−3pi0 −si qi 80 −si qi 80 −2si pi , Ai,3 = , , Ai,2 = Ai,1 = 2ri02ri02ri0iiîòêóäà det Ai,1 = 4ri si pi , det Ai,2 = ri si qi qi +3+3pè det Ai,3 = ri si qi qi −3−3p, ãäå44i = 1, 2.Ïóñòü ïðè îòîáðàæåíèè h âûïîëíåíî h(p1,j ) = p2,σ(j) , ãäå j = 1, 2, 3 èσ ∈ S3 íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà.

Èìååì A2,σ(j) ◦dh|p1,j = dh|p1,j ◦A1,j , ïîýòîìódet A1,j = det A2,σ(j) , è f1 (p1,k ) − f1 (p1,l ) = f2 (p2,σ(k) ) − f2 (p2,σ(l) ), ãäå j, k, l =1, 2, 3. Îòñþäà ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà âåëè÷èíû r2 , s2 , p2 , σ ∈ S3ïðè çàäàííûõ r1 , s1 , p1 , âûòåêàþùóþ èç ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ýòàñèñòåìà èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ ñî ñâîéñòâîì σ(1) = 1, à èìåííîðåøåíèå r2 = r1 , s2 = s1 , p2 = p1 , σ = id, è ðåøåíèå r2 =r1,p21s2 = s1 p41 , p2 =1p1 ,σ = (23).Ðåøåíèå r2 = r1 , s2 = s1 , p2 = p1 , σ = id ñîîòâåòñòâóåò ãàìèëüòîíîâîéýêâèâàëåíòíîñòè (z1 , w1 ) 7→ (z1 , w1 ) = (z2 , w2 ), à ðåøåíèå r2 =p2 =1p1 ,r1,p21s2 = s1 p41 ,σ = (23) ñîîòâåòñòâóåò ãàìèëüòîíîâîé ýêâèâàëåíòíîñòè (z1 , w1 ) 7→(p1 z1 , wp11 ) = (z2 , w2 ).Òåîðåìà 20.

Ïóñòüáîãî) ñëîÿgξTξTξñèñòåìû ïîïîëíåíèå ïðîèçâîëüíîãî (íåîáÿçàòåëüíî íåîñî-H4 (a, b, c, d, e, k) îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿ(òî÷íåå, îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ðàññòîÿíèÿρξ ,ñì. îïðåäåëåíèå 2.1.10).Òîãäà:1) âûïîëíåíîTξ = TξS{pξ,1 , pξ,2 },ãäå75pξ,1 , pξ,2 äâå òî÷êè, íàçûâàåìûåáåñêîíå÷íî óäàëåííûìè;2) åñëèTξ íåîñîáûé ñëîé, òî ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçìTξ ≈ T2 ;3) ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíàÿ êîîðäèíàòà â îêðåñòíîñòè êàæäîé èç áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åêpξ,j ∈ Tξ , j = 1, 2âTξ ,ÿâëÿþùàÿñÿC-äèôôåðåí-öèðóåìîé â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò äâå ëåììû, àíàëîãè÷íûå ëåììàì 2.4.2 è 2.4.3è ïðèâåäåííûå íèæå.Ëåììà 2.5.3. Äëÿ ëþáîãî (íå îáÿçàòåëüíî íåîñîáîãî) ñëîÿñòâóåò òàêîå ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâàC2Tξ , ξ ∈ C,ñóùå-çàìêíóòûìè ïîäìíîæåñòâàìè2Uξ,i ⊂ C2 , ãîìåîìîðôíûìè C × D ⊂ C × C, i ∈ N, ÷òî Uξ,i ⊂ Uξ,j ïðè i < j ,∞FSUξ,i = C2 , è äëÿ ëþáîãî i âûïîëíåíî Tξ \Uξ,i ≈ (D2 \{∗}) (D2 \{∗}), ãäåi=12D îòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê.Øàã 1.

Ñîãëàñíî ëåììå 2.1.11, äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C ñóùåñòâó-Äîêàçàòåëüñòâî.påò âåùåñòâåííîå ÷èñëî r0 (ξ) > 0 òàêîå, ÷òî îïðåäåëåíà âåòâü 4 bw4 + cw3 + dw2 + ew +22C \ Dr0 (ξ) → C, ÿâëÿþùàÿñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íà îáðàç, ãäå Dr0 (ξ) ⊂ Cw çàìêíóòûé äâóìåðíûé øàð ðàäèóñà r0 (ξ) ñ öåíòðîì â 0. Ïîëîæèì r0 := r0 (ξ).2Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå hξ : Cz × (Cw \ Dr0 ) → C2 ôîðìóëîé hξ (z, w) =√ p( az, 4 bw4 + cw3 + dw2 + ew + k − ξ), ãäå ôèêñèðîâàíà îäíà èç âåòâåé ó√√è 4 . Òîãäà hξ îïðåäåëåíî êîððåêòíî è ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì íàîáðàç, êîîðäèíàòàìè íà îáðàçå ÿâëÿþòñÿz̃ =Ïîëîæèì r̃0 :=√r4az,w̃ =p4bw4 + cw3 + dw2 + ew + k − ξ.(2.5.1)max |bw4 + cw3 + dw2 + ew + k − ξ|.

Äîêàæåì, ÷òî Uξ,i :=|w|≤r0762(C × Dr0 (ξ) )S2h−1ξ (C × D ri (ξ) ) èñêîìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ãäå ri = ri (ξ) =r̃0 + i. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Prz̃ : C2z̃,w̃ → C, ãäå Prz̃ (z̃, w̃) = z̃ .2Øàã 2. Äîêàæåì, ÷òî Prz̃ ◦ hξ (Tξ \ Uξ,i ) = Cz \ Dri (ξ)2 ≈ D2 \{0}.2Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî Prz̃ ◦ hξ (Tξ \ Uξ,i ) ⊆ Cz \ Dri (ξ)2 . Ïóñòü z̃0 ∈ (Prz̃ ◦hξ |Tξ \Uξ,i ), ðàññìîòðèì w̃0 òàêîå, ÷òî (z̃0 , w̃0 ) ∈ hξ (Tξ \ Uξ,i ), îòêóäà |w̃0 | > ri ,à çíà÷èò, |z̃0 | > ri2 .2Îáðàòíî, ïóñòü z̃0 ∈ C \ Dri2 , òîãäà ñóùåñòâóåò w̃0 òàêîå, ÷òî z̃02 + w̃04 = 0 è|w̃0 | > ri . Âñå êîðíè óðàâíåíèÿ bw4 +cw3 +dw2 +ew+k−ξ = w̃04 ðàçëè÷íû è ïîìîäóëþ áîëüøå r0 , îòêóäà (z̃0 , w̃0 ) ∈ hξ (Tξ \ Uξ,i ) è îòîáðàæåíèå Prz̃0 ◦hξ |Tξ \Uξ,i2ÿâëÿåòñÿ íåðàçâåòâëåííûì ÷åòûðåõëèñòíûì íàêðûòèåì ñ áàçîé C \ Dri2 ≈D2 \ {∗}.Øàã 3. Äîêàæåì, ÷òî íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî èìååò äâå êîìïîíåíòûñâÿçíîñòè.

Ðàññìîòðèì äâà ïîäíÿòèÿ γ̃± (t) = (ri2 eπit , ri e2πit±π4) çàìêíóòîãî ïó-òè γ(t) = ri2 eπit , 0 ≤ t ≤ 4, ïðè íàêðûòèè Prz̃ |hξ (Tξ \Uξ,i ) . Òîãäà êàæäûé èç γ̃± ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòü, äâóëèñòíî íàêðûâàþùèé ïðîñòîé çàìêíóòûé ïóòüγ(t), 0 ≤ t ≤ 2, îòêóäà íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî èìååò äâå êîìïîíåíòûñâÿçíîñòè.Ëåììà 2.5.4. Âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå2Tξ \ (C × DR )èx, yÄîêàçàòåëüñòâî.R → ∞, x, y ∈2Tξ \ (C × DR ).Ïóñòü f˜(z̃, w̃) = z̃ 2 + w̃4 , ω̃C = dz̃ ∧ dw̃ è ξ˜ = 0, òîãäàíà T̃0 = f˜−1 (0), −4w̃3 dz + 2z̃dw̃ =dw̃2z̃ ,ãäåëåæàò â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè˜0 =sgrad C f˜ = −4w̃3 ∂∂z̃ + 2z̃ ∂∂w̃ è ∆˜0 =∆ρξ (x, y) = o(1),îòêóäà g̃0 =|dw̃|24|z̃|2=−4w̃3 dz̃+2z̃dw̃16w̃6 +4z̃ 2 |T T̃0 .16w̃6 dw̃2z̃+ 2z̃dw̃ =Ïîñêîëüêó z̃ 2 + w̃4 = 016w̃6 +4z̃ 2dw̃2z̃íà T̃0 , çíà÷èò|dw̃|24|w̃|4 .Äàëåå, ïóñòü x0 è y0 òàêèå, ÷òî |x| = |x0 |, |y| = |y0 | è x0 = (iRx2 , Rx ),77y0 = (iRy2 , Ry ) äëÿ íåêîòîðûõ Rx > 0 è Ry > 0.

Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 2.5.3, òàêèå x0 , y0 ∈ f˜−1 (0) = T̃0 , ëåæàùèå â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè22) = Ṽ1), ñóùåñòâóþò. Ïóñòü T̃0 \ (C × DRT̃0 \ (C × DRFṼ2 è x0 , y0 ∈ Ṽ1 . Âåðíîíåðàâåíñòâî ρ̃0 (x, y) ≤ ρ̃0 (x, x0 ) + ρ̃0 (x0 , y0 ) + ρ̃0 (y0 , y).Îöåíèì ρ̃0 (x, x0 ) è ρ̃0 (y, y0 ). Ðàññìîòðèì äâóëèñòíîå íàêðûòèå p : Ṽ1 \ (C ×2DR ) → C, p(z̃, w̃) = w̃, îòêóäà ρ̃0 (x, x0 ) ≤ρ̃0 (y, y0 ) ≤πRy≤|w̃|=RxπRy .Îöåíèì ρξ (x0 , y0 ) ≤ |√1 4 |dw̃| =HR RyRx√dw |4w3≤1min{Rx ,Ry } .4RxπRx .Îòêóäà ρξ (x, y) ≤Àíàëîãè÷íîπ1Rx + min{Rx ,Ry } +8min(Rx ,Ry ) .2Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 2.5.3, øàã 1, â C × (C \ Dr0 (ξ) ) ñóùåñòâóåò√ pçàìåíà êîîðäèíàò hξ (z, w) = (z̃, w̃) = ( az, 4 bw4 + cw3 + dw2 + ew + k − ξ),24˜îòêóäà (f − ξ) ◦ h−1ξ = f = z̃ + w̃ . Îöåíèì ∆ξ : èìååì (hξ |T2−1ξ \hξ (C×D R )˜0 =)∗ ∆2Aξ ∆ξ , ãäå ôóíêöèÿ Aξ : Tξ \ (C × DR ) → C îïðåäåëåíà óñëîâèåì Aξ ωC =√4bw3 +3cw2 +2dw+eh∗ξ ω̃C .