Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 10

Âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåρξ (x, y) = o(1),ãäåR → ∞, x, y ∈2Tξ \ (C × DR ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü f˜(z̃, w̃) = z̃ 2 + w̃3 , ω̃C = dz̃ ∧ dw̃ è ξ˜ = 0, òîãäà˜0 =sgrad C f˜ = −3w̃2 ∂∂z̃ + 2z̃ ∂∂w̃ è ∆−3w̃2 dz̃+2z̃dw̃9w̃4 +4z̃ 2 |T T̃0 .64Ïîñêîëüêó z̃ 2 + w̃3 = 0íà T̃0 , −3w̃2 dz̃ + 2z̃dw̃ =îòêóäà g̃0 =|dw̃|24|z̃|2=9w̃4 dw̃2z̃+ 2z̃dw̃ =9w̃4 +4z̃ 2dw̃2z̃˜0 =íà T̃0 , çíà÷èò ∆dw̃2z̃ ,|dw̃|24|w̃|3 .3/2Äàëåå, ïóñòü x0 è y0 òàêèå, ÷òî |x| = |x0 |, |y| = |y0 | è x0 = (iRx , Rx ),3/2y0 = (iRy , Ry ) äëÿ íåêîòîðûõ Rx > 0 è Ry > 0.

Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâóëåììû 2.4.2, òàêèå x0 , y0 ∈ f˜−1 (0) =: Ṽ ñóùåñòâóþò. Âåðíî íåðàâåíñòâîρ̃0 (x, y) ≤ ρ̃0 (x, x0 ) + ρ̃0 (x0 , y0 ) + ρ̃0 (y0 , y).Îöåíèì ρ̃0 (x, x0 ) è ρ̃0 (y, y0 ). Ðàññìîòðèì äâóëèñòíîå íàêðûòèå p : Ṽ \(C ×22DR ) → C \ DR , p(z̃, w̃) = w̃, îòêóäà ρ̃0 (x, x0 ) ≤√1 3 |dw̃| =H|w̃|=Rxãè÷íî ρ̃0 (y, y0 ) ≤ √π .4Rx√π .RxÀíàëî-RyÎöåíèì ρ̃0 (x0 , y0 ) = |√1min{Rx ,Ry }+ √πRy≤√R RyRx√dw̃ |4w̃3≤ √1.min{Rx ,Ry }Îòñþäà ρ̃0 (x, y) ≤√πRx+8.min{Rx ,Ry }2Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 2.4.2, øàã 1, â C × (C \ Dr0 (ξ) ) ñóùåñòâóåò√çàìåíà êîîðäèíàò hξ (z, w) = (z̃, w̃) = ( az,p3bw3 + cw2 + dw + e − ξ), îòêó-23˜äà (f −ξ)◦h−1ξ = f = z̃ + w̃ .

Îöåíèì ∆ξ : èìååì (hξ |T2−1ξ \hξ (C×D R )˜ 0 = Aξ ∆ξ ,)∗ ∆2ãäå ôóíêöèÿ Aξ : Tξ \ (C × DR ) → C îïðåäåëåíà óñëîâèåì Aξ ωC = h∗ξ ω̃C .Òàê êàê Aξ =√√ √a 3 b ∈ C \ {0},3bw2 +2cw+d2 = A(1 + o(1)) ïðè R → ∞, ãäå A =3(bw3 +cw2 +dw+e−ξ) 32òî ρξ < |A|ρ̃0 . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî min{R1x ,Ry } = O( R1 ) ïðèaR → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 16.Ïóíêò 1 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ëåìì 2.4.2è 2.4.3. Äîêàæåì ïóíêòû 2 è 3. Èç ëåìì ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé ñëîé Tξ êîìïàêòåí. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå p : Tξ → C, ãäå p(z, w) = w ðàçâåòâëåííîå äâóëèñòíîå ñîõðàíÿþùåå îðèåíòàöèþ íàêðûòèå.

Îñîáûìè çíà÷åíèÿìè (òîåñòü îáðàçàìè òî÷åê, â êîòîðûõ p íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ãîìåîìîðôèçìîì)ÿâëÿþòñÿ êîðíè óðàâíåíèÿ bw3 + cw2 + dw + e − ξ = 0 è áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ65òî÷êà. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ðèìàíà-Ãóðâèöà, èìååì χ(Tξ ) = 2χ(C) − 4 = 0,îòêóäà Tξ ãîìåîìîðôíî òîðó.Ââåäåì êîîðäèíàòó uξ íà ñëîå Tξ â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êè ñîîòíîøåíèåì z̃ = iu−3 ,ξ w̃ = u−2 ,ξãäå uξ : Tξ \h−1ξ2Dr̃0 (ξ)(2.4.2)→ D2 − 1 \ {0}. Ïðîäîëæèì äèôôåîìîðôèçìr̃0 (ξ) 22−1uξ äî ãîìåîìîðôèçìà uξ : Tξ \ hξ C × Dr̃0 (ξ) → D2 − 1 â áåñêîíå÷íî óäàC×r̃0 (ξ)2ëåííóþ òî÷êó ñîîòíîøåíèåì uξ (pξ ) = 0.Îïðåäåëåíèå 2.4.4.C-ãàìèëüòîíîâûìïîïîëíåíèåìC-ãàìèëüòîíîâîé ñè-ñòåìû H3 (a, b, c, d, e), îáîçíà÷àåìûì H 3 (a, b, c, d, e), íàçîâåì C-ãàìèëüòîíîâóñèñòåìó (M 4 , ω C , f ), ãäå• ìíîæåñòâî M 4 =STξ := {(ξ, x)|ξ ∈ C, x ∈ Tξ } îáëàäàåò ñòðóêòóðîéξ∈CC-ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, çàäàâàåìîé ñëåäóþùèì íàáîðîì êàðò U ≈V, Uξ0 ≈ Vξ0 , ãäå U, Uξ0 ⊂ M 4 , ξ0 ∈ C, è ôóíêöèé ïåðåõîäà: êàðòà U ≈V := C2 (z, w), ñåìåéñòâî êàðò Uξ0 ≈ Vξ0 = {(ξ, u) ∈ C2 | |ξ − ξ0 | <ε, |u| < ε}, ξ0 ∈ C, ãäå ε = ε(ξ0 ) > 0, à ôóíêöèÿ ïåðåõîäà φξ0 : Vξ00 → V 0 ,ãäå V 0 := {(z, w) ∈ C2 | |f (z, w) − ξ0 | < ε, (z, w) ∈ h−1f (z,w) (Cz̃ × (Cw̃ \2Dr̃0 (f (z,w)) ))} è Vξ00 := Vξ0 \ {(ξ, 0) ∈ C2 | |ξ − ξ0 | < ε}, îïðåäåëåíà ñïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé (2.4.1) è (2.4.2): (ξ, u) 7→ (z, w) := h−1ξ (z̃ =iu−3 , w̃ = u−2 );• âûïîëíåíî ω C |U = ϕ∗ ωC è f |U = f ◦ ϕ, ãäå ϕ : U → V êîîðäèíàòíûéãîìåîìîðôèçì äëÿ êàðòû U ≈ V .66Îòìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ M 4 òî÷êè pξ1 6= pξ2 ðàçëè÷íû ïðè ξ1 6= ξ2 .Äàëåå áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ìíîæåñòâî C2 = V ñ îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîìU ⊂ M 4 ïðè ïîìîùè êîîðäèíàòíîãî ãîìåîìîðôèçìà ϕ : U → V .Òåîðåìà 17(Ñóùåñòâîâàíèå C-ãàìèëüòîíîâà ïîïîëíåíèÿ).ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû(C2 , ωC , f ) = H3 (a, b, c, d, e)Äëÿ ëþáîéC-âûïîëíåíû ñëåäóþùèåñâîéñòâà:1) äëÿ ëþáîãîξ0 ∈ Cφξ0 : Vξ00 → V 0ôóíêöèÿèíúåêòèâíà è èìååò âñþäóíåíóëåâîé ÿêîáèàí;2) íà êîìïëåêñíîì ìíîãîîáðàçèèôóíêöèÿ ÃàìèëüòîíàfM 4 C-äèôôåðåíöèàëüíàÿ2-ôîðìàωCèîïðåäåëåíû êîððåêòíî è ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêè-ìè;3) 2-ôîðìàÿâëÿåòñÿωCíåâûðîæäåíà, òî åñòü âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ íàC-ñèìïëåêòè÷åñêîéÒàêèì îáðàçîì, ëþáàÿñòâåííîåM4èñòðóêòóðîé.C-ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà H3 (a, b, c, d, e) èìååò åäèí-C-ãàìèëüòîíîâîÒåîðåìà 18.

Äëÿ ëþáîéïîïîëíåíèå(M 4 , ω C , f ).C-ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (C2 , ωC , f ) = H3 (a, b, c, d, e)âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:1) êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèèñèñòåìûH 3 (a, b, c, d, e)2) âåêòîðíûå ïîëÿâíå òî÷åêfñîäåðæàòñÿ âf ; H3 (a, b, c, d, e)C2ñëîéè ñîâïàäàþò ñ êðè-Tξ C-ãàìèëüòîíîâîéÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì;sgrad C fèi sgrad C fïîëíû íàM4è íå èìåþò íóëåép1 , p 2 ∈ C .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 17 è 18.Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2.4.2, øàã 1, èôîðìóëû (2.4.2) ñëåäóåò, ÷òî φξ0 èíúåêòèâíî, è ÷òî â êîîðäèíàòàõ (z̃, w̃) :=672∗hξ0 (z, w) â C2z,w \ (C × Dr0 (ξ0 ) ) 2-ôîðìà (h−1ξ0 ) ωC = Bξ0 dz̃ ∧ dw̃ , ãäå ôóíê-öèÿ Bξ0 =1Aξ0 ◦h−1ξ02îïðåäåëåíà â îáëàñòè C × (C \ Dr̃0 (ξ0 ) ) îïðåäåëåíèÿ (z̃, w̃),Bξ0 (z̃, w̃) 6= 0 è |Bξ0 (z̃, w̃)| îãðàíè÷åí íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (z̃, w̃).Êîîðäèíàòû (z̃, w̃) = hξ0 (z, w) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç (ξ, u) ïîñðåäñòâîì îòîá−3 −2ðàæåíèÿ hξ0 ◦ φξ0 : (ξ, u) 7→ (z̃, w̃) = hξ0 ◦ h−1ξ (iu , u ) òàê: φξ0 : (ξ, u) 7→1∗−3 −2−3−6 3(z, w) = h−1ξ (iu , u ), z̃ = iu , w̃ = (ξ − ξ0 + u ) , îòêóäà (hξ0 ◦ φξ0 ) dz̃ ∧2∗dw̃ = i(1 + (ξ − ξ0 )u6 )− 3 dξ ∧ du è φ∗ξ0 ωC = (hξ0 ◦ φξ0 )∗ (h−1ξ0 ) ωC = i(Bξ0 ◦2hξ0 ◦ φξ0 )(1 + (ξ − ξ0 )u6 )− 3 dξ ∧ du.

Îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé è âñþäó íåâûðîæäåííîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû lξ0 (ξ, u)dξ ∧ du íàVξ0 = {|ξ −ξ0 | < ε, |u| < ε}, ñîâïàäàþùåé ñ ϕ∗ξ0 ωC íà {|ξ −ξ0 | < ε, 0 < |u| < ε},6 − 32ãäå lξ0 (ξ, u) = i(1 + (ξ − ξ0 )u )2Bξ0 ◦ hξ0 ◦ φξ0 (ξ, u) =÷åííàÿ, âñþäó íåíóëåâàÿ ôóíêöèÿ, lξ0 (ξ, 0) =iA=i(1+(ξ−ξ0 )u6 )− 3Aξ0 ◦φξ0 (ξ,u)i√ √,a3b îãðàíè-ñì.

äîêàçàòåëüñòâîëåììû 2.4.3. Òàê êàê ÿêîáèàí ôóíêöèè ïåðåõîäà φξ0 ðàâåí lξ0 (ξ, u), îí âñþäóîòëè÷åí îò íóëÿ.Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà f ◦ h−1ξ0 â îáëàñòè {|ξ − ξ0 | < ε, 0 < |uξ | < ε} ⊂23C2 (z̃, w̃) èìååò âèä f ◦ h−1ξ0 = z̃ + w̃ + ξ0 , f ◦ φξ0 = ξ , ïîýòîìó â êîîðäèíàòàõ(ξ, u) ôóíêöèÿ f èìååò âèä f = ξ , çíà÷èò f êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêîé è íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â M 4 \ C2 .Òåîðåìà 17 è òåîðåìà 18, ïóíêò 1), äîêàçàíû.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f â êîîðäèíàòàõ (ξ, u),sgrad C f = (0, lξ0íóëåé íà Tξ \ (C11∂(ξ,u) ) = lξ0 (ξ,u) ∂u ,2× Dr0 ).îòêóäà âåêòîðíîå ïîëå sgrad C f íå èìååòÂåêòîðíûå ïîëÿ sgrad C f è i sgrad C f ïîëíû íà M 4 , áóäó÷è ãëàäêèìè âåêòîðíûìè ïîëÿìè íà êàæäîì èíâàðèàíòíîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå MC4 :=68Tξ ⊂ M 4 , ñîäåðæàùåì âñå îñîáûå ñëîè, ãäå C > 0 ëþáàÿ êîíñòàíòà,S|ξ|≤Cïðåâîñõîäÿùàÿ max{|f (p1 )|, |f (p2 )|}.Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà λ ∈ C \ R ðàññìîòðèì â àáåëåâîé ãðóïïå (C, +) ïîäãðóïïû 2πZ ∼= Z ⊕ Z.

Òàê êàê ÷èñëà 2π, λ ∈ C= Z è 2πZ + λZ ∼= Z, λZ ∼ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä R, òî ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâî T2λ := C/(2πZ + λZ)ãîìåîìîðôíî äâóìåðíîìó òîðó T2 = S 1 × S 1 .(Êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìû).Ñëåäñòâèå 2.4.5ÄëÿC-ãàìèëüòîíîâàñèñòåìûïîïîëíåíèÿH 3 (a, b, c, d, e)(C2 , ωC , f ) = H3 (a, b, c, d, e)ïîëíû. Äëÿ ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿωξ ∈ C \ {0}ãäåddfξTξ∈ Vect(Tξ )C-ãàìèëüòîíîâîésgrad C fñóùåñòâóþò ÷èñëàèi sgrad C fλ(ξ) ∈ C \ R,fξ = fξ mod (2π, λ(ξ)) : Tξ →íà äâóìåðíûé òîð, òàêèå ÷òîsgrad C f |Tξ = ωξ dfdξ , êîîðäèíàòíîå âåêòîðíîå ïîëå íà ñëîåùåå êîîðäèíàòíîìó äèôôåîìîðôèçìóôèçìâåêòîðíûå ïîëÿè êîìïëåêñíûé äèôôåîìîðôèçìT2λ(ξ) = C/(2πZ + λ(ξ)Z)ëþáîéTξ ,îòâå÷àþ-fξ mod (2π, λ(ξ)), òî åñòü äèôôåîìîð-fξ mod (2π, λ(ξ)) âûïðÿìëÿåò èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè íà Tξ .

Âåùå-ñòâåííûå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë äëÿ ïîïîëíåííîé ñèñòåìûH 3 (a, b, c, d, e)îïðåäåëåíû (íåîäíîçíà÷íûì îáðàçîì) â ìàëîé îêðåñòíî-ñòè ëþáîãî íåîñîáîãî ñëîÿ âÄîêàçàòåëüñòâî.M 4.Ïîëíîòà âåêòîðíûõ ïîëåé äîêàçàíà â òåîðåìå 18, ïóíêò 2).Ñîãëàñíî òåîðåìå 16, ïóíêò 2), è äîêàçàòåëüñòâó âåùåñòâåííîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äëÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (M 4 , Re ω C , Re f ) ñ äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì Im f (ñì. ëåììó 2.1.6), ñëîé Tξ ãîìåîìîðôåí äâóìåðíîìó òîðó, ïðèýòîì îïðåäåëåíî òðàíçèòèâíîå è ëîêàëüíî ñâîáîäíîå C-äèôôåðåíöèðóåìîå69äåéñòâèå ρξ : C × Tξ → Tξ ïëîñêîñòè C íà ñëîå Tξ ñäâèãàìè âäîëü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé âåêòîðíûõ ïîëåé c sgrad C f , c ∈ C, çà âðåìÿ 1. Ñòàáèëèçàòîð òî÷êè äëÿ ýòîãî äåéñòâèÿ íå çàâèñèò îò òî÷êè è ÿâëÿåòñÿ ðåøåòêîéâ C âèäà λ1 (ξ)Z + λ2 (ξ)Z, ãäå ÷èñëà λ1 (ξ), λ2 (ξ) ∈ C ëèíåéíî íåçàâèñèìûíàä R. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè Pξ ∈ Tξ C-äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå(ρξ |C×{Pξ } ) ◦ µξ èíäóöèðóåò C-äèôôåîìîðôèçì jξ : C/(2πZ + λ(ξ)Z) → Tξ ,ãäå µξ : C → C îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà2πλ1 (ξ) ,(ξ)λ(ξ) := 2π λλ12 (ξ).

 êà÷å-ñòâå êîîðäèíàòû fξ mod (2π, λ(ξ)) âîçüìåì îáðàòíûé äèôôåîìîðôèçì jξ−1 =:fξ mod (2π, λ(ξ)). Òîãäà sgrad C f |Tξ =λ1 (ξ) d2π dfξ= ωξ dfdξ , ãäå ωξ :=λ1 (ξ)2π .Ñóùåñòâîâàíèå âåùåñòâåííûõ êîîðäèíàò äåéñòâèå-óãîë äëÿ ïîïîëíåííîéñèñòåìû ñëåäóåò, â ñèëó òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïîïîëíåííîéñèñòåìû (ñì. òåîðåìó 17) è êîìïàêòíîñòè ñëîåâ Tξ ⊂ M 4 (ñì.

òåîðåìó 16).Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ñëåäñòâèÿ 2.4.5 ðàññìàòðèâàåòñÿ R-ëèíåéíûé2Rîïåðàòîð µRξ : C → R , îïðåäåëåííûé íà áàçèñå ôîðìóëàìè µξ (λ1 (ξ)) =R(2π, 0) è µRξ (λ2 (ξ)) = (0, 2π). Òîãäà îòîáðàæåíèå (ρξ |C×{Pξ } ) ◦ µξ èíäóöèðóåòR-äèôôåîìîðôèçì jξR : R2 /(2πZ)2 → Tξ . Ïîëîæèì ϕξ modd 2π := (jξR )−1 :Tξ → (R/2πZ)2 =: T2 .