Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 17

Ïðè n > l íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî Tξ \(kS4) ñâÿçíî, òàê êàê íàUj,εj=1êðûòèå äâóëèñòíî è èìååò òî÷êè âåòâëåíèÿ. Ïðè n = l íàêðûòèå äâóëèñòíî è2íàêðûòèå òðèâèàëüíîíå èìååò òî÷åê âåòâëåíèÿ; íàä êîìïîíåíòîé êðàÿ ∂Uj,εòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà lj ÷åòíî, â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êè ∞ ∈ C íàêðûòèå òðèâèàëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàl =kPlj ÷åòíî, ïîýòîìó íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî Tξ \ (j=1kS4) íåñâÿçUj,εj=1íî ïðè âñåõ ÷åòíûõ lj , è ñâÿçíî, åñëè õîòÿ áû îäíî lj íå÷åòíî.

Çíà÷èò, ïðèn = l è âñåõ ÷åòíûõ lj íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî ãîìåîìîðôíî íåñâÿçíîìó2îáúåäèíåíèþ äâóõ ýêçåìïëÿðîâ ïîâåðõíîñòè M0,1,k.Ïóñòü íàêðûâàþùåå ïðîñòðàíñòâî ñâÿçíî. Òîãäà êîëè÷åñòâî h ïðîêîëîâðàâíî(kS3+(−1)n,24Uj,ε)))|ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.1.15, à êîëè÷åñòâî b = |π0 (∂(Tξ \êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ãðàíèöû ðàâíîj=1kPj=13+(−1)lj2íèé 3.2.1 è 3.2.3. Ïî ôîðìóëå Ãóðâèöà èìååì χ(Tξ \ (â ñèëó óòâåðæäå-kSj=11084Uj,ε)) = 2χ(C \4 )Uj,ε:(kS2Uj,ε)) − (n − l) = 2 − 2k − n + l. Îòñþäà è èç ðàâåíñòâ h =j=1b=kPj=13+(−1)lj,2χ(Tξ \ (kS4Uj,ε))j=1Øàã 2.

Äëÿ ëþáîãî ξ ∈òèå Prw |Tξ \(kSj=1= 2 − 2g − h − b ïîëó÷àåì g =4 )Uj,ε: Tξ \ (2Dξ0 ,εkS[ n−12 ]3+(−1)n,2−kPl[ 2j ].j=1ðàññìîòðèì äâóëèñòíîå ðàçâåòâëåííîå íàêðû-4Uj,ε) → C\(j=1kS2Uj,ε), (z, w) 7→ w. Òî÷êè âåòâëåíèÿj=1çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè z = 0, Pn (w) = ξ è (z, w) ∈/kS4U j,ε . Ïîñëåäíåå ñîîò-j=1kSíîøåíèå ðàâíîñèëüíî w ∈/îòîáðàæåíèè Prw |j=1Tξ \(kSj=14 )Uj,εè τ > 0 òàêèå, ÷òî wi (ξ) ∈à òàêæå2Dwi (ξ0 ),τ2U j,ε . Îáîçíà÷èì îáðàçû òî÷åê âåòâëåíèÿ ïðèT÷åðåç wi (ξ), 1 ≤ i ≤ n − l.

Ðàññìîòðèì ε0 ∈ (0, ε1 ]Dw2 i (ξ0 ),τ2Dwi1 (ξ0 ),τè2Dwi (ξ0 ),τkT S2( U j,ε ) = ∅ ïðè 1 ≤ i ≤ n − l,j=12= ∅ ïðè 1 ≤ i < i1 ≤ n − l, äëÿ ëþáîãî ξ ∈ Dξ0 ,ε0 .Ðàññìîòðèì ïðè 0 < ε ≤ ε0 ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèéϕ̃ξ : (f−12(Dξ0 ,ε ))\ ((k[4Uj,ε)[ n−l[( (Prw )−1 (Dw2 i (ξ0 ),τ ))) →j=1Tξ0 \ ((k[j=14Uj,ε)i=1[ n−l[( (Prw )−1 (Dw2 i (ξ0 ),τ ))),i=1p2√(z, w) 7→ ( ξ0 − Pn (w), w), ξ ∈ Dξ0 ,ε , ãäå âåòâüâûáðàíà òàê, ÷òî ϕ̃ξ0 = id.Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ρ̃τ,r : [−τ, τ ] → [−τ, τ ] ôîðìóëîé ρ̃τ,r (x) =τ 2 x+rτ 2rx+τ 2ïðè ëþáûõ r ∈ R, τ > |r|.

Òîãäà îòîáðàæåíèå ρ̃τ,r ïðè r ∈ (−τ, τ ) ÿâëÿåòñÿãîìåîìîðôèçìîì, ïðè÷åì ρ̃τ,r (0) = r è ρ̃τ,0 = id[−τ,τ ] . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå22ρτ,r : D0,τ → D0,τ ôîðìóëîé (ρ̃√ 2 2 √ 2 2 (x), y), |y| ≤ r;τ −y , r −yρτ,r (x, y) = (x, y),|y| ≥ r.109Òîãäà îòîáðàæåíèå ρτ,r ïðè r ∈ (−τ, τ ) ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì, ïðè÷åì2ρτ,r |∂D0,τ òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, ρτ,r (0, 0) = (r, 0) è ρτ,0 = idD2 .

Äëÿ0,τêàæäîãî ξ ∈2Dξ0 ,εϕ̃ξ,i : Tξè 1 ≤ i ≤ n − l îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå\\22((Prw )−1 (Dwi (ξ0 ),τ )) → Tξ0 ((Prw )−1 (Dwi (ξ0 ),τ ))p√ξ0 − Pn (w̃ξ,i (w)), w̃ξ,i (w)), ãäå âåòâü ôóíêöèèôîðìóëîé ϕ̃ξ,i : (z, w) 7→ (22âûáðàíà òàê, ÷òî ϕ̃ξ0 ,i = id, à ãîìåîìîðôèçì w̃ξ,i : Dwi (ξ0 ),τ → Dwi (ξ0 ),τ îïðåäåëåí óñëîâèÿìè w̃ξ,i := id ïðè wi (ξ) = wi (ξ0 ),i arg(wi (ξ)−wi (ξ0 ))w̃ξ,i (w) := e−1(ρτ,|wi (ξ)−wi (ξ0 )| )e−i arg(wi (ξ)−wi (ξ0 ))(w − wi (ξ0 )) +wi (ξ0 )ïðè wi (ξ) 6= wi (ξ0 ). Òîãäà îòîáðàæåíèå ϕ̃ξ,i ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì, ïðè÷åì ϕ̃ξ,i (0, wi (ξ)) = (0, wi (ξ0 )).Øàã 3. Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé ϕξ : Tξ \ (kS4) → Tξ0 \Uj,εj=1(kSj=124), ξ ∈ Dξ0 ,ε , ôîðìóëîéUj,εϕξ (z, w) = ϕ̃ξ (z, w),(z, w) ∈ Tξ \ ((kSj=1SS n−l4) ( (Prw )−1 (Dw2 i (ξ0 ),τ )));Uj,εi=1 ϕ̃ (z, w), (z, w) ∈ T T(Pr )−1 (D2ξ,iξwwi (ξ0 ),τ ), 1 ≤ i ≤ n − l.Òîãäà îòîáðàæåíèå ϕξ êîððåêòíî îïðåäåëåíî è ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.2Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå h2 : (f −1 (Dξ0 ,ε )) \ (kSj=124Uj,ε) → Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk ôîð-ìóëîé h2 : (z, w) 7→ (f (z, w), ϕf (z,w) (z, w)).

Òîãäà h2 ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì è f |2(f −1 (Dξ0 ,ε ))\(kSj=14 )Uj,εÏóñòü, êàê âûøå, l :== f0 ◦ h2 . Ëåììà 3.3.1 äîêàçàíà.kPj=144lj , ε > 0, îáîçíà÷èì V j,ε := V ε,lj ,444∂ + V j,ε := {(z, w) ∈ C2 | |z 2 + wlj | ≤ ε, |w| = (2ε)1/lj } = V ε,lj \ Vε,l,j1102221 ≤ j ≤ k , ñì. (3.2.1), Ln,k,ε,l1 ,...,lk ≈ Mn,k,l, ãäå Mn,k,l:= Mg,h,b(ïðè1 ,...,lk1 ,...,lkF 222M0,1,k (ïðè n = ln > l èëè ñóùåñòâîâàíèè íå÷åòíîãî lj ), Mn,k,l:=M,...,l0,1,k1k2è âñåõ ÷åòíûõ lj ) êàê â ëåììå 3.3.1. Ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ íà Mn,k,l≈1 ,...,lkLn,k,ε,l1 ,...,lk è ðàññìîòðèì ëþáîé ãîìåîìîðôèçìγn,k,l1 ,...,lk :kG(R/(3 − (−1)lj )πZ) × {j} × {(−1)lj , −1} → ∂Ln,k,ε,l1 ,...,lk ,j=1òàêîé ÷òî ïîâåðõíîñòü Ln,k,ε,l1 ,...,lk ëåæèò ñïðàâà ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëü êàæäîãî èç ñâîèõ ãðàíè÷íûõ ïóòåé γj,η (ψ mod (3−(−1)lj )π) := γn,k,l1 ,...,lk (ψ mod (3−(−1)lj )π, j, η) ∈ ∂Ln,ε,l1 ,...,lk , η ∈ {(−1)lj , −1}, 1 ≤ j ≤ k .Òåîðåìà 24((òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ â çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè ñëîÿ)).Tξ0 = f −1 (ξ0 ) (îñîáîå èëè íåîñîáîå) ìíîæåñòâî óðîâíÿ ãèïåðýëëèïòè÷å-ñêîãî ìíîãî÷ëåíàk≥0f (z, w) = z 2 + Pn (w)êðèòè÷åñêèõ òî÷åêðàâíû l1− 1, .

. . , lk − 1ε0 > 0è ñóùåñòâóåòp1 , . . . , pk ∈ Tξ0 ,òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî4Mn,k,ε,l1 ,...,lk=(kGj=1:= ((4V j,ε )GV4j,ε )n ≥ 2,ñîäåðæàùåå ðîâíîïðè÷åì êðàòíîñòè ýòèõ òî÷åêñîîòâåòñòâåííî, l1 , . . . , lkòîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèèkGñòåïåíèÏóñòü≥ 2.Òîãäàε ∈ (0, ε0 ]l ≤ n, l < n + kôóíêöèÿ4fn,k,l1 ,...,lk : Mn,k,ε,l→ C.1 ,...,lkf |f −1 (D2ξ0 ,ε )Çäåñü2[(Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk )φn,k,ε,l1 ,...,lk2(Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk ))/(x ∼ φn,k,ε,l1 ,...,lk (x))j=1ïîëó÷åíî èç íåñâÿçíîãî îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâæåñòâà2Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk4V j,ε , 1 ≤ j ≤ k ,îòîæäåñòâëåíèåì ëþáîé òî÷êèîáðàçîì ïðè ãîìåîìîðôèçìåφn,k,ε,l1 ,...,lk :kFj=111142è ìíî-4x ∈ ∂ + V j,εñ åå∂ + V j,ε → Dξ0 ,ε × ∂Ln,k,ε,l1 ,...,lk ,çàäàâàåìîì ôîðìóëàìèφn,k,ε,l1 ,...,lk (z, w) := (z 2 + wlj + ξ0 , γn,k,l1 ,...,lk ((arg w) mod 2π, j, sgn (Imïðè ÷åòíîì lj èzwlj /2)))4(z, w) ∈ ∂ + V j,ε ,√φn,k,ε,l1 ,...,lk (z, w) := (z 2 + wlj + ξ0 , γn,k,l1 ,...,lk (2 arg( w) mod 4π, j, −1))4(z, w) ∈ ∂ + V j,ε ,ïðè íå÷åòíîì lj è4∂ + V j,εîïðåäåëåíà óñëîâèåìãäå âåòâü√wïðè íå÷åòíîì lj èzIm (√w)l j < 0, 1 ≤ j ≤ k ,à ôóíêöèÿ(z, w) ∈fn,k,l1 ,...,lkçàäàåòñÿ ôîðìóëàìèfn,k,l1 ,...,lk |V 4 (z, w) = z 2 + wlj + ξ0 ,j,εfn,k,l1 ,...,lk |D2ξ0 ,ε ×Ln,k,ε,l1 ,...,lkÏðè îòîæäåñòâëåíèè4(ξ, x) = ξ,4V j,ε ≈ Mε,lj4(z, w) ∈ V j,ε , 1 ≤ j ≤ k,2(ξ, x) ∈ Dξ0 ,ε × Ln,k,ε,l1 ,...,lk .ñ ïîìîùüþ òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíò-íîñòè èç óòâåðæäåíèé 3.2.1 è 3.2.3 ïðèêëåèâàþùèé ãîìåîìîðôèçìφn,k,ε,l1 ,...,lk |∂ + V 4j,εèìååò âèä2[0, ε] × S 1 / ∼ × S 1 × {(−1)lj , −1} → Dξ0 ,ε × ∂Ln,k,ε,l1 ,...,lk ,(r, ϕ mod 2π, ψ mod (3−(−1)lj )π, η) 7→ (reiϕ +ξ0 , γn,k,l1 ,...,lk (−ηψ mod (3−(−1)lj )π, j, η)),η ∈ {(−1)lj , −1},íèÿìèãäå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè(0, ϕ mod 2π) ∼ (0, 0 mod 2π), ϕ mod 2π ∈ S 1 ,∼ïîðîæäåíî îòíîøå-à ôóíêöèÿfn,k,l1 ,...,lk |V 4j,εèìååò âèä(r, ϕ mod 2π, ψ mod (3 − (−1)lj )π, h) 7→ reiϕ + ξ0 ,Ïðè ýòîì24fn,k,l1 ,...,lk (Mn,k,ε,l) = Dξ0 ,ε .1 ,...,lk1121 ≤ j ≤ k.Äîêàçàòåëüñòâî.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü Ln,k,ε,l1 ,...,lk ⊂Tξ0 îïðåäåëåíà êàê â ëåììå 3.3.1(Á), îðèåíòàöèÿ íà íåé èíäóöèðîâàíà êîìïëåêñíîé ñòðóêòóðîé, è ãîìåîìîðôèçì γn,k,l1 ,...,lk = γn,k,ε,l1 ,...,lk (ïàðàìåòðèçóþùèé ∂Ln,k,ε,l1 ,...,lk ) îïðåäåëåí ôîðìóëîé√1/lj iψe )),γn,k,ε,l1 ,...,lk (ψ mod (3 − (−1)lj )π, j, η) = (ηi 2εeilj ψ/2 , ϕ−1j ((2ε)η ∈ {(−1)lj , −1}, ãäå äèôôåîìîðôèçìû ϕj : w 7→ w̃ êàê â äîêàçàòåëüñòâåëåìì 3.1.16 è 3.3.1, 1 ≤ j ≤ k .

Ïðèêëåèâàþùåå îòîáðàæåíèå φn,k,ε,l1 ,...,lk îïðå4äåëåíî êîððåêòíî, òàê êàê èç (z, w̃) ∈ ∂ + V j,ε èzw̃lj /2=: λ ∈ R ñëåäóåò ε ≥|z 2 + w̃lj | = (λ2 + 1)|w̃lj | = (λ2 + 1)2ε ≥ 2ε; îíî ñþðúåêòèâíî, òàê êàê ïðè ÷åò4lj /2íîì lj äëÿ (±iw̃lj /2 , w̃) ∈ ∂ + V j,ε âûïîëíåíî sgn (Im ±iw̃lj /2 ) = ±1. Ëåãêî ïðîw̃4âåðÿåòñÿ èíúåêòèâíîñòü φn,k,ε,l1 ,...,lk . Îòîáðàæåíèå fn,k,l1 ,...,lk : Mn,k,ε,l→C1 ,...,lk4îïðåäåëåíî êîððåêòíî, òàê êàê äëÿ ëþáîé òî÷êè (z, w̃) ∈ ∂ + V j,ε âûïîëíåíîfn,k,l1 ,...,lk |V 4 (z, w̃) = z 2 + w̃lj + ξ0 è fn,k,l1 ,...,lk |D2ξ0 ,ε ×Ln,k,ε,l1 ,...,lkj,ε◦ φn,k,ε,l1 ,...,lk (z, w̃) =z 2 + w̃lj + ξ0 .Ñîãëàñíî ëåììàì 3.1.16 è 3.3.1, ñóùåñòâóþò ε0 > 0 è íàáîð ñåìåéñòâ çà4ìêíóòûõ îêðåñòíîñòåé U j,ε òî÷åê pj , 0 < ε ≤ ε0 , òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî42ε ∈ (0, ε0 ] ôóíêöèÿ f |U 4 ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèè fn,k,l1 ,...,lk |V 4 : V j,ε → Dξ0 ,ε ,j,εj,ε1 ≤ j ≤ k , à ôóíêöèÿ f |2f −1 (Dξ0 ,ε )\(kSj=1öèè f0 = fn,k,l1 ,...,lk |D2ξ0 ,ε ×Ln,k,ε,l1 ,...,lkh ìåæäó ôóíêöèåé f |f −1 (D2ξ0 ,ε )òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ôóíê-.

Ïîñòðîèì òîïîëîãè÷åñêóþ ýêâèâàëåíòíîñòü4è ôóíêöèåé fn,k,l1 ,...,lk íà âñåì Mn,k,ε,l. Ðàñ1 ,...,lk2ñìîòðèì ìíîæåñòâî f −1 (Dξ0 ,ε ) = (kSj=14U j,ε4 )Uj,εïîëîæèì h(z, w) = (z, ϕj (w)) ∈2kS4 S24U j,ε ) (f −1 (Dξ0 ,ε )\( Uj,ε)). Ïðè (z, w) ∈j=14V j,ε ,kSìû 3.1.16. Ïðè (z, w) ∈ f −1 (Dξ0 ,ε ) \ (j=11131 ≤ j ≤ k , ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåì4Uj,ε) ïîëîæèì h(z, w) = h2 (z, w) =2(f (z, w), ϕf (z,w) (z, w)) ∈ Dξ0 ,ε ×Ln,k,ε,l1 ,...,lk , ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.3.1(Á),24îïðåäåëåíî êîððåêòíî, òàêøàã 3. Îòîáðàæåíèå h : f −1 (Dξ0 ,ε ) → Mn,k,ε,l1 ,...,lk4êàê äëÿ ëþáîé òî÷êè (z, w) ∈ U j,εT24(f −1 (Dξ0 ,ε ) \ Uj,ε), 1 ≤ j ≤ k , âûïîëíåíî:φn,k,ε,l1 ,...,lk ◦ h|U 4 (z, w) = φn,k,ε,l1 ,...,lk (z, ϕj (w))j,ε= (z 2 + (ϕj (w))lj + ξ0 , γn,k,ε,l1 ,...,lk (arg ϕj (w) mod 2π, j, sgn (Im= (z 2 + Pn (w), (i sgn (Imz)))(ϕj (w))lj /2z)(ϕj (w))lj /2 , w)) = (f (z, w), ϕf (z,w) (z, w))l/2(ϕj (w)) j= h2 (z, w) = h|f −1 (D24ξ0 ,ε )\Uj,ε(z, w)ïðè ÷åòíîì lj , èφn,k,ε,l1 ,...,lk ◦ h|U 4 (z, w) = φn,k,ε,l1 ,...,lk (z, ϕj (w))j,εq= (z + (ϕj (w)) + ξ0 , γn,k,ε,l1 ,...,lk (2 arg( ϕj (w)) mod 4π, j, −1))q2= (z +Pn (w), (−i( ϕj (w))lj , w)) = (f (z, w), ϕf (z,w) (z, w)) = h|f −1 (D2 )\U 4 (z, w)2ljξ0 ,εj,ε4ïðè íå÷åòíîì lj .

Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè, ÷òî äëÿ ëþáûõ (z, w̃) ∈ ∂ + V j,ε ,òàêèõ ÷òî z 2 + w̃lj = 0, âûïîëíåíî i sgn (Im√−i( w̃)lj = z ïðè íå÷åòíîì lj .zw̃lj /2)w̃lj /2 = z ïðè ÷åòíîì lj ,Ïðîâåðèì, ÷òî h òîïîëîãè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ôóíêöèé: ïðè (z, w) ∈4U j,ε âûïîëíåíî fn,k,l1 ,...,lk ◦ h(z, w) = fn,k,l1 ,...,lk (z, ϕj (w)) = z 2 + (ϕj (w))lj + ξ0 =kS24z 2 + Pn (w) = f (z, w), ïðè (z, w) ∈ f −1 (Dξ0 ,ε ) \ ( Uj,ε) âûïîëíåíî h(z, w) =j=1h2 (z, w) ∈2Dξ0 ,ε ×Ln,k,ε,l1 ,...,lk , fn,k,l1 ,...,lk ◦h(z, w)= fn,k,l1 ,...,lk (f (z, w), ϕf (z,w) (z, w)) =f (z, w), îòêóäà f = fn,k,l1 ,...,lk ◦ h.Âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäå444íèé 3.2.1 è 3.2.3 îãðàíè÷åíèå ãîìåîìîðôèçìà h1 : V ε,lj → Mε,líà ∂ + V ε,ljj114äåéñòâóåò ïî ôîðìóëå (z, w̃) 7→ (r, ϕ mod 2π, −η arg(w̃) mod 2π, η) ïðè ÷åò-√íîì lj , è (z, w̃) 7→ (r, ϕ mod 2π, 2 arg( w̃) mod 4π, −1) ïðè íå÷åòíîì lj , ãäåzreiϕ = z 2 + w̃lj , η := sgn (Im w̃lzj /2 ) ïðè ÷åòíîì lj , Im (√w̃)lj < 0 ïðè íå÷åòíîìlj .

Òåîðåìà äîêàçàíà.115Ãëàâà 4Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ4.1Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ íå÷åòíîé ñòåïåíèÂâåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è ñôîðìóëèðóåì òåõíè÷åñêèå ëåììû 4.1.1,4.1.2 è âûòåêàþùèå èç íèõ óòâåðæäåíèÿ 4.1.4, 4.1.6 è ñëåäñòâèÿ 4.1.3, 4.1.8,íåîáõîäèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ïàðàãðàôà òåîðåìû 25.Ëåììà 4.1.1. Ïóñòüñòåïåíèêîðíåé,N ≥ 1f (z, w) = z 2 + PN (w),ãäåPN (w) ëþáîé ìíîãî÷ëåíñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå èìåþùèé êðàòíûõT0 = f −1 (0).Òîãäà:(À) ÎòîáðàæåíèåPrw |T0 : T0 → C, (z, w) 7→ w,ÿâëÿåòñÿ äâóëèñò-íûì ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì è ïåðåâîäèò âåêòîðíîå ïîëåâåêòîðíîå ïîëå±(Prw )∗ (sgrad C f |T0 ),äî çíàêà, ò.å.