Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 21

+ (−1)n−k−1 In0 (ξ),hSk+1 (ξ)ik = 2πIk0 (ξ)0Jk0 (ξ) − Jk−1(ξ) + . . . + (−1)k−1 J10 (ξ)hDk (ξ)ik = 2π,Ik0 (ξ)1371 ≤ k < n,1 ≤ k ≤ n.Ïóíêò á) äîêàçàí ïîëíîñòüþ.Øàã 4. Äîêàæåì ïóíêò ä). Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷åòûðåõìåðíûõ ðó÷åê Gε,k âûïîëíåíî Gε,kTGε,l 6= ∅ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàl = k ± 1.  ñèëó ïóíêòà á), êîîðäèíàòû ϕk mod 2π è ϕk+1 mod 2π íà ïåðåñå÷åíèè s2k (ξ) ∪ s2k+1 (ξ) = (Prw |Tξ )−1 (Sk+1 (ξ)) ñâîèõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: íà ãåîäåçè÷åñêîé s2k (ξ)îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìhSk+1 (ξ)i + hDk+1 (ξ)iIk0 (ξ)hSk (ξ)i + hDk (ξ)i=(ϕ|−),ϕk+1 |s2k (ξ) +ks(ξ)2k0 (ξ)0 (ξ)2Ik+1Ik+12Ik0 (ξ)êîòîðîå ðàâíîñèëüíî ïåðâîé òðåáóåìîé ôîðìóëå00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k (ξ) + πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k (ξ) − π),à íà ãåîäåçè÷åñêîé s2k+1 (ξ) îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìhSk+1 (ξ)i − hDk+1 (ξ)iIk0 (ξ)hSk (ξ)i − hDk (ξ)iϕk+1 |s2k+1 (ξ) +=(ϕ|−),ks(ξ)2k+10 (ξ)0 (ξ)2Ik+1Ik+12Ik0 (ξ)êîòîðîå ðàâíîñèëüíî âòîðîé òðåáóåìîé ôîðìóëå00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k+1 (ξ) − πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k+1 (ξ) − π).Ïóíêò 3) ïîëíîñòüþ äîêàçàí.Ïóíêò 4) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äàííàÿ èíâîëþöèÿ ñîõðàíÿåò ãàìèëüòîíèàíf , ìåíÿåò çíàê ó C-ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû dz ∧ dw, è ñîõðàíÿåò òî÷êó(0, a2k (ξ)), â êîòîðîé ϕk (0, a2k (ξ)) = 0 mod 2π ââèäó 3),á).

Òåîðåìà 25 äîêàçàíà.1384.2Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêèõ ãàìèëüòîíèàíîâ ÷åòíîé ñòåïåíèÂâåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è ñôîðìóëèðóåì òåõíè÷åñêèå ëåììû 4.2.1,4.2.2 è âûòåêàþùèå èç íèõ óòâåðæäåíèÿ 4.2.4, 4.2.6 è ñëåäñòâèÿ 4.2.3, 4.2.8,íåîáõîäèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ïàðàãðàôà òåîðåìû 26.Ëåììà 4.2.1. Ïóñòüñòåïåíèêîðíåé,N ≥ 1f (z, w) = z 2 + PN (w),ãäåPN (w) ëþáîé ìíîãî÷ëåíñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå èìåþùèé êðàòíûõT0 = f −1 (0).Òîãäà:(À) ÎòîáðàæåíèåPrw |T0 : T0 → C, (z, w) 7→ w,ÿâëÿåòñÿ äâóëèñò-íûì ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì è ïåðåâîäèò âåêòîðíîå ïîëåâåêòîðíîå ïîëå±(Prw )∗ (sgrad C f |T0 ),äî çíàêà, ò.å.

äëÿ ëþáûõsgrad C f |T0âêîððåêòíî îïðåäåëåííîå ñ òî÷íîñòüþ(z1 , w), (z2 , w) ∈ T0òàêèõ, ÷òîz1 6= z2 ,âåðíî(Prw )∗ (sgrad C f (z1 , w)) = −(Prw )∗ (sgrad C f (z2 , w));(Á) Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíàíîå ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà âåêòîðíîå ïîëåPNâåùåñòâåííû, òî îïðåäåëåí-±(Prw )∗ (sgrad C f |T0 )íàCwñèì-ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îòðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé,ò.å. èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìàÄîêàçàòåëüñòâî.Cw → Cw , w 7→ w.(À)  òî÷êå (z, w) ∈ T0 âûïîëíåíî sgrad C f (z, w) = (−PN0 (w), 2z),ïîýòîìó (Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = 2z∂/∂w. Î÷åâèäíî, ëþáûå äâà ïðîîáðàçà(z1 , w), (z2 , w) ∈ T0 òî÷êè w ∈ Cw ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì z1 = −z2 . ÏîýòîìóPrw |T0 ÿâëÿåòñÿ ðàçâåòâëåííûì äâóëèñòíûì íàêðûòèåì è (Prw )∗ (sgrad C f (z1 , w)) =2z1 ∂/∂w = −2z2 ∂/∂w = −(Prw )∗ (sgrad C f (z2 , w)).(Á) Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå sym : T0 → T0 , çàäàííîå ôîðìóëîé (z, w) 7→139(z, w).

Îòîáðàæåíèå sym îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó åñëè z 2 +PN (w) =0, òî z 2 + PN (w) = z 2 + PN (w) = 0, ãäå ïåðâîå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî ââèäóòîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà PN (w) âåùåñòâåííû. Èç ðàâåíñòâ(Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(Prw (w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(w),Sym ◦ Prw = Prw ◦ sym,sym∗ (sgrad C f (z, w)) = (−PN0 (w), 2z) = sgrad C f (sym(z, w))ñëåäóåò, ÷òîSym∗ (((Prw )∗ sgrad C f )(w)) = Sym∗ ((Prw )∗ (sgrad C f (z, w)))= (Prw )∗ (sym∗ (sgrad C f (z, w))) = (Prw )∗ (sgrad C f (sym(z, w)))= (Prw )∗ (sgrad C f (z, w)) = ((Prw )∗ sgrad C f )(w) = ((Prw )∗ sgrad C f )(Sym(w)).Ëåììà 4.2.2((íîðìàëèçàöèÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ÷åòíîé ñòå-ïåíè è 2-ôîðìû dz ∧ dw â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõ)).z 2 + P2n+2 (w),ãäåP2n+2 (w)íûìè êîýôôèöèåíòàìè,âëîæåíèÿ ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèh∗j (dz ∧ dw) = un−1 dξ ∧ du,íè÷åíî âðàçèåfε4Mñ êîìïëåêñ-òàêèå ÷òî22(ξ, u) ∈ D0,ε× (D0,ε\ {0}),2lim |hj (ξ, u)| = ∞ ðàâíîìåðíî ïî ξ ∈ D0,ε, èu→0 S2222D0,ε× (D0,ε\ {0})h2 D0,ε× (D0,ε\ {0})ïðè÷åìh12n + 2f (z, w) =n ∈ N.

Òîãäà ñóùåñòâóþò ε > 0 è äâà ãîëîìîðôíûõ22hj : D0,ε× (D0,ε\ {0}) → C2 , j = 1, 2,f ◦ hj (ξ, u) = ξ,Ïóñòüäîïîëíåíèå ìíîæåñòâàâ2Mε4 := f −1 (D0,ε)îãðà-C2 .  ÷àñòíîñòè, èìååòñÿ êîìïëåêñíîå 2-ìåðíîå ñâÿçíîå ìíîãîîáñ êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åñêèì àòëàñîì èç òðåõ êàðò, ïîëó÷åííîå140èçMε4 ⊂ C2âëîæåíèéhj , j = 1, 2.Ïðè ýòîì(áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êèÄîêàçàòåëüñòâî.2pξ,j , ξ ∈ D0,ε, j = 1, 2).Ñì. ñëåäñòâèå 1.3.4.Ñëåäñòâèå 4.2.3. Ïóñòüìíîãî÷ëåí ñòåïåíèñóùåñòâóåò22⊂ C2 ïðè ïîìîùè× D0,εD0,εS 22fε4 \ Mε4 ≈ D0,εM× {0}D0,ε × {0}ïðèêëåèâàíèåì äâóõ ìíîæåñòâε>02n + 2f (z, w) = z 2 + P2n+2 (w),ãäåP2n+2 (w)ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè,òàêîå, ÷òî ïîâåðõíîñòü óðîâíÿñôåðå ñnj = 1, 2.Âåêòîðíîå ïîëåsgrad C f |Tξpξ,j2\ {0} ⊂ Cu : Uξ,j → D0,ε÷òîTξlim u(g) = 0.g→pξ,jìîðôíî ñôåðå ñUξ,j ⊂ Tξn ≥ 2,pξ,j ,ds2ξâáåñêîíå÷íî óäàëåííîéds2ξ = un−1 un−1 du du, êîîðäèíàòíûé äèôôåîìîðôèçì, òàêîé ÷àñòíîñòè, ïîïîëíåíèånðó÷êàìè. ÍàTξîïðåäåëåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì4.2.1ãîìåîìîðôíàè ðèìàíîâà ìåòðèêà ïîïîëíåíèÿTξ = Tξ ∪ {pξ,1 } ∪ {pξ,2 }îòíîñèòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêè ïîïîëíåíèÿïðèíåîñîáà ïðèèìåþò âèäu̇ = u1−n ,ãäåÒîãäàðó÷êàìè è äâóìÿ ïðîêîëàìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõäîñòàòî÷íî ìàëîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèòî÷êèn ∈ N.Tξ = f −1 (ξ)ξ ∈ C, 0 < |ξ| < ε.

Áîëåå òîãî, íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ Tξ ëþáîéèds2ξ (pξ,j ) 6= 0ïðèds2ξñëîÿêîìïàêòíî, ãîìåî-èìååòñÿ ãëàäêîå ïîëå íåîòðèöàòåëüíîds2ξ ,òàêîå ÷òîds2ξ |Tξ = ds2ξ , ds2ξ (pξ,j ) = 0n = 1.Ïåðèîäè÷íîñòü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé íà íóëåâîì ñëîåÏðåäëîæåíèå 4.2.4.

Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+2 (w),ãäåP2n+2 (w) = (w −a1 ) . . . (w−a2n+2 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n+2, a1 < a2 < . . . < a2n+2 , n ∈ N. Òîãäà141âñå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿsgrad C f |T0 ,íå ÿâëÿþùèåñÿñåïàðàòðèñàìè (ò.å. íå âõîäÿùèå â áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êèíå âûõîäÿùèå èç íåå, ñì. ñëåäñòâèåp0,1 , p0,2è4.2.3), ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè. Áîëååòîãî:(À) èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿPrw |T0 : T0 → C, (z, w) 7→ w,ïðè ïðîåêöèèêàê íà ðèñ.

4.10 ïðès1 , . . . , s2n ⊂ T0ïàðàòðèñòàêèõ ÷òîñëîéT0íàñì. ëåììón+1(ñîîòâåòñòâåííîñâÿçíûõ êîìïîíåíòS 1 × (0, 1)(è èõ îáðàçû4.2.1(À)),âûãëÿäÿòñðåäè ýòèõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ ðîâíînñåïàðàòðèñs2k−1 ∪ s2k = (Prw |T0 )−1 (Sk ), k = 1, . . . , n),ñòè öèëèíäðàîáëàñòåén = 3;sgrad C f |T0c1 , . . . , cn+1 ,2nñå-S1 , . .

. , Sn ⊂ C,êîòîðûå ðàçáèâàþòãîìåîìîðôíûõ âíóòðåííî-(ñîîòâåòñòâåííî ðàçáèâàþò ïëîñêîñòüCíàn+1C1 , . . . , Cn+1 ⊂ C, òàêèõ ÷òî [a2k−1 , a2k ] ⊂ Ck , ck = (Prw |T0 )−1 (Ck ),k = 1, . . . , n + 1);â êàæäîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòèckòðàåêòîðèè ïåðèî-äè÷íû ñ ïåðèîäîìZa2kTk =a2k−1âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñàêåp0,1 ∈ T0 ,s2k−1dwp,−P2n+2 (w)k = 1, . . . , n + 1;èìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷-à âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñàs2kèìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íîp0,2 ∈ T0 , k = 1, . .

. , n, è äëèíû ñåïàðàòðèñkP|s2k−1 | = |s2k | = (−1)k−i Ti ïðè k = 1, . . . , n;óäàëåííîé òî÷êåðàâíûi=1(Á) íà ñëîå T0 ñóùåñòâóåò íàáîð ñåïàðàòðèñi sgrad C f ,òî÷êåp0,1 ,ïðè÷åìàd1 , dn+1d2 , . . . , dnâ ìåòðèêåds20d1 , . . . , dn+1 âåêòîðíîãî ïîëÿèìåþò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîéèìåþò íà÷àëî â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåêîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåp0,2 ,142òàêèõ ÷òîdk ⊂ ckp0,1èè èõ îáðàçûÐèñ. 4.10: Òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad C f |T0 è èõîáðàçû ïðè ïðîåêöèè Prw |T0 : T0 → Cw , ïðèn=3Prw |T0 (dk ) = Dkïðè ïðîåêöèèÐèñ.

4.11: Ïðîåêöèè èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé ïîëÿ i sgrad f |T0 íà ïëîñêîñòü Cw ïðèn=3Prw |T0 : T0 → CwD1 = (∞, a1 ] ⊂ Cw , Dn+1 = [a2n+2 , ∞) ⊂ Cw ,Dkïåðåñåêàåò îòðåçîêÄîêàçàòåëüñòâî.[a2k , a2k+1 ] ⊂ Cw ,ñîäåðæàòñÿ âïðèk = 2, . . . , nñì. ðèñ. 4.11 ïðèCk ,ïðè÷åìòðàåêòîðèÿn = 3.Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ èíòåãðàëü-íûì òðàåêòîðèÿì âåêòîðíîãî ïîëÿ u := sgrad C f |T0 , âõîäÿùèì â áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êè p0,1 , p0,2 èëè èñõîäÿùèå èç íèõ, ÷åðåç Ip0,1 ,p0,2 . ÏóñòüT0 \ Ip0,1 ,p0,2 =NSci , ãäå ci âñå ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ëèíåéíîé ñâÿçíî-i=1ñòè T0 \ Ip0,1 ,p0,2 , i = 1, .

. . , N . Èç ñëåäñòâèÿ 4.2.3 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíîå ïîëåu|ci ïîëíî.Øàã 1. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿγi ⊂ ci äëÿ íåêîòîðîãî 1 ≤ i ≤ N , ïåðèîä γi ðàâåí T > 0. Òîãäà ïîêàæåì,÷òî âñÿêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ γ ⊂ ci ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ òåì æåïåðèîäîì T .Êàê âûøå, îáîçíà÷èì ÷åðåç u âåêòîðíîå ïîëå u = sgrad C f |T0 , ÷åðåç v143îðòîãîíàëüíîå åìó îòíîñèòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds20 := Sym(∆0 ⊗ ∆0 )âåêòîðíîå ïîëå v = isgrad C f |T0 . Ïîñêîëüêó [u, v] = 0, òî ñóùåñòâóåò ε > 0òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî τ ∈ (−ε, ε) âûïîëíåíî gvτ γi ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ u ñ ïåðèîäîì T , ãäå gvτ ñäâèã âäîëü âåêòîðíîãîïîëÿ v íà τ ∈ R. Îòñþäà îáúåäèíåíèå T -ïåðèîäè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé âåêòîðíîãî ïîëÿ u|ci ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîäìíîæåñòâîì â T0 (è âci ), êîòîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç Γi .Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî Γi ⊂ ci çàìêíóòî â ci . Ïóñòü òî÷êà ĝ ∈ ci ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà Γi .

Òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå u|ci ïîëíî è ĝ ∈ ci , òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå ψ :[0, T ] × [−ε, ε] → T0 , (t, τ ) 7→ gvτ gut (ĝ).  ëþáîé áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ĝ ñóùåñòâóþò òî÷êè, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäÿò ïåðèîäè÷åñêèå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëÿ u ñ ïåðèîäîì T (ò.å. ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâóΓi ). Ïîýòîìó (çàìåíÿÿ êàæäóþ òàêóþ òî÷êó íà ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåéèíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèè ñ êðèâîé gvτ (ĝ), τ ∈ [−ε, ε]) ïîëó÷àåì ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè τj → 0 ïðè j → ∞ (âîçìîæíî, τj = 0 äëÿ íåêîòîðûõτj ), òàêîé ÷òî gvj (ĝ) ∈ Γi .

Ïîñêîëüêó [u, v] = 0, òî ψ : (t, τ ) 7→ gut gvτ (ĝ), îòêóäàττψ(T, τj ) = guT gvj (ĝ) = gvj (ĝ) = ψ(0, τj ). Çíà÷èò, ψ(T, 0) = ψ(0, 0) = ĝ , ò.å. ÷åðåç òî÷êó ĝ ïðîõîäèò ïåðèîäè÷åñêàÿ èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ γĝ ñ ïåðèîäîìT (è ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì T /k äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ N).