Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 24

Òîãäàhαξ,k i = 2πIk0 (ξ),hα̂ξ,k i = 2πJk0 (ξ)(4.2.2)â ñèëó ôîðìóë äëÿ Ik0 (ξ) è Jk0 (ξ), ñì. øàã 1. Ïîýòîìó hαξ,k ik = 2π è ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ϕk mod 2π : Gε,k → C/2πZ ïðè 1 ≤ k ≤ n + 1, òàêàÿ÷òîd(ϕk |Gε,k ∩Tξ ) = ∆ξ /Ik0 (ξ),2ξ ∈ D0,ε.ϕk mod 2π(0, a2k−1 (ξ)) = 0 mod 2π,Ïóíêò â) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî dIk ∧dϕk = Ik0 (f (z, w))df (z, w)∧ 2zI 0 (fdw(z,w)) |Gε,k =k2zdz∧dw|Gε,k2z= (dz ∧ dw)|Gε,k . Ïóíêò å) ñëåäóåò èç ïóíêòîâ à) è â).Øàã 3.

Äîêàæåì ïóíêò á). Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 4.2.8, ñóùåñòâóþò ãåîäåçè-fε4÷åñêèå s1 (ξ), . . . , s2n (ξ) : (0, 1) → Tξ ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds2ξ íà Tξ ⊂ Tξ ⊂ Mñ êîíöàìè lim s2i−1 (ξ)(t) = lim s2i−1 (ξ)(t) = pξ,1 ∈ Tξ , lim s2i (ξ)(t) =t→0+t→1−t→0+fε4 áëèçêè êlim s2i (ξ)(t) = pξ,2 ∈ Tξ , 1 ≤ i ≤ n, çàìûêàíèÿ êîòîðûõ â Mt→1−çàìûêàíèÿì èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé s1 , . .

. , s2n âåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C f .Àíàëîãè÷íî, ñóùåñòâóþò ãåîäåçè÷åñêèå d1 (ξ), . . . , dn+1 (ξ) íà (Tξ , ds2ξ ), çàìûêàíèÿ êîòîðûõ áëèçêè ê çàìûêàíèÿì èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé d1 , . . . , dn+1157Ðèñ. 4.17: Íàäðåçàííûé èëèïðîêîëîòûé òîð c1 (ξ) ∪ s1 (ξ) ⊂TξÐèñ. 4.18: Îáëàñòüöèëèíäð Ðèñ.ck (ξ) ⊂ Tξ ïðè 1 < k < n4.19:Îáëàñòüöèëèíäð cn (ξ) ⊂ Tξâåêòîðíîãî ïîëÿ i sgrad C f . Ïîýòîìó óêàçàííûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ñëîå Tξ , èõîáðàçû â C ïðè ïðîåêöèè Prw |Tξ : Tξ → C è öèëèíðè÷åñêèå îáëàñòè ck (ξ),1 ≤ k ≤ n + 1, âûãëÿäÿò êàê íà ðèñ. 4.17, 4.18, 4.19.Ðàçðåæåì öèëèíäðè÷åñêóþ îáëàñòü ck (ξ) ⊂ Tξ (ñì. îáîçíà÷åíèå 4.2.9) ïîãåîäåçè÷åñêîé dk (ξ) è ðàññìîòðèì îáðàç ïîëó÷åííîé îäíîñâÿçíîé (ðàçðåçàííîé) îáëàñòè ck (ξ)\dk (ξ) ïðè îòîáðàæåíèè ϕk , ÿâëÿþùåìñÿ âåòâüþ îòîáðàæåíèÿ ϕk mod 2π , ââåäåííîãî íà øàãå 2. Òàê êàê ãðàíèöà ðàçðåçàííîé îáëàñòèñîñòàâëåíà èç ãåîäåçè÷åñêèõ:d (ξ) ∪ s2k−3 (ξ) ∪ s2k−2 (ξ) ∪ s2k−1 (ξ) ∪ s2k (ξ), 1 < k < n + 1, k∂(ck (ξ)\dk (ξ)) =d1 (ξ) ∪ s1 (ξ) ∪ s2 (ξ),k = 1, d (ξ) ∪ sk = n + 1,n+12n−1 (ξ) ∪ s2n (ξ),òî ãðàíèöà åå îáðàçà ϕk (ck (ξ)\dk (ξ)) ⊂ C ñîñòîèò èç ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîââ ïëîñêîñòè Cϕk .

Íåòðóäíî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîìïëåêñíî çíà÷íàÿ ôóíêöèÿϕk |ck (ξ)\dk (ξ) : ck (ξ) \ dk (ξ) → C èíúåêòèâíà, ïîýòîìó åå îáðàç ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííîñòüþ íåêîòîðîãî 6-óãîëüíèêà (ïðè 1 < k < n + 1) èëè 4-óãîëüíèêà (ïðè158k = 1, n + 1)(k)(k)(k)(k)(k)(k)∂Wk,Ik = A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )â ïëîñêîñòè Cϕk , ãäå Ik := Ik (ξ). Çíà÷èò, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîìïëåêñíîéêîîðäèíàòû óãîë ϕk |ck (ξ)\dk (ξ) : ck (ξ) \ dk (ξ) → C íà ðàçðåçàííîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè ck (ξ)\dk (ξ) ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííîñòüþ ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîìïëåêñíîé êîîðäèíàòû óãîë ϕk mod 2π|Gε,k ∩Tξíà çàìûêàíèè ck (ξ) = Gε,k ∩ Tξ ýòîé îáëàñòè ïîëó÷àåòñÿ èç çàìêíóòîé îáëàñòè Wk,Ik , îãðàíè÷åííîé ýòèì øåñòèóãîëüíèêîì, âûêèäûâàíèåì âñåõ âåðøèíè îòîæäåñòâëåíèåì ïàð ñòîðîí, îòâå÷àþùèõ îäíîé è òîé æå ãåîäåçè÷åñêîé.Âû÷èñëèì íàïðàâëÿþùèå âåêòîðà ñòîðîí øåñòèóãîëüíèêà ∂Wk,Ik :(k)(k)(k)(k)A2 (Ik ) − A1 (Ik ) = A4 (Ik ) − A5 (Ik ) = hdk (ξ)ik =: hDk (ξ)ik ,(k)(k)(k)(k)A3 (Ik )−A2 (Ik ) = A6 (Ik )−A1 (Ik ) = hs2k−3 (ξ)ik = hs2k−2 (ξ)ik =: hSk−1 (ξ)ik ,(k)(k)(k)(k)A4 (Ik ) − A3 (Ik ) = A5 (Ik ) − A6 (Ik ) = hs2k−1 (ξ)ik = hs2k (ξ)ik =: hSk (ξ)ik ,ãäå ñðåäíÿÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ âûïîëíåíà ïðè 1 < k ≤ n + 1, è ïîñëåäíÿÿöåïî÷êà ðàâåíñòâ âûïîëíåíà ïðè 1 ≤ k < n + 1.

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òîhS1 (ξ)i = hαξ,1 i = 2πI10 (ξ),0hSn (ξ)i = hαξ,n+1 i = 2πIn+1(ξ),hSk−1 (ξ)i + hSk (ξ)i = hαξ,k i = 2πIk0 (ξ), 1 < k < n + 1,hD1 (ξ)i = hα̂ξ,1 i = 2πJ10 (ξ),hDk−1 (ξ)i+hDk (ξ)i = hα̂ξ,k i = 2πJk0 (ξ), 1 < k ≤ nâ ñèëó (4.2.2). Ñ ó÷åòîì (4.2.1), îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìûå ðàâåíñòâà00Ik+1(ξ) − Ik+2(ξ) + . .

. + (−1)n−k−1 In0 (ξ)hSk+1 (ξ)ik = 2π,Ik0 (ξ)1591 ≤ k < n,0(ξ) + . . . + (−1)k−1 J10 (ξ)Jk0 (ξ) − Jk−1,hDk (ξ)ik = 2πIk0 (ξ)1 ≤ k ≤ n.Ïóíêò á) äîêàçàí ïîëíîñòüþ.Øàã 4. Äîêàæåì ïóíêò ä). Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷åòûðåõìåðíûõ ðó÷åê Gε,k âûïîëíåíî Gε,kTGε,l 6= ∅ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàl = k ± 1.  ñèëó ïóíêòà á), êîîðäèíàòû ϕk mod 2π è ϕk+1 mod 2π íà ïåðåñå÷åíèè s2k−1 (ξ) ∪ s2k (ξ) = (Prw |Tξ )−1 (Sk (ξ)) ñâîèõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: íà ãåîäåçè÷åñêîé s2k (ξ)îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìhSk+1 (ξ)i + hDk+1 (ξ)iIk0 (ξ)hSk (ξ)i + hDk (ξ)i=(ϕ|−),ϕk+1 |s2k (ξ) +ks(ξ)2k0 (ξ)0 (ξ)2Ik+1Ik+12Ik0 (ξ)êîòîðîå ðàâíîñèëüíî ïåðâîé òðåáóåìîé ôîðìóëå00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k (ξ) + πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k (ξ) − π),à íà ãåîäåçè÷åñêîé s2k (ξ) îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìhSk (ξ)i − hDk (ξ)iIk0 (ξ)hSk (ξ)i − hDk (ξ)iϕk+1 |s2k (ξ) +=(ϕ|−),ks(ξ)2k+10 (ξ)2Ik0 (ξ)Ik+12Ik0 (ξ)êîòîðîå ðàâíîñèëüíî âòîðîé òðåáóåìîé ôîðìóëå00Ik+1(ξ) ϕk+1 |s2k (ξ) − πJk+1(ξ) = Ik0 (ξ) (ϕk |s2k (ξ) − π).Ïóíêò 3) ïîëíîñòüþ äîêàçàí.f , ìåíÿåò çíàê ó C-ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû dz ∧ dw, è Ïóíêò 4) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äàííàÿ èíâîëþöèÿ ñîõðàíÿåò ãàìèëüòîíèàí ñîõðàíÿåò òî÷êó(0, a2k−1 (ξ)), â êîòîðîé ϕk (0, a2k−1 (ξ)) = 0 mod 2π ââèäó 3),á).

Òåîðåìà 26 äîêàçàíà.160Ëèòåðàòóðà[1] Àðõàíãåëüñêèé Þ.À. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. Ì.: Íàóêà,1977[2] Áîáåíêî À.È. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà so(4) è e(3). Èçîìîðôèçì èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 1986, ò. 20, âûï. 1,ñ. 64-66[3] Áîëñèíîâ À.Â. Ãëàäêàÿ òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

// Ìàòåì. ñáîðíèê,1995, ò. 186, 1, ñ.3-28[4] Áîëñèíîâ À.Â. Î êëàññèôèêàöèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà äâóìåðíûõïîâåðõíîñòÿõ. // ÓÌÍ, 1994, ò. 49, âûï. 6, ñ. 195-196[5] Áîëñèíîâ À.Â., Äóëëèí Õ. Î ñëó÷àå Ýéëåðà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà èçàäà÷å ßêîáè. // Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, 1997, ò. 2, 1, ñ.64-74[6] Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà ñôåðå, ïîðîæäåííûå ñèñòåìàìè Ãîðÿ÷åâà-×àïëûãèíà è Êîâàëåâñêîé â äèíàìèêå òâåðäîãîòåëà. // Ìàòåì.

çàìåòêè, 1994, ò. 56, 2, ñ. 139-142161[7] Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.Èæåâñê: ÈÄ Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò, 1999[8] Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Òðàåêòîðíàÿ êëàññèôèêàöèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì òèïà Ýéëåðà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. // ÓÌÍ, 1993, ò. 48,âûï. 5, ñ. 163-164[9] Áðþíî À.Ä.

Ëîêàëüíûé ìåòîä íåëèíåéíîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé Ì.: Íàóêà, 1979[10] Âàñèëüåâ Â.À. Âåòâÿùèåñÿ èíòåãðàëû. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2000[11] Ãîðÿ÷åâ Ä.Í. Î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè âñëó÷àå A = B = 4C . // Ìàòåì. ñáîðíèê, 1900, ò. 21, 3[12] Çîòîâ Â.Â., Øàôàðåâè÷ À.È.

Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû ñèíâàðèàíòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ïðîèçâîëüíîãî ðîäà è èõ êâàçèêëàññè÷åñêîå êâàíòîâàíèå. // Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó, 2005, ò. XXVI, ñ. 285-301[13] Êîçëîâ Â.Â. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà.Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, 1980[14] Êîçëîâ Â.Â. Òîïîëîãè÷åñêèå ïðåïÿòñòâèÿ ê èíòåãðèðóåìîñòè íàòóðàëüíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì. // ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1979, ò. 249, 6, ñ.

1299-1302[15] Ìèëíîð Äæ. Îñîáûå òî÷êè êîìïëåêñíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé. Ì.: Ìèð,1971162[16] Ìèùåíêî À.Ñ., Ôîìåíêî À.Ò. Îáîáùåííûé ìåòîä Ëèóâèëëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 1978,ò. 12(2), ñ. 49-59[17] Ìèùåíêî À.Ñ., Ôîìåíêî À.Ò. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà êîíå÷íîìåðíûõ ãðóïïàõ Ëè. // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ìàòåì., 1978, ò. 42, 2, ñ. 396-415[18] Îøåìêîâ À.À.

Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé è áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû èìíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà íàSO(4). // ÓÌÍ, 1990, ò. 42, âûï. 2, ñ. 199-200[19] Îøåìêîâ À.À. Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî äëÿ îñíîâíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.

// Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó, 1993, ò. XXV, ñ. 23-109[20] Òàéìàíîâ È.À. Î òîïîëîãè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ. // Ìàòåì. çàìåòêè, 1988, ò. 44, âûï. 2, 283-284[21] Òðîôèìîâ Â.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìîñòü ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà àëãåáðàõ Ëè. // ÓÌÍ, 1984, ò.

39, âûï. 2, ñ. 3-56[22] Ôîìåíêî À.Ò. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. // ÓÌÍ, 1989, ò. 44, âûï. 1, 145-173[23] Ôîìåíêî À.Ò, Òåîðèÿ áîðäèçìîâ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ íåâûðîæäåííûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Íîâûé òîïîëîãè÷åñêèéèíâàðèàíò ìíîãîìåðíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì. // Èçâåñòèÿ ÀÍ ÑÑÑÐ,ñåð. ìàòåì., 1991, ò. 55, 4, ñ. 747-779163[24] Ôîìåíêî À.Ò.

Òåîðèÿ Ìîðñà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. //ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1986, ò. 287, 5, ñ. 1071-1075[25] Ôîìåíêî À.Ò. Òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ. // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ, 1988, ò.22, âûï. 4, ñ. 38-51[26] Ôîìåíêî À.Ò. Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò, ãðóáî êëàññèôèöèðóþùèé èíòåãðèðóåìûå ñòðîãî íåâûðîæäåííûå ãàìèëüòîíèàíû íà ÷åòûðåõìåðíûõñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ. // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ,1991, ò. 25, âûï. 4, ñ. 23-35[27] Ôîðñòåð Î. Ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè Ì.: Ìèð, 1980[28] Õàðòñõîðí Ð.