Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2 (1103065), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. . , Sn èìååò íåáîëåå îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé îòíîñèòåëüíîâåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw , îíà áûëà áû ïåðèîäè÷åñêîé, íå ïðîõîäÿùåé÷åðåç òî÷êó {∞} ∈ Cw . Òàêæå, ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè èíòåãðàëüíûõ òðàåê-123Ðèñ. 4.3: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cwòîðèé îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw , âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà Sk ,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ak,∗ , k = 2, .
. . , n, èìååò íà÷àëî è êîíåö â òî÷êå∞ ∈ Cw . Òåì ñàìûì, âûøå îïèñàíî ñòðîåíèå âñåõ ñåïàðàòðèñ âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cw . Çíà÷èò, Cw åñòü îáúåäèíåíèå îïèñàííûõâûøå ñåïàðàòðèñ S1 , . . . , Sn è çàïîëíåííûõ ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìèîáëàñòåé C1 , . . . , Cn , è èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè èìåþò âèä êàê íà ðèñ. 4.3.Ïåðèîä ïåðèîäè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà (èç Ck ) ðàâåí Tk =|Sk | =nPa2k+1Ra2k√dw,−P2n+1 (w)k = 1, . . . , n, à äëèíà |Sk | ñåïàðàòðèñû Sk ðàâíà(−1)i−k Ti ïðè k = 1, .
. . , n.i=kÏîýòîìó èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C f |T0 âûãëÿäÿòêàê íà ðèñóíêå 4.1. Ñðåäè ýòèõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ ðîâíî 2n − 1 ñåïàðàòðèñsi , 1 ≤ i ≤ 2n − 1, êîòîðûå ðàçáèâàþò ñëîé T0 íà n ñâÿçíûõ êîìïîíåíòck , k = 1, . . . , n, ãäå êàæäàÿ ck ñîñòîèò èç ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, îáðàçóþùèõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé.
Ïðèýòîì âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà èìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåp0 ∈ T0 ; êàæäàÿ èç ñåïàðàòðèñ s2k−2 è s2k−1 èìååò äëèíó |Sk | è áèåêòèâíîïðîåêòèðóåòñÿ ïðè äâóëèñòíîì íàêðûòèè Prw |T0 : T0 → Cw íà ñåïàðàòðèñó124Sk âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ), k = 2, . . . , n, à ñåïàðàòðèñà s1 èìååò äëèíó |S1 | è äâóëèñòíî ïðîåêòèðóåòñÿ íà ñåïàðàòðèñó S1 âåêòîðíîãî ïîëÿ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ).
Òàêæå ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ â îáëàñòè ck èìååò ïåðèîä Tk èëèáî ïðîåêòèðóåòñÿ áèåêòèâíî íà îäíó èç ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) (èçCk ), ëèáî ïðîåêòèðóåòñÿ äâóëèñòíî íà îòðåçîê [a2k , a2k+1 ] ⊂ Ck , k = 1, . . . , n.Ïðåäëîæåíèå 4.1.4 äîêàçàíî.Îáîçíà÷åíèå 4.1.5((ðàçðåçàíèå íóëåâîãî ñëîÿ ñåïàðàòðèñàìè íà öèëèí-äðû)).  îáîçíà÷åíèÿõ óòâåðæäåíèÿ 4.1.4 èìååì ðàçáèåíèÿCw = S1 ∪ . . . ∪ Sn ∪ C1 ∪ . . .
∪ Cn ,T0 = s1 ∪ . . . ∪ s2n−1 ∪ c1 ∪ . . . ∪ cníà ñåïàðàòðèñû s1 = (Prw |T0 )−1 (S1 ), s2k−2 ∪ s2k−1 = (Prw |T0 )−1 (Sk ), k =2, . . . , n, è îáëàñòèîòêðûòûå öèëèíäðû ck = (Prw |T0 )−1 (Ck ), k = 1, . . . , n.Ãðàíèöû îáëàñòåé Ck ⊂ C èìåþò âèä ∂Ck = Sk ∪ Sk+1 ïðè k = 1, . . . , n − 1,∂Cn = Sn , îòêóäà ïðè n ≥ 2 ãðàíèöû öèëèíäðè÷åñêèõ îáëàñòåé ck èìåþòâèä ∂c1 = s1 ∪ s2 ∪ s3 , ∂ck = s2k−2 ∪ s2k−1 ∪ s2k ∪ s2k+1 ïðè k = 2, .
. . , n − 1,∂cn = s2n−2 ∪ s2n−1 .4.1.2Ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõòî÷êàõ íà ñëîÿõ, áëèçêèõ ê íóëåâîìóÏðåäëîæåíèå 4.1.6. Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+1 (w), n ∈ N. ïîëå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìíèèT0ñëîÿds20Ïóñòüíà ïîïîëíå-T0 = f −1 (0) (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.11 è ñëåäñòâèå 4.1.3).γ : [0, 1] → T0 ãåîäåçè÷åñêàÿ ïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì125ds20 ,ds20Ïóñòüèìåþùàÿ íà-÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåíèå 4.1.7(À)).ñëîéTξÒîãäà ñóùåñòâóåòε > 0, òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C, |ξ| < ε,ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì, è ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìðûâíî çàâèñÿùàÿ îòòî÷êåp0 (ñì. ñëåäñòâèå 4.1.3 è ïîÿñíå-ds2ξ (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.11 è ñëåäñòâèå 4.1.3),ξ,ïî-íåïðå-èìåþùàÿ íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîépξ (ñì. ïîÿñíåíèå 4.1.7),Ïîÿñíåíèå 4.1.7.γξ : [0, 1] → Tξóäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèþγ0 = γ .(À)  ôîðìóëèðîâêå óòâåðæäåíèÿ 4.1.6 ïîä ãåîäåçè÷åñêîéïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ds2ξ íà Tξ , èìåþùåé íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êå pξ , ïîíèìàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå γξ : [0, 1] → Tξ ,òàêîå ÷òî γξ (0) = γξ (1) = pξ , γξ (t) ∈ Tξ ïðè ëþáîì t ∈ (0, 1), è γξ |(0,1) :(0, 1) → Tξ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds2ξ íà Tξ .(Á)  ôîðìóëèðîâêå óòâåðæäåíèÿ 4.1.6 ïîä óñëîâèåì î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ãåîäåçè÷åñêîé γξ : [0, 1] → Tξ îò ξ ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå: îòîáðàæåíèå2fε4 =D0,ε× [0, 1] → M[Tξ ,(ξ, t) 7→ γξ (t),|ξ|<ε2×[0, 1] (ñì.
ëåììó 4.1.2).íåïðåðûâíî ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (ξ, t) ∈ D0,εÄîêàçàòåëüñòâî.Ñîãëàñíî òåîðåìå 11 ñóùåñòâóþò ε > 0, ε1 > 0, òàêèå ÷òîäëÿ ëþáîãî ξ ∈ C, |ξ| < ε, ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòü Uξ2 ⊂ Tξ áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êè pξ ∈ Tξ è êîîðäèíàòà uξ : Uξ2 → Dε21 , ïðè÷åì uξ (pξ ) = 0∂è (uξ )∗ (sgrad C f |Uξ2 ) = u2−2n ∂u, ãäå u êîîðäèíàòà â Dε21 ⊂ C. Îòñþäà((uξ )−1 )∗ (ds2ξ |Uξ2 ) = |u|4n−4 |du|2 ïîëå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, ïðîïîðöèîíàëüíûõ åâêëèäîâîé, â îáëàñòè Dε21 ⊂ C(u), îïðåäå−1 ∗−1 −12ëÿþùåå ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ (u−1ξ , uξ ) ρξ = ρξ ◦(uξ , uξ ) â Dε1 , è ÿâëÿþùå-åñÿ îáðàòíûì îáðàçîì ïîëÿ ôîðì ds2ξ , îïðåäåëÿþùåãî ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ126ρξ â Uξ2 .
Ïîýòîìó ãåîäåçè÷åñêèå, âûõîäÿùèå èç òî÷êè u = 0 ∈ Dε21 , ñîäåðæàòðàäèóñû îòêðûòîãî êðóãà Dε21 , à ãðàíèöà ∂Dε21 ýòîãî êðóãà ÿâëÿåòñÿ îêðóæ−1 ∗íîñòüþ (â ñìûñëå ôóíêöèè ðàññòîÿíèÿ (u−1ξ , uξ ) ρξ ) ðàäèóñà rε1 =ε4n−314n−3> 0.Ïîñêîëüêó ñëîé T0 íåîñîáûé è ìíîæåñòâî T0 \U02 êîìïàêòíî ïî òåîðåìå 11, òî∆0 |T0 \U02 ãîëîìîðôíàÿ è îòäåëåííàÿ îò íóëÿ 1-ôîðìà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþòε2 , ε3 > 0 è êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åñêîå âëîæåíèå ψ0 : Π0 → T0 ïðÿìîóãîëüíèêàΠ0 := {z̃0 ∈ C | ε2 ≤ Re z̃0 ≤ 1 − ε2 , | Im z̃0 | ≤ ε3 } ⊂ C,òàêèå ÷òî ψ0 |[ε2 ,1−ε2 ] = γ|[ε2 ,1−ε2 ] , îáðàçû âñåõ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà Π0 ïðèâëîæåíèè ψ0 ïðèíàäëåæàò U02 (ò.å. ψ0 (ε2 ± iε3 ), ψ0 (1 − ε2 ± iε3 ) ∈ U02 ) è dz̃0 =(ψ0 )∗ ∆0 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ε4 > 0 è ñåìåéñòâî êîìïëåêñíîàíàëèòè÷åñêèõ âëîæåíèé ψξ : Π0 → Tξ , ξ ∈ C, |ξ| < ε4 , òàêèå ÷òî îáðàçû âñåõ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà Π0 ïðè êàæäîì âëîæåíèè ψξ , ïðèíàäëåæàòUξ2 , dz̃0 = (ψξ )∗ ∆ξ , è îòîáðàæåíèå (ξ, z̃0 ) 7→ ψξ (z̃0 ) ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîàíàëèòè÷åñêèì. Îòñþäà ñóùåñòâóåò ε5 > 0, òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C,|ξ| < ε5 , ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê â ïðÿìîóãîëüíèêå Π0 ⊂ C(z̃0 ) (à ñòàëî áûòü, ãåîäåçè÷åñêàÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds2ξ ), îðòîãîíàëüíûé äóãàì (ψξ )−1 ◦ (uξ )−1 (∂Dε21 ) â îáåèõ òî÷êàõ ñâîåãî ïåðåñå÷åíèÿ ñäóãàìè, è ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì Π0 ñ íåêîòîðîé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé âC.
Ïðîäîëæàÿ ýòó ãåîäåçè÷åñêóþ â êðóãå Uξ ≈ Dε21 äî öåíòðà u−1ξ (0) = pξýòîãî êðóãà ïî ðàäèóñàì, ìîæíî ïîëó÷èòü èñêîìóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γξ , ñì.ðèñ 4.4.Îáîçíà÷èì ÷åðåç ak (ξ) êîðåíü óðàâíåíèÿ P2n+1 (w) = ξ , áëèçêèé ê ak ,1 ≤ k ≤ 2n + 1. Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ 4.1.4 è 4.1.6, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå127Ðèñ. 4.4: Ïðîäîëæåíèå ãåîäåçè÷åñêèõñëåäñòâèå.Ñëåäñòâèå 4.1.8. Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+1 (w),ãäåP2n+1 (w) = (w −a1 ) .
. . (w−a2n+1 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n+1, a1 < a2 < . . . < a2n+1 , n ∈ N. Òîãäàñóùåñòâóåòε > 0,òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãîξ ∈ C, |ξ| < ε,íåîñîáûì, à òàêæå ñóùåñòâóåò íàáîð ãåîäåçè÷åñêèõTξïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìds2ξ , |ξ| < ε,ñëîéTξÿâëÿåòñÿs1 (ξ), . . . , s2n−1 (ξ), d1 (ξ), . . . , dn (ξíåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îòþùèõ íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåξ,èìå-pξ (ñì. ñëåäñòâèå 4.1.3 èïîÿñíåíèå 4.1.7), óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì sk (0) = sk , k = 1, .
. . , 2n−1, dm (0) = dm , m = 1, . . . , n,i = 1, . . . , 2n + 1,ãäåÎáîçíà÷åíèå 4.1.9sk , dmè íå ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè(0, ai (ξ)) ∈ Tξ ,êàê â óòâåðæäåíèè 4.1.4.((ðàçðåçàíèå ñëîÿ, áëèçêîãî ê íóëåâîìó, ãåîäåçè÷åñêèìè2íà öèëèíäðû)). Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 4.1.8, ïðè ëþáîì ξ ∈ D0,εèìååì ñëåäó-þùèå ðàçáèåíèÿ ïëîñêîñòè C = Cw è ñëîÿ Tξ = f −1 (ξ), àíàëîãè÷íûå ââåäåííûì â îáîçíà÷åíèè 4.1.5 ïðè ξ = 0:C = S1 (ξ)∪.
. .∪Sn (ξ)∪C1 (ξ)∪. . .∪Cn (ξ), Tξ = s1 (ξ)∪. . .∪s2n−1 (ξ)∪c1 (ξ)∪. . .∪cn (ξ),ãäå Ck (ξ) êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè Cw \(S1 (ξ)∪. . .∪Sn (ξ)), ñîäåðæàùàÿ òî÷êèa2k (ξ), a2k+1 (ξ), 1 ≤ k ≤ n. Ïðè n ≥ 2 ãðàíèöû öèëèíäðè÷åñêèõ îáëàñòåé128ck (ξ) èìåþò âèä ∂c1 (ξ) = s1 (ξ) ∪ s2 (ξ) ∪ s3 (ξ), ∂ck (ξ) = s2k−2 (ξ) ∪ s2k−1 (ξ) ∪s2k (ξ) ∪ s2k+1 (ξ) ïðè k = 2, .
. . , n − 1, ∂cn (ξ) = s2n−2 (ξ) ∪ s2n−1 (ξ).4.1.3Êîìïëåêñíûå êîîðäèíàòû äåéñòâèå-óãîë è ôóíêöèè ïåðåõîäà. Êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà ËèóâèëëÿÎïðåäåëåíèå 4.1.10.ε-îêðåñòíîñòüþk -îéÏóñòü ε > 0 êàê â ñëåäñòâèè 4.1.8.íóëåâîãî ñëîÿ÷åòûðåõìåðíîé×åòûðåõìåðíîéT0 íàçîâåì îáëàñòü Uε (T0 ) :=ε-ðó÷êîé Gε,k íàçîâåì åå ïîäìíîæåñòâîGε,k :=[ck (ξ) ⊂ Uε (T0 ),STξ ⊂ C2 , à|ξ|<ε1 ≤ k ≤ n,|ξ|<εãäå ck (ξ) çàìûêàíèå öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòè ck (ξ) ⊂ Tξ èç îáîçíà÷åíèÿ 4.1.9.Îòìåòèì, ÷òî êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõìåðíûõ ε-ðó÷åê Gε,k ðàâíî n (ñì. îáîçíà÷åíèå 4.1.9), è ðó÷êè ïîêðûâàþò âñþ ÷åòûðåõìåðíóþ ε-îêðåñòíîñòü Uε (T0 )nSñëîÿ T0 , ò.å. Uε (T0 ) =Gε,k .  ÷àñòíîñòè, äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàk=1(n = 1) ðó÷êà ðîâíî îäíà è ñîâïàäàåò ñ ε-îêðåñòíîñòüþ Uε (T0 ) ñëîÿ T0 .Òåîðåìà 25((êîìïëåêñíàÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äëÿ ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî ãà-ìèëüòîíèàíà íå÷åòíîé ñòåïåíè)).ÄëÿC-ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû(C2 , dz ∧dw, f ) ñ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà f (z, w) = z 2 +P2n+1 (w) è ñîîòâåòñòâóþùåãîëàãðàíæåâà ñëîåíèÿ(ñì.
îïðåäåëåíèå 3.1.6),ãäåP2n+1 (w) = (w − a1 ) . . . (w −a2n+1 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a2n+1 , n ∈ N,ε > 0,ñóùåñòâóåòòàêîå ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:1) äëÿ ëþáîãîξ ∈ C, |ξ| < ε,ãîìåîìîðôåí ñôåðå ñnñëîéTξ = f −1 (ξ)ðó÷êàìè è îäíèì ïðîêîëîì;129ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì è2) ëàãðàíæåâî ñëîåíèå â ÷åòûðåõìåðíîéε-îêðåñòíîñòè Uε (T0 )ñëîÿT0T0íàòðèâèàëüíî, ò.å. ïîñëîéíî ãîìåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ñëîÿîòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê3) â îêðåñòíîñòè2D0,ε= {ξ ∈ C | |ξ| < ε};Uε (T0 )ñóùåñòâóþò2nãîëîìîðôíûõ ôóíêöèéI1 , . . . , In , J1 , .
. . , Jn : Uε (T0 ) → C,à äëÿ êàæäîé ÷åòûðåõìåðíîéε-ðó÷êè Gε,k ⊂ Uε (T0 ), k = 1, . . . , n,ñòâóåò ãîëîìîðôíîå âëîæåíèå (çàäàâàåìîå ïðèk>1ñóùå-êîìïëåêñíûìè êîîð-äèíàòàìè äåéñòâèå-óãîë)(Ik |Gε,k , ϕk mod 2π) : Gε,k2 ≤ k ≤ n; C × (C/2πZ),S,→1{I1 } × (TC2 ( dJ(I1 ))) \ γI1 , k = 1,dI1 I ∈De1ãäå ïðèk = 1ôóíêöèÿôóíêöèåé, ÷åðåçϕ1 mod 2πdJ1dI1 (I1 )∈ C \ R,ðàç ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêàn = 1,1(TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \ γI1γI1÷åðåç(1)è1γI1 ⊂ TC2 ( dJdI1 (I1 ))(1)A3 (I1 )A4 (I1 ) ⊂ C1C → TC2 ( dJdI1 (I1 )),îòfè ÷åðåç1(TC2 ( dJdI1 (I1 ))) \dϕ1 dϕ1 , ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:Ik , Jk : Uε (T0 ) → CJk = Jk (f )îáîçíà÷åí îá-(âûðîæäàþùåãîñÿ â òî÷-îáîçíà÷åíî ïîïîëíåíèå íàäðåçàííîãî òîðàîòíîñèòåëüíî ðèìàíîâîé ìåòðèêèIk = Ik (f )dJ1dI1 (I1 )Z) îáîçíà÷åí êîìïëåêñíûéñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
