Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C^2, страница 22

Ïåðèîä T ÿâëÿåòñÿìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì ýòîé òðàåêòîðèè (ò.å. k = 1) â ñèëó îòêðûòîñòè îáúåäèíåíèÿ (T /k)-ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, ñì. âûøå. Ïîýòîìó ĝ ∈ Γi , ÷òîäîêàçûâàåò çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà Γi â ci .Òàê êàê Γi 6= ∅, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì è çàìêíóòûì â ci , òî Γi = ci .144Øàã 2. Ðàññìîòðèì ïðîåêöèþ Prw : T0 → Cw , (z, w) 7→ w. Äàííàÿ ïðîåêöèÿ ÿâëÿåòñÿ äâóëèñòíûì ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì ñ òî÷êàìè âåòâëåíèÿa1 , . . .

, a2n+2 , {∞} ∈ Cw . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïóñòü a1 < a2 < . . . <a2n+2 , òîãäà P2n+2 |(−∞,a1 )∪(a2 ,a3 )∪...∪(a2n+2 ,+∞) > 0 è P2n+2 |(a1 ,a2 )∪(a3 ,a4 )∪...∪(a2n+1 ,a2n+2 ) <0. Ïîýòîìó (îïðåäåëåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) âåêòîðíîå ïîëå ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) =p±2 −P2n+2 (w)∂/∂w íà Cw êàñàòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ C íà ïîäìíîæåñòâå (a1 , a2 ) ∪ (a3 , a4 ) ∪ .

. . ∪ (a2n+1 , a2n+2 ) ⊂ R è îðòîãîíàëüíî ýòîéïðÿìîé íà ïîäìíîæåñòâå (−∞, a1 ) ∪ (a2 , a3 ) ∪ . . . ∪ (a2n+2 , +∞) ⊂ R.Øàã 3. Ïîñêîëüêó â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê p0,1 , p0,2 ∈ T0 âåêòîðíîå ïîëåsgrad C f |T0 èìååò îñîáåííîñòü ïîëþñ n − 1-ãî ïîðÿäêà, êîëè÷åñòâî ñåïàðàòðèñâ òî÷êå p0,j , j = 1, 2, ðàâíî 2n), à òàê êàê òî÷êè p0,1 , p0,2 ÿâëÿþòñÿ ïðîîáðàçàìè òî÷êè ∞, òî êîëè÷åñòâî ñåïàðàòðèñ (îïðåäåëåííîãî ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà)âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) â òî÷êå {∞} ∈ Cw ðàâíî 2n.Èçó÷èì ñåïàðàòðèñû âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cw .Ñóùåñòâóåò n + 1 îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé,îáõîäÿùèõ âîêðóã îòðåçêîâ [a2k−1 , a2k ], k = 1, .

. . , n + 1. Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ êâåêòîðíîìó ïîëþ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) è óêàçàííûì n+1 ñåìåéñòâàì ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì íà øàãå 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè êàæäîì k = 1, . . . , n ñóùåñòâóåò òî÷êà ak,∗ ∈ [a2k , a2k+1 ] ⊂ R ⊂Cw , êîòîðàÿ âî-ïåðâûõ ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ îòðåçêîì [a2k−1 , a2k ] ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà(îáõîäÿùèõ âîêðóã îòðåçêà [a2k−1 , a2k ]), à âî-âòîðûõ ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîéñåïàðàòðèñå, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç Sk . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ck îáúåäèíåíèåâñåõ ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà, k = 1, . .

. , n+1. Çàìåòèì, ÷òî145Ðèñ. 4.12: Èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cwêàæäàÿ ñåïàðàòðèñà S1 , . . . , Sn+1 èìååò íå áîëåå îäíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw ,îíà áûëà áû ïåðèîäè÷åñêîé, íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó {∞} ∈ Cw . Òàêæå,ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ⊂ Cw , âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà Sk , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ak,∗ ,k = 1, . . . , n+1, èìååò íà÷àëî è êîíåö â òî÷êå ∞ ∈ Cw . Òåì ñàìûì, âûøå îïèñàíî ñòðîåíèå âñåõ ñåïàðàòðèñ âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) íà ñôåðå Cw .

Çíà÷èò, Cw åñòü îáúåäèíåíèå îïèñàííûõ âûøå ñåïàðàòðèñ S1 , . . . , Snè çàïîëíåííûõ ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè îáëàñòåé C1 , . . . , Cn+1 , è èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè èìåþò âèä êàê íà ðèñ. 4.12. Ïåðèîä ïåðèîäè÷åñêèõèíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà (èç Ck ) ðàâåí Tk =k = 1, . . . , n + 1, à äëèíà |Sk | ñåïàðàòðèñû Sk ðàâíà |Sk | =aR2ka2k−1kP√dw,−P2n+2 (w)(−1)k−i Ti ïðèi=1k = 1, . .

. , n.Ïîýòîìó èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè âåêòîðíîãî ïîëÿ sgrad C f |T0 âûãëÿäÿòêàê íà ðèñóíêå 4.10.Ñðåäè ýòèõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ ðîâíî 2n ñåïàðàòðèñ si ,1 ≤ i ≤ 2n, êîòîðûå ðàçáèâàþò ñëîé T0 íà n + 1 ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ck ,146k = 1, . . . , n + 1, ãäå êàæäàÿ ck ñîñòîèò èç ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, îáðàçóþùèõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé. Ïðèýòîì âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà S2k−1 èìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîéòî÷êå p0,1 ∈ T0 , à âñÿêàÿ ñåïàðàòðèñà S2k èìååò íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå p0,2 ∈ T0 , k = 1, .

. . , n; êàæäàÿ èç ñåïàðàòðèñ s2k−1 ès2k èìååò äëèíó |Sk | è áèåêòèâíî ïðîåêòèðóåòñÿ ïðè äâóëèñòíîì íàêðûòèèPrw |T0 : T0 → Cw íà ñåïàðàòðèñó Sk âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ),k = 1, . . . , n. Òàêæå ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ â îáëàñòè ck èìååò ïåðèîä Tk è ëèáîïðîåêòèðóåòñÿ áèåêòèâíî íà îäíó èç ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé k -ãî ñåìåéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âåêòîðíîãî ïîëÿ ±(Prw )∗ (sgrad f |T0 ) (èç Ck ),ëèáî ïðîåêòèðóåòñÿ äâóëèñòíî íà îòðåçîê [a2k−1 , a2k ] ⊂ Ck , k = 1, .

. . , n + 1.Ïðåäëîæåíèå 4.2.4 äîêàçàíî.Îáîçíà÷åíèå 4.2.5((ðàçðåçàíèå íóëåâîãî ñëîÿ ñåïàðàòðèñàìè íà öèëèí-äðû)).  îáîçíà÷åíèÿõ óòâåðæäåíèÿ 4.2.4 èìååì ðàçáèåíèÿCw = S1 ∪ . . . ∪ Sn ∪ C1 ∪ . . . ∪ Cn+1 ,T0 = s1 ∪ . . . ∪ s2n ∪ c1 ∪ . . . ∪ cn+1íà ñåïàðàòðèñû s2k−1 ∪s2k = (Prw |T0 )−1 (Sk ), k = 1, . . . , n, è îáëàñòèîòêðûòûåöèëèíäðû ck = (Prw |T0 )−1 (Ck ), k = 1, . . . , n + 1. Ãðàíèöû îáëàñòåé Ck ⊂ Cèìåþò âèä ∂Ck = Sk ∪ Sk+1 ïðè k = 2, . . . , n, ∂C1 = S1 , ∂Cn+1 = Sn+1 , îòêóäàïðè n ≥ 2 ãðàíèöû öèëèíäðè÷åñêèõ îáëàñòåé ck èìåþò âèä ∂c1 = s1 ∪ s2 ,∂ck = s2k−3 ∪ s2k−2 ∪ s2k−1 ∪ s2k ïðè k = 2, . . . , n, ∂cn+1 = s2n−1 ∪ s2n .1474.2.2Ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ñ êîíöàìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõòî÷êàõ íà ñëîÿõ, áëèçêèõ ê íóëåâîìóÏðåäëîæåíèå 4.2.6.

Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+2 (w), n ∈ N.ïîëå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìT0ñëîÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìîäíîé èç áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åêóäàëåííûõ òî÷åêñóùåñòâóåòp0,1 , p0,2òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãîíåîñîáûì, è ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿîòξ,γ :ds20 , èìåþùàÿ íà÷àëî âξ ∈ C, |ξ| < ε,γξ : [0, 1] → TξñëîéTξóäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèþÒîãäàÿâëÿåòñÿïîëÿ êâàäðàòè÷íûõíåïðåðûâíî çàâèñÿùàÿèìåþùàÿ íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷êàõÏîÿñíåíèå 4.2.7.è êîíåö â îäíîé èç áåñêîíå÷íîds2ξ (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.11 è ñëåäñòâèå 4.2.3),ïîÿñíåíèå 4.2.7),Ïóñòüp0,1 , p0,2 (ñì. ñëåäñòâèå 4.2.3 è ïîÿñíåíèå 4.2.7(À)).ε > 0,ds20íà ïîïîëíåíèèT0 = f −1 (0) (ñì. îïðåäåëåíèå 3.1.11 è ñëåäñòâèå 4.2.3).[0, 1] → T0ôîðìds20Ïóñòüpξ,1 , pξ,2 (ñì.γ0 = γ .(À)  ôîðìóëèðîâêå óòâåðæäåíèÿ 4.2.6 ïîä ãåîäåçè÷åñêîéïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ds2ξ íà Tξ , èìåþùåé íà÷àëî è êîíåö â áåñêîíå÷íîóäàëåííûõ òî÷êàõ pξ,1 , pξ,2 , ïîíèìàåòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå γξ : [0, 1] →Tξ , òàêîå ÷òî γξ (0), γξ (1) ∈ {pξ,1 , pξ,2 }, γξ (t) ∈ Tξ ïðè ëþáîì t ∈ (0, 1), èγξ |(0,1) : (0, 1) → Tξ ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds2ξ íà Tξ .(Á)  ôîðìóëèðîâêå óòâåðæäåíèÿ 4.2.6 ïîä óñëîâèåì î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ãåîäåçè÷åñêîé γξ : [0, 1] → Tξ îò ξ ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå: îòîáðàæåíèå2D0,εfε4 =× [0, 1] → M[Tξ ,(ξ, t) 7→ γξ (t),|ξ|<ε2íåïðåðûâíî ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ (ξ, t) ∈ D0,ε×[0, 1] (ñì.

ëåììó 4.2.2).148Äîêàçàòåëüñòâî.Ñîãëàñíî òåîðåìå 11 ñóùåñòâóþò ε > 0, ε1 > 0, òàêèå ÷òî2äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C, |ξ| < ε, ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòè Uξ,j⊂ Tξ áåñêîíå÷íî óäà2→ Dε21 , ïðè÷åì uξ,j (pξ,j ) = 0ëåííûõ òî÷åê pξ,j ∈ Tξ , è êîîðäèíàòà uξ,j : Uξ,j1−n ∂22 ) = uè (uξ,j )∗ (sgrad C f |Uξ,j∂u , j = 1, 2, ãäå u êîîðäèíàòà â Dε1 ⊂ C. Îò2n−22 ) = |u|ñþäà ((uξ,j )−1 )∗ (ds2ξ |Uξ,j|du|2 ïîëå íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõêâàäðàòè÷íûõ ôîðì, ïðîïîðöèîíàëüíûõ åâêëèäîâîé, â îáëàñòè Dε21 ⊂ C(u),−1 ∗−1 −12îïðåäåëÿþùåå ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ (u−1ξ,j , uξ,j ) ρξ = ρξ ◦ (uξ,j , uξ,j ) â Dε1 , èÿâëÿþùååñÿ îáðàòíûì îáðàçîì ïîëÿ ôîðì ds2ξ , îïðåäåëÿþùåãî ôóíêöèþ ðàñ2ñòîÿíèÿ ρξ â Uξ,j.

Ïîýòîìó ãåîäåçè÷åñêèå, âûõîäÿùèå èç òî÷êè uj = 0 ∈ Dε21 ,ñîäåðæàò ðàäèóñû îòêðûòîãî êðóãà Dε21 , à ãðàíèöà ∂Dε21 ýòîãî êðóãà ÿâ−1 ∗ëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ (â ñìûñëå ôóíêöèè ðàññòîÿíèÿ (u−1ξ,j , uξ,j ) ρξ ) ðàäèóñàrε1 =ε4n−314n−322)∪ U0,2> 0. Ïîñêîëüêó ñëîé T0 íåîñîáûé è ìíîæåñòâî T0 \ (U0,12 ∪U 2 ) ãîëîìîðôíàÿ è îòäåëåííàÿ îòêîìïàêòíî ïî òåîðåìå 11, òî ∆0 |T0 \(U0,10,2íóëÿ 1-ôîðìà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ε2 , ε3 > 0 è êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åñêîåâëîæåíèå ψ0 : Π0 → T0 ïðÿìîóãîëüíèêàΠ0 := {z̃0 ∈ C | ε2 ≤ Re z̃0 ≤ 1 − ε2 , | Im z̃0 | ≤ ε3 } ⊂ C,òàêèå ÷òî ψ0 |[ε2 ,1−ε2 ] = γ|[ε2 ,1−ε2 ] , îáðàçû âñåõ âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà Π0 ïðèâëîæåíèè ψ0 ïðèíàäëåæàò U02 (ò.å.

ψ0 (ε2 ± iε3 ), ψ0 (1 − ε2 ± iε3 ) ∈ U02 ) è dz̃0 =(ψ0 )∗ ∆0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ε4 > 0 è ñåìåéñòâî êîìïëåêñíîàíàëèòè÷åñêèõ âëîæåíèé ψξ : Π0 → Tξ , ξ ∈ C, |ξ| < ε4 , òàêèå ÷òî îáðàçû âñåõ2âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà Π0 ïðè êàæäîì âëîæåíèè ψξ , ïðèíàäëåæàò Uξ,1∪2Uξ,2, dz̃0 = (ψξ )∗ ∆ξ , è îòîáðàæåíèå (ξ, z̃0 ) 7→ ψξ (z̃0 ) ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åñêèì. Îòñþäà ñóùåñòâóåò ε5 > 0, òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ξ ∈ C, |ξ| <ε5 , ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê â ïðÿìîóãîëüíèêå Π0 ⊂149Ðèñ. 4.13: Ïðîäîëæåíèå ãåîäåçè÷åñêèõC(z̃0 ) (à ñòàëî áûòü, ãåîäåçè÷åñêàÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêè ds2ξ ), îðòîãîíàëüíûéäóãàì (ψξ )−1 ◦ (uξ,j )−1 (∂Dε21 ), j = 1, 2, â îáåèõ òî÷êàõ ñâîåãî ïåðåñå÷åíèÿ ñäóãàìè, è ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì Π0 ñ íåêîòîðîé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé â2C. Ïðîäîëæàÿ ýòó ãåîäåçè÷åñêóþ â êðóãå Uξ,j≈ Dε21 äî öåíòðà u−1ξ,j (0) = pξ,jýòîãî êðóãà ïî ðàäèóñàì, ìîæíî ïîëó÷èòü èñêîìóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γξ , ñì.ðèñ 4.13.Îáîçíà÷èì ÷åðåç ak (ξ) êîðåíü óðàâíåíèÿ P2n+2 (w) = ξ , áëèçêèé ê ak ,1 ≤ k ≤ 2n + 2.

Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ 4.2.4 è 4.2.6, ïîëó÷àåì ñëåäóþùååñëåäñòâèå.Ñëåäñòâèå 4.2.8. Ïóñòüf (z, w) = z 2 + P2n+2 (w),ãäåP2n+2 (w) = (w −a1 ) . . . (w−a2n+2 ), ai ∈ R, i = 1, . . . , 2n+2, a1 < a2 < . . . < a2n+2 , n ∈ N. Òîãäàñóùåñòâóåòε > 0,òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãîξ ∈ C, |ξ| < ε,íåîñîáûì, à òàêæå ñóùåñòâóåò íàáîð ãåîäåçè÷åñêèõTξïîëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðìñëîéTξÿâëÿåòñÿs1 (ξ), . . .