Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 9

В МКЭ аппроксимируется само решение задачи припомощи базисных функций. Дискретизация МКЭ начинается с разбиения конструкции с помощью некоторой сетки на неперекрывающиеся подобласти конечных размеров - конечные элементы (КЭ), взаимосвязанные между собой вузловых точках. Выбор формы и размеров КЭ зависит от геометрических иструктурных особенностей оболочечной конструкции, при этом используемаяконечно-элементная сетка должна обеспечивать простоту формы КЭ, возможноменьшую размерность и требуемую точность расчета.

Точность решения задачи МКЭ в пределах каждого КЭ и, следовательно, по всей конструкции зависитот числа степеней свободы конечного элемента, равного произведению числаузловых точек на число неизвестных в каждой из точек конечно-элементнойсхемы. Повысить точность решения можно либо увеличением числа КЭ, либоувеличением числа узловых точек. При расчете конструкций, обладающихбольшими размерами и сложной геометрией, используется метод суперэлементов.В МКР (методе сеток) область непрерывного изменения аргументов исходной континуальной задачи заменяется дискретным множеством точек,называемым сеткой или сеточной областью и наложенным определенным образом на расчетную область.

Выбор типа сетки - равномерная, неравномерная,косоугольная, ортогональная простая, скрещивающаяся и т.д. - определяетсяспецификой решаемой задачи. Аппроксимация на сетке исходной краевой задачи приводит к системе разностных (сеточных) уравнений. Разностные аналоги уравнений равновесия (движения) элемента конструкции получаются изусловия минимума разностного аналога соответствующего функционала, изусловия удовлетворения сеточных функций интегральному тождеству и т.д.[88].Как МКЭ, так и МКР обладают своими специфическими преимуществами и недостатками. Преимущества МКЭ связаны в основном с меньшей, чем вМКР, чувствительностью к форме внешней или внутренней границы элемента- 54 -конструкции, что делает МКЭ более предпочтительным при расчете нерегулярных конструкций сложной формы.

Эффективность МКР связана с использованием простейших формул численного дифференцирования, а также минимального количества узлов численного интегрирования при аппроксимациисоответствующих функционалов в вариационных уравнениях. В настоящей работе для дискретизации составных конструкций каркасного типа используетсявариационно-разностный метод (ВРМ) в варианте метода перемещений в форме МКР.Применение МКЭ или МКР для решения прикладных задач МДТТ приводит к системе алгебраических уравнений высокого порядка видаAU  B  0,(2.1)где U - искомый вектор обобщенных перемещений. Поскольку использованиепрямых (точных) методов для решения системы (2.1) в задачах МДТТ к связаносо значительными трудностями математического характера и имеет весьмаограниченную область практического приложения, то обычно используютсяитерационные методы, полученные на основе различных явных и неявных разностных схем.

В итерационных методах решение системы (2.1) находится какпредел последовательных приближений U(n): U(n)U при n; n - номер приближения (итерации). Поскольку за конечное число итераций этот предел недостигается, то итерационный процесс продолжается до выполнения одногоили нескольких условий видаU (n)  U (n+1)  U;(2.2)U (n)  U (n +1) (U);U (n +1)(2.3)AU (n)  B  R ,(2.4)где U,(U),R - заданные абсолютная, относительная погрешность и невязкауравнений (2.1). Эффективность различных численных методов обычно оцени-- 55 -вается по числу итераций n(), необходимых для удовлетворения условий (2.2)(2.4), а также по затратам машинного времени и памяти ЭВМ.Недостатки явных схем связаны, в основном, с зависимость числа итераций n() от числа неизвестных К, т.к. при сгущении сетки ограничения, налагаемые критерием устойчивости, приводят к уменьшению шага по времени.

Численным методам, построенным на неявных схемах, указанные недостатки нехарактерны, и сходимость достигается за относительно небольшое число итераций. Однако значительные трудности практической реализации вычислительных алгоритмов для сложных, нелинейных задач с разрывами полей параметров НДС существенно ограничивают область применения неявных схем[19,20].Практическая реализация вычислительных алгоритмов, построенных наявных схемах, не вызывает таких затруднений даже для сложных, нелинейныхзадач [19,30]. В связи с этим для решения сеточных аналогов дифференциальных уравнений, описывающих нелинейное деформирование составных конструкций каркасного типа при различных вариантах статического и динамического нагружения, в диссертации разрабатываются эффективные и экономичные численные методы, построенные на основе явных разностных схем.§ 2.2.

Построение разностной схемыпри расчете составных конструкцийПри численном решении нелинейной начально-краевой задачи для дискретизации по пространственной x (α) и временной t координате используетсяметод конечных разностей [7,88]. Для каждого элемента составной конструкции в области непрерывного изменения аргумента x (для прямолинейного элемента: 0≤x≤ l) и α (для криволинейного элемента: 0, рис. 1.3) вводитсяосновная сетка с шагом x=const (x=const), узлы которой имеют целочисленные индексы i, а также вспомогательная сетка с дробными индексами (i1/2),узлы которой лежат посередине между узлами основной (рис. 2.1).- 56 -xi=1x=0xi-1i-1/2ii+1i+1/2i=Nxx=lРис. 2.1Шаги сетки x и x для прямолинейного и криволинейного элементаопределяются какx l;N -1x ,N -1(2.5)где N - число точек дискретизации: 1 i  N. В узлах основной сетки функциямобобщенных перемещений uk(x), скоростей u k (x) и нагрузок qk(x) сопоставляются сеточные функции uk(i), u k (i) и qk(i).

С узлами вспомогательной сетки сопоставляются сеточные функции параметров НДС. Сеточные функции физикомеханических характеристик элемента конструкции и нагрузок вводятся в соответствующих точках основной и вспомогательной сеток.При использовании МКР исходные интегро-дифференциальные уравнения и граничные условия аппроксимируются разностными уравнениями, решение которых зависит от шагов сетки как от параметров.

Точность аппроксимации может быть повышена либо увеличением числа точек дискретизации, либоаппроксимацией разностными операторами более высокого порядка точности.Использование аппроксимаций высокого порядка приводит к увеличению числа узлов при составлении разностного шаблона и усложнению структуры РС.В диссертации дифференциальные операторы, входящие в соотношения(1.3)-(1.61), аппроксимируются разностными операторами второго порядкаточности 0(x2) с кусочно-линейной интерполяцией функций внутри ячейкичерез значения uk(i) в узлах основной сетки, что позволяет получать численныерешения статических и динамических задач механики составных конструкцийдостаточной точности при сравнительно простых структурах разностных уравнений [102-104].- 57 -2.2.1. Конечно-разностная аппроксимация параметровдеформированного состояния элементов составной конструкцийПри конечно-разностной аппроксимации параметров деформированногосостояния следует использовать следующее эмпирическое правило: при построении РС не следует зря раскрывать скобки и пользоваться формулойдифференцирования произведения [7].

Это позволяет избежать ненужногоусложнения структуры конечно-разностных аналогов уравнений равновесия(1.41),(1.42) и движения (1.50) элементов составной конструкции. При численном решении сложных нелинейных задач в рамках соотношений теории Тимошенко наиболее эффективной является разностная схема, в которой придискретизации функционала Лагранжа все параметры тангенциальной, изгибной и трансверсальной деформации аппроксимируются в точках вспомогательной сетки (i  1/2) [30,32].Искомые функции обобщенных перемещений аппроксимируются кусочно-линейными с интерполяцией функций внутри ячейки через значения сеточных функций uk(i) в узлах основной сетки. Конечно-разностные аппроксимации параметров тангенциальной, изгибной и трансверсальной деформации(1.3),(1.4) для криволинейной и прямолинейной балки в точке вспомогательнойсетки (i + 1/2) имеют вид:x w i  w i+1;xE xx u i1  u i 1 2 ( x ) i+1/2;x2K xx  i1   i;xw i  w i+1u  u i+11 (k x ) i1/2 i;(R x ) i+1/2x2u i1  u iw  w i1 1 21 (k x ) i+1/2 i ( x ) i+1/2;(R x ) i+1/2  x22x E xxK xx  i1   i1;(R x ) i+1/2  xE xz  i   i1 ( x ) i1/2.2- 58 -(2.6)Конечно-разностные аппроксимации для компонент деформации в точках вспомогательной сетки (i - 1/2) легко получаются из (2.6) круговой перестановкой индексов.

Поскольку для аппроксимации дифференциальных операторов в (1.3),(1.4) использовались центральные конечные разности с интерполяцией сеточных функций обобщенных перемещений uk(i) из узлов основнойсетки в соответствующие узлы вспомогательной, то формулы (2.6) аппроксимируют исходные дифференциальные зависимости (1.3),(1.4) со вторым порядком точности 0(x2) [7,88].2.2.2. Конечно-разностная аппроксимация параметровнапряженного состояния элементов составной конструкциипри решении упруго-пластических задачПри аппроксимации параметров напряженного состояния балочного элемента составной конструкции нормальные и касательные напряжения xx,xz, атакже силовые факторы Тxx,Qxz,Mxx - аппроксимируются в тех же точках вспомогательной сетки (i1/2), что и соответствующие параметры деформированного состояния.При численном решении физически нелинейных задач для определениясостояния армирующих элементов (упругое, пластическое, нагрузка, разгрузка)вводятся сеточные функции интенсивности деформаций (1.29) для нижнего(ei)a1(i1/2) и верхнего (ei)a2(i1/2) слоя арматуры при z=z1 и z=z2 соответственно (рис.

1.11, 2.2). Поскольку разностная схема строится в форме метода перемещений, то условие текучести Мизеса для армирующих элементов формулируется в виде (ei)am(i1/2)  т (m=1,2). При вычислении напряжений в бетонежелезобетонный элемент разбивается на заданное число L слоев по толщине(рис. 2.2). Толщина каждого слоя равна hb = hk/ L, где hk - толщина k–го элемента составной конструкции. Сеточные функции деформаций и напряжений вбетоне (1.30) соотносятся с серединой l-го слоя; l - индекс слоя: l=1,2, ... ,L(рис.

2.2). Как нормальные, так и касательные напряжения в бетоне вычисля- 59 -ются в середине слоя в соответствии с соотношениями (1.3)-(1.6),(1.30) и полагаются постоянными в пределах толщины слоя. Если нормальные напряженияв l-ом слое бетона с координатой z=zl превышают (  bz )l ≥Rbt, то полагается, чтов слое рассматриваемого поперечного сечения балки возникла трещина. В случае закрытия трещины, что определяется по смене знака сеточных функцийдеформации и напряжений в l-ом слое с «плюса» (растяжение) на «минус»(сжатие), то полагается, что данный слой бетона полностью включился в работу сечения.z[ei]a2l=Lz=+h/2h2z2zli-1ii-1/2i+1hbxi+1/2z1h1l=1[ei]a1z=-h/2Рис. 2.2Сеточные функции усилий и моментов в поперечном сечении k-го элемента железобетонной составной конструкции определяются в соответствии с(1.31) численным интегрированием напряжений в арматуре и бетоне по следующим формуламLTxx (i  1/2)  b    a1  h1   a 2  h1   ( бz ) l  h b ;l 111/ 2(2.7)LM xx (i  1/2)  b    a1  z1  h1   a 2  z 2  h1   ( бz  z) l  h b ;l 111/ 2LQ xz (i  1/2)  k 2b    a1  h1   a 2  h1   (бz ) l  h b ,l 111/ 2где zl - координата середины l-го слоя (рис.