Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 12

Следует отметить, что с математической точки зрения кубическая сплайн-функция (2.30) имеет минимально возможную кривизну, среди всех функций, интерполирующих данные точки, что является весьма важным преимуществом при аппроксимации высоко градиентных функций.- 76 -ГЛАВА III. Численное решение нелинейных начально-краевых задачдля составных конструкций каркасного типаДискретизация исходной интегро-дифференциальной задачи, описывающей деформирование составных конструкций каркасного типа при статическихи динамических воздействиях в рамках модели Тимошенко, с помощью МКРприводит к системе нелинейных сеточных уравнений, содержащих в общемслучае K неизвестныхKM3  Nm ,(3.1)m1где M - число элементов составной конструкции, Nm - число точек дискретизации на m-ом элементе.

Для решения статических задач, описываемых сеточными уравнениями (2.13), используется квазидинамическая форма методаустановления, а для решения нестационарных уравнений (2.19) - явная двухслойная разностная схема по времени второго порядка аппроксимации (схемаЭйлера) [7,8,87,88].§ 3.1. Численное решение нелинейной задачи о статическомдеформировании элементов составной конструкции3.1.1. Применение квазидинамической формы метода установлениядля решения сеточных аналогов уравнений равновесияСледует отметить, что одной из первых работ, в которой для решения задач статики был применен нестационарный метод, была работа В.И.

Феодосьева [128], в которой задача статической устойчивости сферического купола решалась на основе квазидинамического алгоритма. Разработанный В.И. Феодосьевым метод получил дальнейшее развитие в работах Крысько В.А [56]. Внастоящей диссертации для решения статических задач механики составныхконструкций каркасного типа используется квазидинамическая форма метода- 77 -установления, соответствующая оптимальному линейному итерационномупроцессу [7].Идея применения метода установления (стационирования) для решениястатических задач механики деформируемого твердого тела заключается в построении некоторого нестационарного процесса, установление которого в равновесном состоянии и соответствует решению исходной статической задачи.Представим сеточные уравнения (2.13) в операторной форме, аналогичной(2.19)[Lx (u k ; q k )]i  0.(3.2)При использовании квазидинамической формы метода установления всочетании с дискретизацией задачи МКР сеточные аналоги уравнений равновесия (3.2) заменяются на уравнения, совпадающие по форме с уравнениямидвижения элемента конструкции в вязкой среде вида[Lx (u k ; q k )]i  (c*m k u k )i  (c* k u k )i ,(3.3)где k(i)- параметры удельной вязкости искусственной среды (k=1,2,3).

Аппроксимация нестационарных уравнений (3.3) для i-го узла на сетке с шагомt=const с учетом (2.15) в видеL x (u k ; q k )(n)i (c m k ) i *u k i(n1/2)  u k i(n-1/2)t (c  k ) i *u k i(n1/2)  u k i(n-1/2)2,(3.4)позволяет построить итерационной процесс для определения скоростейu k i(n 1/2)на временном слое t(n+1/2) и сеточных функций u k i(n 1)на временномслое t(n+1) (n 1/2)u k i2t  L x (u k ; q k )i 2m   k t (n -1/2) ku;k ic*i  2m k   k t i 2m k   k t  i(n )(3.5)u k i(n1)  u k i(n)  t  u k i(n1/2).- 78 -Из этого следует что разностная аппроксимация (3.4) нестационарныхуравнений (3.3) приводит к итерационному процессу (3.5) нахождения решенияисходной стационарной задачи (3.2).В работах [7,24,86] для построения итерационного процесса решениястационарной задачи (2.1) рассматривались различные формы метода установления.

Эволюционные уравнения могут быть записаны в форме метода простойитерации с учетом только производной по фиктивному времени  первого порядкаAU  B  dU,d(3.6)и с учетом производной по времени  второго порядка (квазидинамическаяформа)d2UdUAU  B  2  ,dd(3.7)где >0 - скалярный множитель. Запись уравнений метода установления в форме (3.7) соответствует оптимальному линейному итерационному процессу, который получается при аппроксимации уравнения (3.7) на равномерной сетке сшагом  в форме, аналогичной (3.4), и заменой производных по времени центральными конечными разностямиU(n 1)42   (n 1)2 2(n)U U[AU (n)  B].2  2  2  (3.8)Таким образом, если для некоторой функции U=U(xk,), являющейся решением нестационарных уравнений (3.7), существуют пределы~U( x k )  lim U( x k , );U( x k , ) 0,lim(3.9)~ ~то функция U = U (xk) является решением исходной стационарной задачи (2.1).Оптимальные значения параметров итерационного процесса – шага повремени  и скалярного множителя  - определяются из условия сходимостиитерационного процесса и минимума арифметических операций n() (эконо-- 79 -мичности) для получения решения исходной стационарной задачи (2.1) с заданной точностью  и определяются по формулам21 2;1   2 2,1   2(3.10)где 1 и 2 - соответственно минимальное и максимальное собственные числаматрицы А [7].Поскольку при решении практических задач на мелких сеткахотношение 2/1 достаточно велико, то метод установления в квазидинамической форме (3.7) позволяет сократить число итераций n() примерно в 2 / 1раз по сравнению с нестационарной формой (3.6) [7,86].Следовательно, использование метода установления (3.3) позволяет свести решение исходной нелинейной статической задачи (3.2) к решению квазидинамической (3.3), что, в свою очередь, значительно упрощает построение иреализацию вычислительного алгоритма решения статической задачи.

На ЭВМ,программная реализация метода установления относительно проста. Разностный шаблон вычисления левых частей уравнений равновесия (3.2) строится всоответствии с используемой ВРС, а далее, по формулам (3.5) организуется послойный цикл вычисления сеточных функций скоростей и перемещений дляузловых точек удовлетворяющих соответствующие уравнения равновесия сетки. Процесс отсчета начинается с момента времени t(0)=0 при первоначальном(в частном случае - нулевом) приближении для перемещений и нулевых значениях скоростей.

Первый шаг (n=1) итерационного процесса исполняется в соответствии с (2.24)-(2.26). После удовлетворения заданным граничным условиям и условиям сопряжения элементов составной конструкции шаг итерационного процесса заканчивается.Когда характерные значения параметров НДС перестают меняться в пределах заданной точности, а максимальные погрешности в удовлетворенииуравнений равновесия, определяемые в соответствии с (2.2)-(2.4) по величиненевязки уравнений равновесия (3.2), становятся меньше некоторой наперед за-- 80 -данной величины , итерационный процесс считается выполненным до достижения заданной степени установления процесса.Для программной реализации метода на ЭВМ достаточно описать толькомассивы перемещений и скоростей, которые обновляются на последующихвременных слоях t(n+1/2) и t(n+1) по формулам (3.5) в результате пошагового интегрирования уравнений (3.3), как следствие, при использовании метода установления нет необходимости формировать и хранить в памяти ЭВМ матрицу коэффициентов [Lx (u k ; q k )]i .

Для контроля сходимости итерационного процессаи оценки погрешности полученного решения необходимо предусмотреть выводна печать в процессе счета из одной или нескольких характерных узловых точек ряда параметров НДС элементов конструкции - усилий, моментов, перемещений и скоростей, а также максимальных и средних (по всем узлам) погрешностей в удовлетворении уравнений равновесия, максимальных и средних перемещений и соответствующих скоростей.Построить единый итерационный процесс для решения как линейных,так и нелинейных краевых задач, позволяет метод установления. Опытным путем установлено что использование метода установления позволяет достичьвысокую эффективность и экономичность в отношении затрат машинного времени [28-43,74-75,81,102-105,108].

Форма уравнений (3.8) соответствует физической модели эволюционного процесса с диссипацией энергии и установлением в стационарном состоянии, что является важным фактором, поскольку длянелинейных задач, в отличие от линейных [97], в большинстве случаев методне опирается на доказательства сходимости и единственности решения. Помимо этого, к самокоррекции метода приводит введение демпфирующих членовk [7,30,32].В зарубежной литературе при использовании метода, аналогичного рассматриваемой здесь форме метода установления, используется термин “динамическая релаксация” (dynamic relaxation), хотя авторы и оговариваются, чтоданный термин не вполне корректен [81,105,108].- 81 -3.1.2. Определение оптимальных значений параметров итерационногопроцесса для конструкций из железобетона и композитовПараметры итерационного процесса - удельные вязкости среды k(i) ишаг по времени t - определяются из условия ускорения сходимости и устойчивости разностной схемы по формулам (3.10).

С учетом структуры уравнений(3.3) формулы (3.10) запишутся в виде [30,32,103] k  2 a  ,( k )m k 1,( k )  2,( k )1,( k )   2,( k );t k  2at,(k )mk,1,(k)   2,(k)(3.11)где1,( k )  min[1,( k ) ]i ;i 2,( k )  max[ 2,( k ) ]i ,(3.12)iи где 1,(k) и 2,(k) - наименьшие и наибольшие собственные числа для соответствующих разностных операторов в уравнениях (3.2); a,(k) и at,(k) - близкие кединице поправочные коэффициенты. Шаг по времени t для всей РС в целомопределяется из условия видаt  min t k .(3.13)kДля задач с особенностями и неоднородностями и не линейных задачточное определение границ спектров разностных операторов связано со значительными математическими трудностями, то 1,(k) и 2,(k) оцениваются в рамкахлинейных соотношений при соответствующих упрощениях в исходных уравнениях.

Оценочные формулы для 1,(k) и 2,(k), полученные в рамках упрощенных линеаризованных соотношений, с учетом физических соотношений(1.25),(1.34) запишутся следующим образом [102-104]:- конструкции из железобетона: x B B1,(1)  4   b 2 a  sin 2;2 l  x x D D1,( 2)  16   b 4 a sin 4;2 l  x x D D1,(3)  4   b 2 a sin 2;2 l  x(3.14)- 82 - x B B 2,(1)  4   b 2 a  cos2;2 l  x x D D 2,( 2)  16   b 4 a cos4;2 l  x x D D 2,(3)  4   b 2 a cos2;2 l  x- конструкции из композитов: x B1,(1)  4   112  sin 2;2 l  x x D1,( 2)  16   114 sin 4;2 l  x x D1,(3)  4   112 sin 2;2 l  x x B 2,(1)  4   112  cos2;2 l  x(3.15) x D 2,( 2)  16   114 cos4;2 l  x x D 2,(3)  4   112 cos2.2 l  xОптимальные значения параметров итерационного процесса определяются в результате пробных пусков на ЭВМ.