Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 11

Кинематические и силовые условия сопряженияэлементов составной конструкции (1.51)-(1.56) аппроксимируются следующимобразом:- сопряжение элементов № 1,№ 2 и № 3 в точках B и C (рис. 2.6)u 3,1  w1,iB ;q1B Q 31;x1w 3,1  u1,iB ;q 2B   3,1  1,iB ;T31;x1u 2,1  w1,iC ;w 2,1  u1,iC ;T**  Q 21 ;Q**  T21 ;q 3B M 31;x1(2.20) 2,1  1,iC ;M**  M 21 ;- сопряжение элементов № 5,№ 6 и № 7 в точках D и E (рис.

2.7)u 7,N7  w 5,iD ;q1D  Q 7 5;x 5w 7,N7  u 5,iD ;q 2 DB u 6,N6  w 5,iE ;w 6,N6  u 5,iE ;T**  Q65 ;Q**  T65 ; 7,N7   5,iD ;T75;x 5q 3D  M 75;x 5(2.21) 6,N6   5,iE ;M**  M 65 .В формулах (2.20),(2.21) двойной нижний индекс при сеточных функцияхобобщенных перемещений uk,i,wk,i ,k,i используется для обозначения номераэлемента (первый индекс k) и номера узловой точки, которой сопоставляетсясоответствующая сеточная функция (второй индекс i). Силовые факторы Tk-n,Qk-n,Mk-n, передаваемые в качестве нагрузки с горизонтальных элементов навертикальные, вычисляются в точках вспомогательной сетки i=1+1/2 и i=Nk-1/2(рис.

2.6-2.8). Условия сопряжения (2.20),(2.21) сформулированы для случаямонолитной конструкции (1.52),(1.54). Условия сопряжения элементов сборнойконструкции (1.53),(1.55) аппроксимируются аналогично (2.20),(2.21).- 68 -q3Gq2Gwq1GiGu№6T4-6M4-6Q4-6i=N4u№4wQ4-7i=1M4-7T4-7wq3Fq2Fq1FuiF№7Рис. 2.8Для случая, когда составная конструкция помимо несущих содержит самонесущие элементы типа перегородок (элемент № 4), условия сопряжения аппроксимируются следующим образом:- сопряжение элементов № 4,№ 6 и № 7 в точках F и G (рис.

2.8)u 4,1  w 7,iF ;q1F  Q 47;x 7u 4,N4  w 6,iG ;q1G Q 46;x 6w 4,1  u 7,iF ;q 2F  4,1   7,iF ;T47;x 7w 4,N4  u 6,iG ;q 2G  T46;x 6q 3F M 47;x 7 4,N4   6,iG ;q 3G  - 69 -M 4 6.x 6(2.22)В формулах (2.20)-(2.22) сеточные функции обобщенной перерезывающей силы Qk-n вычисляются в соответствии с (1.43) в точках вспомогательнойсетки (i1/2) как(Q kn )i1/ 2  [(Q xz  Txx   x ) k ]i1/ 2 .(2.23)Условия сопряжения несущих элементов № 2,3,6,7 и вертикального элемента № 8 (колонны), а также краевые условия (1.51) в точке контура А аппроксимируются аналогично (2.20)-(2.23).2.4.2.

Конечно-разностная аппроксимация начальных условийКонечно-разностная аппроксимация начальных условий (1.57) записывается в видеu k (i)( 0)t =0  [u k ]i ;u k (i) k ]i(0) ,t 0  [ u(2.24)где [u k ]i(0) , [u k ]i(0) - заданные начальные значения сеточных функций обобщенных перемещений и их скоростей (k=1,2,3). Поскольку в начальный моментвремени t(0)=0 вариации обобщенных перемещений равны нулю, то начальныйвременной слой n=0 полагается совпадающим с узлом основной сетки (рис.2.9).[u k ]i( n ) ;[u k ]i( n 1/ 2)[u k ]i( 2)[u k ]i(1)[u k ]i( 0)[u k ]i(1/ 2)[u k ]i(0)[u k ]i(3 / 2)t/2t(0)n=0tt(1/2)t(1)n=1Рис.

2.9- 70 -t(3/2)t(2)n=2t(n)Для начального (нерегулярного) слоя n=0 весовые коэффициенты в**(2.19) соответственно равны: f11=0; f 22=1; f * =0,5. Для определения сеточныхфункций [u k ]i(n) на временном слое n=1 используется разложение в ряд Тейлора[u k ]i(1)  [u k ]i(0)  t[u k ]i(0) t 2[u k ]i(0) ,2(2.25)где [u k ]i(0) - заданные начальные ускорения. Тогда сеточные функции обобщенных скоростей на временном слое t(1/2), определятся следующим образом[u k ]i(1/ 2)  [u k ]i(0) t[u k ]i(0) .2(2.26)§ 2.5.

Конечно-разностная аппроксимация задачи длясоставной конструкции, установленной наамортизированной фундаментной плите2.5.1. Построение дискретной модели начально-краевой задачидля составной конструкции на амортизированном фундаментеПри конечно-разностной аппроксимации задачи о статическом и динамическом деформировании составной каркасной конструкции, установленной нафундаментной плите (1.58)-(1.61), предполагается, что опорные точки колонн,в которых реализуются граничные условия (1.60), соответствуют начальнымузловым точкам разностных сеток с индексом i=1 (рис. 2.5-2.8).

Тогда конечноразностные аппроксимации кинематических условий для вертикального элемента № 1 составной конструкции и фундаментной плиты (1.60) в опорнойточке типа А запишутся аналогично (2.20),(2.21) как:- сопряжение элемента № 1 и плиты в точке А (рис. 2.5-2.7)u1A  0;w1A  x f ;1A  0.(2.27)Реакция F от опорных элементов на фундаментную плиту (1.59) определяется в результате суммирования- 71 -FM[Q (xxm) ]11/ 2 ,(2.28)m 1где соответствии с (2.23) обобщенные поперечные силы Qxx вычисляются вточках вспомогательной сетки i=1+1/2, M – число опорных элементов, связанных с фундаментной плитой.Начальные условия (1.61) аппроксимируются аналогично (2.24)-(2.26).2.5.2.

Аппроксимация параметров сейсмических волнВ настоящее время при исследовании процессов деформирования несущих элементов строительных конструкций при действии сейсмических волн вкачестве параметров сейсмического воздействия используются инструментальные записи акселерограмм, велосиграмм и сейсмограмм, характеризующих соответственно зависимости от времени ускорений a=a(t), скоростей v=v(t) и перемещений x=x(t) в волне.

При этом для описания параметров сейсмическихвоздействий используется две группы характеристик: магнитуда М, измеряемаяпо шкале Рихтера и характеризующая силу землетрясения в очаге, и втораягруппа, которая определяется шкалой сейсмической активности в баллах и характеризует явления на поверхности земли в эпицентре [51,63,64,66].Таблица 2.1Расчетная сейсмичность, баллыПараметры6789x0, [мм]1,533,166,11212,124v0, [см/с]366,11212,12424,148a0, [см/с2]306061120121240241480В Табл.

2.1 приведены характерные значения параметров сейсмическихволн в зависимости от расчетной сейсмичности в баллах, где: x0 – максимальные смещения маятника одномаятникового сейсмометра СБМ или маятника спериодом 0,25 с в многомаятниковых приборах АИС или ИГИС; v0 - максимальные скорости колебаний грунта; a0 - максимальные ускорения грунта при- 72 -периоде 0,1 с и более [64,72]. На рис. 2.10 показаны характерные записи сейсмических воздействий, где x =a(t) (рис.

2.10а); x =v(t) (рис. 2.10б); x=x(t) (рис.2.10в).Рис. 2.10При действии сейсмических волн возникают колебательные движенияоснования сооружения, приводящие к появлению инерционных сил и моментов в элементах строительных конструкций, которые, собственно, и принятоназывать сейсмическими нагрузками [94,95]. Таким образом, расчет составныхкаркасных конструкций на сейсмические воздействия определяется, наряду сучетом других видов статических и динамических нагрузок, заданием соответствующих неоднородных кинематических граничных условий в (1.51),(2.27) вопорных точках, которые могут быть приняты в виде некоторой функцииxsw=xsw (t), которая определяется параметрами сейсмической волны. Посколькупри задании неоднородных кинематических граничных условий в основномиспользуются параметры обобщенных перемещений, то при численном исследовании в качестве функции xsw(t) может быть использована соответствующаяаппроксимация инструментальной записи сейсмограммы землетрясения.

Ана- 73 -лиз типичных сейсмограмм [62-65,91] с учетом их вероятностного характерапоказал, что во многих случаях инструментальная сейсмограмма может бытьаппроксимирована набором тригонометрических функций, заданных на соответствующих временных интервалах j (j=1,2,3,..,ksw).Таким образом, при моделировании сейсмического воздействия посредством аппроксимации инструментальной сейсмограммы набором тригонометрических функций, заданных на соответствующих временных интервалах j(j=1,2,3,..), функцию xsw можно представить как (рис.

2.11)x swt  t j1 X j sin  j0 для t j1  t  t j ;(2.29) дляt  t sw,где t0=0, tsw=max(tj), Xj, j=tj-tj-1 - амплитудно-частотные характеристики аппроксимирующих функций, определяемые в соответствии с заданными параметрами инструментальной сейсмограммы [102-104].xswX1X30t1X5t3t2X2X4Рис. 2.11- 74 -t4X7t5t6t7X6tВ общем случае, когда инструментальная сейсмограмма характеризуетсяфункцией xsw, которая имеет сложный, высоко градиентный вид и не можетбыть аппроксимирована набором тригонометрических функций (2.29), для аппроксимации сейсмического воздействия может быть использована процедурасплайн-интерполяции, которая позволяет восстановить не только значения самой функции, но и ее первой и второй производной [7].Кубическая сплайн-интерполяция, интерполирующая функцию y(x) в области x0≤x≤xn, представляет собой набор полиномов третьей степени, которыедля каждого j-го участка разбиения записываются в видеy(x)  y j  b j (x  x j )  c j (x  x j )2  d j (x  x j )3 ,(2.30)где xj≤x≤xj+1, j=0,1,2,...,n.

Шаг разбиения xj=xj+1 - xj в общем случае являетсяпеременным (рис. 2.12).yy1y3y7y9y5y2y8y60x4x1 x2x3x11 xx10x5x6x7x8x9y10y4Рис. 2.12Неизвестные коэффициенты bj,cj,dj в выражении (2.30) определяются врезультате решения 4n уравнений, сформулированных в узлах xj относительносамой функции, ее первой и второй производных (условия непрерывности и- 75 -гладкости функции и ее первой производной). Для определения производныхфункции y(x) на каждом интервале разбиения xj достаточно продифференцировать соответствующий кубический сплайн, что даетy(x)  b j  2c j (x  x j )  3d j (x  x j )2 ;(2.31)y(x)  2c j  6d j (x  x j ).Таким образом, при моделировании сейсмического воздействия в процедуре численного решения нестационарной задачи исходная инструментальнаясейсмограмма может быть задана в ряде характерных точек tj, а требуемые значения перемещений, скоростей и ускорений в сейсмической волне определяются по аналитическим выражениям (2.30),(2.31) для соответствующего временного интервала j.