Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 7

1.11,1.12)Txx  b    a1   a 2   бz dz;hM xx  b    a1  z1   a 2  z 2   бz  z dz;hQ xz  k 2b    a1   a 2  бz dz.(1.31)h- 37 -При выполнении интегрирования в (1.31) предполагается равномерноераспределение деформаций и напряжений в пределах толщины приведенногослоя h1(h2) с учетом дискретного характера распределения напряжений a иa по толщине h.bРис. 1.13Соотношения (1.23)-(1.31) могут быть использованы и в случае составных протяженных конструкций панельного типа, для поперечных сечений которых справедливы условия плоской деформации (yy=0). Для таких случаеврасчетная ширина полагается b=1 (рис.

1.13) с заменой выражений для Bb и Dbв (1.25) на соотношения при цилиндрическом изгибеE hBb  b 2 ;1  bEb h 3Db ,12(1  b2 )(1.32)где b - модуль Юнга бетона. Соотношения (1.24)-(1.31) после соответствующих преобразований могут быть также использованы для расчета как упругого,так и упруго-пластического состояния составных конструкций каркасного типа, изготовленных из металлических элементов различного профиля: двутавр,труба, коробчатое сечение и т.д.- 38 -1.2.4.

Физические соотношения для однослойных имногослойных элементов конструкций из композитовВ современных конструкциях все более широко используются несущиеэлементы, изготовленные их композиционных материалов с ярко выраженнойанизотропией физико-механических характеристик. В рамках рассматриваемых плоских задач для случая однослойного элемента конструкции, принимаяв качестве координатной срединную поверхность (линию), можно получитьследующие известные выражения для усилий и моментовM xx  D11K xx ; Q xz  k 2 B13E xz ,Txx  B11E xx ;(1.33)где для балочного элемента конструкцииE1 h 3D11 ;12B11  E1h;B13  G13h;(1.34)и где Е1, G13 - модули Юнга и сдвига материала.zi=Nhii=1z=0Рис.

1.14Для многослойного элемента конструкции, собранной из N слоев различной толщины, жестко связанных между собой в единый пакет, предполагается,что слои деформируются без взаимного скольжения и отрыва, так, что для всего пакета в целом могут быть приняты гипотезы Тимошенко (рис. 1.14). Индекс"i" используется для нумерации слоев, а также обозначения расчетных параметров и физико-механических характеристик слоя (i = 1,2,3,...,N). В качествекоординатной принимается срединная поверхность (линия), срединная поверхность любого слоя, либо одна из поверхностей контакта слоев.- 39 -Силовые факторы в многослойном элементе выражаются через компоненты деформации координатной поверхности по формуламTxx  B11  E xx  A11  K xx ;M xx  D11  K xx  A11  E xx ;(1.35)Q xz  C11  E xz .Жесткостные коэффициенты A11,B11, С11,D11 определяются через упругиехарактеристики слоев и их толщины [16]N ziB11    E (i)x dz;i 1 zi 1N ziA11    E (i)x zdz;(1.36)i 1 zi 1N zi2D11    E (i)x z dz;i 1 zi 1C11  k2N zi  G (i)xz dz,i 1 zi 1(i)где E (i)x , G xz - модули Юнга и сдвига материала i-го слоя.

Полагая физико-механические характеристики материала i-го слоя неизменными в пределахслоя и отсчитывая координату z от нижней (свободной) поверхности первогослоя (i=1, рис. 1.14), формулы (1.36) можно привести к видуNB11   E (i)x (z i  z i 1 );i 1A11 1 N (i) 2E x (zi  z i2-1 );2 i1(1.37)1 N (i) 3D11   E x (zi  z 3i-1 );3 i1NC11  k 2  G (i)xz (zi  z i 1 ).i 1Формулы для железобетонного элемента конструкции (1.24),(1.25) могутбыть получены из соотношений (1.35)-(1.37) как частный случай.- 40 -§ 1.3.

Статика и динамика составных конструкцийкаркасного типа1.3.1. Вариационный принцип Лагранжа и уравнения равновесияРассмотрим балочный элемент составной конструкции каркасного типа(рис. 1.15). Распределенная нагрузка с компонентами q1=q1(x), q2=q2(x), q3=q3(x)- может быть задана как по всей длине балки, так и локально. В краевых точкахГ1 (x=0) и Г2 (x=l) могут быть заданы кинематические и силовые факторы: продольная сила T*, поперечная сила Q* и изгибающий момент M*, а также краевые значения перемещений u*,w* и угла поворота нормали *.

Положительныенаправления для компонент распределенной и краевой нагрузок полагаютсясовпадающими с положительными направлениями для обобщенных перемещений и внутренних силовых факторов (рис. 1.3,1.12).w**q2q3*u ;w ;uQ**q1T**Г1M**Г2x=0Рис. 1.15x=lДля получения уравнения равновесия и естественных граничных условийиспользуется вариационный принцип Лагранжа [19]Э  П  А  0,(1.38)где П - потенциальная энергия деформации, А - работа внешних сил, котораяпредставляется в виде суммыA  AF  AГ ,(1.39)где АF - работа поверхностной нагрузки, АГ - работа краевой нагрузки.

Выражения для П и АF записываются в виде- 41 -П   (Txx E xx  M xx K xx  Q xz E xz )ds;lA F   (q1u  q 2 w  q 3  )ds,(1.40)lгде для случая криволинейной балки ds=Rxdα; для случая прямолинейной балки ds=dx. Работа краевой нагрузки определяется выражениями видаA Г  (T**u  Q** w  M** )x l (T*u  Q* w  M* )x 0,(1.41)где одной звездочкой отмечены заданные краевые нагрузки на крае Г1 (x=0), адвумя звездочками - на крае Г2 (x=l).При независимых вариациях обобщенных перемещений в расчетной области 0≤x≤l и на краях Г1,Г2 из вариационного уравнения (1.38) следуют уравнения равновесия, которые в дифференциальной форме записываются следующим образом:- для криволинейной балки1 Txx  k x  Q xx  q1  0;R x 1 Q xx k x Txx  q 2  0;R x 1 M xx Q xz  q 3  0;R x (1.41)- для прямолинейной балкиTxx q1  0;xQ xx q 2  0;xM xx Q xz  q 3  0,x(1.42)и где обобщенная перерезывающая сила Qxx определяется какQ xx  Q xz  Txx  x .(1.43)В компоненты нагрузки q1,q2,q3, имеющей общий и/или локальный характер распределения q=q(х), входят составляющие от собственного веса, веса фасадных элементов конструкции и оборудования, снеговые нагрузки, нагрузки,передаваемые от смежных элементов составной конструкции друг на друга ит.д.- 42 -Из вариационного уравнения (1.38) вытекают также статические граничные условия, которые записываются следующим образом:- край Г1:Txx  T* ;Q xx  Q* ;M xx  M* ;(1.44)Q xx  Q** ;M xx  M** .(1.45)- край Г2:Txx  T** ;1.3.2.

Вариационный принцип Остроградского-Гамильтонаи уравнения движенияДля получения уравнений движения элементов составной конструкциииспользуется вариационное уравнение Остроградского-Гамильтона в формеtI  t 1 (K  П + A)dt  0.(1.46)oКинетическая энергия элемента К равна1 2  m 3   2 )ds,K  b   (m1  u 2  m 2  w2 l(1.47)где параметры массовых характеристик для железобетонных конструкцийопределяются как [102,103]nm k  b  b h   a h i i 1( k  1,2) ;(1.48) b h 3 n h 3im3  b    a    z i2  h i ,i 1 12 12где a -плотность арматуры, b- плотность бетона.

Для многослойных элементов конструкций из композиционных материалов параметры массовых характеристик mk определяются какNm1  m 2  b   i h i ;i 1Nm 3  b   i (J 0i  z i2 Fi ), ,(1.49)i 1где N - число слоев, zi - расстояние от середины i-го слоя до координатной поверхности оболочки, J0i и Fi - собственный момент инерции и площадь попе- 43 -речного сечения слоя. Для случая (1.32) в формулах (1.47)-(1.49) следует положить b=1. Выражения для потенциальной энергии деформации П и работывнешних сил А имеют вид (1.40),(1.41). Вытекающие из (1.46) уравнения движения в операторной форме могут быть представлены как[L x (U)] k  q k  mk u k ,(1.50)где [ Lx ( U)] k - соответствующие дифференциальные операторы для вектораобобщенных перемещений U=U(u1,u2,u3), u1=u, u2=w, u3= - обобщенные перемещения uk (k =1,2,3).

Для динамических задач вид воздействия задается соответствующей функцией нагрузки q=q(х,t).Уравнения движения для модели Тимошенко, относящиеся к гиперболическому типу, описывают распространение как волн деформации координатной поверхности, так и изгибно-сдвиговых волн.§ 1.4.

Формулировка граничных и начальных условий длясоставных конструкций каркасного типаУравнения движения (1.50), как и уравнения равновесия (1.41),(1.42), получены в проекциях на оси, связанные с недеформированной координатной системой, что позволяет легко сформулировать задачу для составной конструкции.CCBBAAа)б)Рис. 1.16- 44 -T****MCQ**wM2-1uT2-1№2Q2-1wq1BuM3-1q3BBq2BT3-1№1AQ3-1№3Рис. 1.17Монолитное соединение элементов составной конструкции моделируетсяусловиями жесткого защемления (рис.

1.16а). Граничные условия типа шарнирного закрепления могут быть использованы для моделирования условийсопряжения в точках В и С сборных конструкций (рис. 1.16б). В соответствии спринятым правилом знаков для обобщенных перемещений и силовых факторов, имеем следующие кинематические и силовые условия сопряжения(условия совместности работ) элементов №1,№2 и №3 каркасной конструкции (рис. 1.1,1.3,1.4,1.11,1.12):т. А:u1A  u* ;w1A  w* ;1A  0;(1.51)т. В:- монолитная конструкция:u3B  w1B ;q1B Q 31;dxw3B  u1B ;q 2B   3B  1B ;T31;dxq 3B (1.52)M 31;dx- сборная конструкция:u3B  w1B ;q1B Q 31;dxw3B  u1B ;q 2B  M31  0;T31;dxq 3B  0;- 45 -(1.53)т. С:- монолитная конструкция:u 2C  w1C ;w 2C  u1C ;T**  Q 21 ;Q**  T21 ; 2C  1C ;(1.54)M**  M 21 ;- сборная конструкция:u 2C  w1C ;w 2C  u1C ;T**  Q 21 ;Q**  T21 ;M 21  0;(1.55)M**  0,где в соответствии с (1.43) Q3-1 и Q2-1 представляют собой обобщенные перезывающие силы, определенные в краевых точках В и С элементов № 3 и № 2Q31  (Q xz  Txx   x ) B2 ;Q 21  (Q xz  Txx   x ) C2 ,(1.56)и где звездочками в отмечены краевые кинематические и силовые параметры,заданные или определяемые в процессе решения.Начальные условия ставятся для обобщенных перемещений uk и их скоростей u kukt 0 u 0k ;u ktt 0 u 0k ,(1.57)где u 0k , u 0k – заданные начальные значения обобщенных перемещений и их скоростей при t=0.§ 1.5.

Математическая модель для составнойконструкции на амортизированном фундаментеСтроительные конструкции, как правило, устанавливаются на соответствующем фундаменте – фундаментной плите. В зависимости от эксплуатационных требований фундаментные плиты могут быть либо жестко связаны сгрунтом, либо через некоторую систему амортизирующих элементов (АЭ)[2,5,62,66,92]. Амортизированные строительные конструкции широко применяются в сейсмоопасных районах для снижения перегрузок, вызванных дей- 46 -ствием сейсмических волн. На рис. 1.18-1.20 показаны варианты конструктивных исполнений некоторых АЭ [62,91].Рис.