Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 6

Одним из основных недостатков железобетона является относительно быстрое образование трещин, обусловленное малой растяжимостью бетона, предельное значение в среднем составляет ubt=1510-5. Поскольку до появления трещин деформации бетона bt и арматуры s в зоне ихконтакта равны, то трещины в бетоне возникают при напряжениях в арматуреs  E s s  2  105  15  10 5  30 МПа,(1.11)и трещины в бетоне возникают при напряжениях в арматуре s >30 МПа. Условие обеспечения трещиностойкости конструкции ограничивает возможностьприменения арматуры из высокопрочных сталей, т.к.

высокие эксплуатационные растягивающие напряжения для таких сталей и соответствующие деформации приводят к образованию недопустимых по ширине раскрытия трещин.- 31 -1.2.2. Основные соотношения деформационной теории пластичностиДля учета физической нелинейности при описании процессов упругопластического деформирования армирующих элементов используются соотношения деформационной теории пластичности [48]. В рамках соотношенийдеформационной теории пластичности рассматриваемая среда полагается изотропной, а среднее напряжение =(11+22+33)/3 и объемная деформация  11   22   33 связаны линейной зависимостью  K,(1.12)гдеKE,3(1  2)(1.13)и где К - модуль объемного сжатия; Е,  - модуль упругости и коэффициентПуассона при упругих деформациях.

Изменение формы элемента среды происходит за счет деформаций сдвига, при этом девиаторы деформацийD   e ij ;1e ij   ij   ij ,3(1.14)s ij  ij  ij ,(1.15)и напряженийD   s ij ;пропорциональны;  ij - символ Кронекера.Интенсивность деформаций ei определяется по формулеei 222(11   22 ) 2  ( 22   33 ) 2  ( 33  11 ) 2  6(12 13  223 ). (1.16)3а интенсивность напряжений i записывается в видеi 222(11   22 ) 2  ( 22   33 ) 2  ( 33  11 ) 2  6(12 13  223 ).2(1.17)Пластические деформации в элементе конструкции возникают при условии текучести Мизеса iт (eiт); т,т - предел текучести и деформация текучести при одномерной деформации растяжения - сжатия. Процесс активного- 32 -нагружения определяется условием di>0 (dei>0); при di<0 (dei<0) начинаетсяразгрузка материала, которая полагается линейно-упругой.В пластической стадии зависимости между напряжениями и деформациями для случая плоского напряженного состояния (пластины, панели и оболочки) в области активного нагружения могут быть представлены в виде4E 2E 11   K  c E11   K  c (E 22  E 33 );9 9 4E 2E  22   K  c E 22   K  c (E11  E 33 );9 9 12  E c E12 / 3;13  E c E13 / 3;(1.18) 23  E c E 23 / 3,где Ec=i/ei - секущий модуль диаграммы i(ei).

Деформация E33 определяетсяиз условия 33 =0 следующим образомупE 33(E11  E 22 );1 плE 339K  2E c(E11  E 22 ), (1.19)9K  4E cупплгде E 33и E 33- обжатие при упругих и пластических деформациях соответ-ственно. При разгрузке напряжения выражаются через деформации по формулам*11  11E*[(E11  E11)  (E 22  E*22 )];21  22  *22 (1.20)E*[(E 22  E*22 )  (E11  E11)];21 ****12  12 G(E12  E12); 13  13 G(E13  E13);  23  *23  G(E 23  E*23 ).Звездочкой в (1.20) отмечены напряжения и деформации в момент началаразгрузки.

При использовании соотношений теории пластин и оболочек Тимошенко выражения для интенсивностей деформаций (1.16) и напряжений (1.17)приобретают видei 23 2222E11 E 222  E 33 E11E 22  E 22E 33  E 33E11  (E12 E13 E 223 ) ;34- 33 -222i  11  222  11 22  3(12 13  223 ).(1.21)Для арматуры с учетом вида диаграмм деформирования малоуглеродистых сталей (рис. 1.7,1.8) зависимость i(ei) может быть аппроксимированадиаграммой с линейным упрочнением (рис. 1.10).Тогда секущий модуль равенEc   т E1 1  т ,eiei (1.22)где Е1- касательный модуль при i >т (ei >т) (рис.

1.10).вiтE1EтеiоствРис. 1.101.2.3. Физические соотношения для железобетонных иметаллических элементов составных конструкцийПри математическом моделировании процессов деформирования несущих элементов железобетонных конструкций при различных вариантах армирования рассмотрим поперечное сечение элемента конструкции в для общегослучая двустороннего армирования (рис. 1.11). Армирующие элементы рассматриваются в виде ортотропного слоя, эквивалентного по жесткости и работающего на растяжение-сжатие и поперечный сдвиг в направлении армирования и при нулевых значениях коэффициентов Пуассона [102,103]. Приведенные толщины слоев h1 и h2 для общего случая двустороннего армированиямогут быть определены через значения коэффициентов армирования как- 34 -h1=µ1·h;h2=µ2·h,(1.23)где µ1,µ2 - коэффициенты армирования в слоях z<0 и z>0 соответственно (рис.1.11б).

Рассмотрим случай физически линейных и нелинейных задач.zwzuh2x2z2Mxxyhy1z1h1TxxbQxzа)б)Рис. 1.11Упругие задачи. Предполагается, что бетон и арматура работают в упругой стадии. Приведенные к координатной линии силовые факторы – растягивающая (сжимающая) сила Txx, перерезывающая сила Qxz и изгибающий момент Mxx выражаются через компоненты деформации как (рис. 1.11)Txx  ( Bb  Ba )Exx  Aa K xx ;M xx  ( Db  Da )K xx  Aa Exx ;Qxz  (Cb  Ca )Exz ,(1.24)где жесткостные коэффициенты определяются через физико-механические характеристики бетона и арматуры следующим образомBb  Eb  (bh);Cb  k G b  (bh);2nni 1i 1 bh 3 ;Db  E b  12A a  b   E a (z i  h i ); Ba  b   E a  h i ;nC a  b   k G a  h i ;i 12 2h 3i D a  b   E a (z i  h i ) ,12i 1n- 35 -(1.25)и где b - ширина балки, Ea,Ga - модули Юнга и сдвига арматуры, Eb,Gb - модулиЮнга и сдвига бетона, z1 и z2 – координаты середины слоев h1 и h2 (рис.1.11б), k2 =5/6 - коэффициент сдвига, учитывающий параболический законраспределения поперечных касательных напряжений по толщине.

В формулах(1.25) n=2 – для случая двустороннего армирования и n=1 – при одностороннемармировании. Положительные направления для силовых факторов показаны нарис. 1.11,1.12.wTxxMxxQxzTxxuQxzxMxxРис. 1.12Упруго-пластические задачи. В упругой стадии нормальные a и касательные a напряжения в арматуре связаны с деформациями законом Гука a1  E a  E xx (z1 ); a 2  E a  E xx (z 2 ); a1  G a  E xz (z1 );(1.26) a 2  G a  E xz (z 2 ),где a1,a1 и a2,a2 - нормальные и касательные напряжения в арматуре при z=z1и z=z2 соответственно.

Компоненты деформации Exx(z1),Exz(z1) и Exx(z2),Exz(z2)определяется по формулам (1.6) при z=z1 - для армирующего слоя z<0 и z=z2 для слоя арматуры z>0 соответственно (рис. 1.11).Поскольку с учетом реализуемых в процессе эксплуатации условийнагружения армирующих элементов для описания процессов деформированияотдельного элемента арматуры могут быть приняты условия одноосногонапряженного состояния, то соотношения (1.18)-(1.21) соответствующим образом упрощаются и с учетом E22= E33=0 приобретают вид:- в области активного нагружения di>0 (dei>0)4E  a  11   K  c E xx ;9  a  13  E c E xz / 3;22  33  12  23  0;- 36 -(1.27)- при разрузке di<0 (dei<0) a  *a  E a  (E xx  E*xx ); a  *a  G a (E xz  E*xz ),(1.28)где Ea,Ga - модули Юнга и сдвига арматуры.Выражения для интенсивностей деформаций и напряжений (1.21) преобразуются к видуei 23E 2xx   E 2xz ;34 i   a2  3 a2 .(1.29)Нормальные  bz и касательные  bz напряжения в слое бетона с координатой z определяются аналогично (1.26)bz  G b  E xz ,bz  E b  E xx ;(1.30)где компоненты деформации Exx,Exz определяется по формулам (1.6) для слоябетона с текущей координатой z (рис.

1.11). При описании процессов деформирования бетона полагается, что бетон упруго работает на сжатие, но в растянутой зоне при значениях растягивающих напряжений  bz ≥Rbt в бетоне возникает трещина (Rbt–предел прочности бетона на растяжение). Предполагается, чтоесли в процессе деформирования в слое бетона с координатой z происходитзакрытие трещины (при смене знака компоненты деформации xx≥0 на деформацию сжатия xx<0), то данный слой полностью включается в работу поперечного сечения балки. Повторное раскрытие трещины в процессе деформирования сечения происходит при смене знака деформации xx<0 на xx≥0 и т.д.При решении физически нелинейных задач усилия и моменты определяются после подстановки выражений для напряжений (1.26)-(1.30) в (1.8). Приведенные к координатной линии силовые факторы – растягивающая (сжимающая) сила Txx, перерезывающая сила Qxz, и изгибающий момент Mxx– определятся в результате интегрирования напряжений в бетоне и арматуре по толщине элемента конструкции h следующим образом (рис.