Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 10

2.2).- 60 -§ 2.3. Построение конечно-разностных аналоговуравнений равновесия и движения не основеконсервативных разностных схемДифференциальные уравнения равновесия элементов составной конструкции являются следствием интегральных законов сохранения (Гл. 1). Конечно-разностные аналоги уравнений равновесия, построенные на сетке с помощью соответствующего разностного шаблона должны сохранять исходнуюдивергентную форму уравнений и выполнять сеточные аналоги законов сохранения. В МКР для построения сеточных аналогов уравнений равновесия идвижения наиболее широко используются три основных метода: метод непосредственной разностной аппроксимации, интегро-интерполяционный метод ивариационно-разностный метод (ВРМ) [1,7,88].

При использовании методаразностной аппроксимации на сетке строится соответствующий разностныйшаблон, на котором исходные дифференциальные уравнения аппроксимируются разностными с неопределенными коэффициентами, зависящими от узла ишагов сетки. Однако, область применения метода разностной аппроксимацииограничена достаточно простыми случаями для уравнений с гладкими коэффициентами на односвязных областях. Требованию сохранения свойства консервативности (дивергентности) на сетке удовлетворяют консервативные разностные схемы, позволяющие выделить из всех математически допустимых численных решений разностной задачи физически правильное обобщенное решение. В диссертации для получения конечно-разностных аналогов уравненийравновесия и движения используется вариационно-разностный метод.Исходный функционал Лагранжа (1.38) записывается в конечноразностной форме с заменой дифференциальных выражений для компонентдеформации (1.3)-(1.6) конечно-разностными второго порядка аппроксимации(2.6).

Операция интегрирования заменяется суммированием по ячейкам сетки.Вариационно-разностная схема получается при варьировании дискретизиро-- 61 -ванного функционала Лагранжа (1.38), который для расчетной области элемента составной конструкции 0≤x≤ l (0) можно представить в виде суммыЭ    (П i  A i ),(2.8)iгде Пi и Аi - потенциальная энергия деформации и работа внешних сил в сеточной области на элементе Fi=x (Fi=Rxx). В (2.8) суммирование осуществляется по тем узловым точкам разностной схемы (РС), в которых варьируютсясоответствующие обобщенные перемещения uk(i).Потенциальная энергия деформации Пi может быть представлена в видесуммыПi  Пi (E xx )  Пi (E xz )  Пi (K xx ),(2.9)где*Пi (E xx )  0,5  [(Txx E xx  b11F)i-1/2  (Txx E xx  b*22F)i1/2 ];*Пi (E xz )  0,5  [(Qxz E xz  b11F)i-1/2  (Qxz E xz  b*22F)i1/2 ];(2.10)*Пi (K xx )  0,5  [(Mxx K xx  b11F)i-1/2  (Mxx K xx  b*22F)i1/2 ].Элементарная работа краевой и поверхностной нагрузки (1.40),(1.41) вдискретной форме Аi записывается в видеAi  [(q1u  q 2 w  q 3 )  c*F]i (2.11) [d1* (T*u  Q* w  M* )]i1  [d*2 (T**u  Q** w  M** )]iN .*В формулах (2.10), (2.11) b11, b*22 , d1* , d *2 ,с* - весовые коэффициенты, учи-тывающие размеры области интегрирования при отображении соответствующей части элемента на сеточную область (рис.

2.3).i*b11i-1i-1/2i+1b *22c*Рис. 2.3- 62 -i+1/2Весовые коэффициенты d1* и d *2 равны нулю при задании кинематических граничных условий на краях x=0 (i=1) и x=l (i=N) соответственно (рис.2.1), и равны единице - при задании граничных условий в силовой (естественной) форме. Значения коэффициентов в зависимости от области численного*интегрирования лежат в диапазоне: 0<c*1; 0 b111; 0 b*22 1 [43,88]. В регу-лярных узловых точках разностной сетки весовые коэффициенты равны единице.Разностные аналоги уравнений равновесия (1.42), вытекающие из условий минимизации функционала (2.8)Э  0;u iЭ 0;w iЭ 0, i(2.12)имеют вид****(b*22  Txx ) i1/ 2  (b11 Txx ) i1/ 2** T* T ( c  q1 ) i  d1  d2  0;hxhxhx****(b*22  Q xx ) i1/ 2  (b11 Q xx ) i1/ 2** Q* Q (c  q 2 ) i  d1  d2  0; (2.13)hxhxhx**(b*22  M xx ) i1/ 2  (b11 M xx ) i1/ 2 (b11 Q xz ) i1/ 2  (b*22  Q xz ) i1/ 2hx2 (c*  q 3 ) i  d1* M*M ** d *2  0,hxhxгде T*,Q*,M* и T**,Q**,M**- сеточные функции краевых нагрузок на краях x=0 иx=l соответственно.При дискретизации по временной координате t в области непрерывногоизменения времени t0 вводятся две равномерные сетки с постоянным шагомпо времени t: основная сетка с целочисленными индексами n и слоямиt (n)  t  n,n  0,1,2,3,...,(2.14)а также вспомогательная сетка с дробными индексами (n1/2) и временнымислоями t(n±1/2) (рис.

2.4).- 63 -[u k ]i( n 1/ 2)(I)[u k ]i( n 1/ 2)tt/2(IV)(III)(II)[u k ]i( n 1)[u k ]i( n 1)[u k ]i( n )ttt(n-1)t(n-1/2)t(n)t(n+1/2)t(n+1)Рис. 2.4Сеточные функции обобщенных перемещений uk(i) соотносятся с узламиосновной сетки, а сеточные функции скоростей u k (i) - с узлами вспомогательной. Использование скрещивающейся сетки позволяет аппроксимировать дифференциальные операторы для скоростей u k (х) разностными операторамивторого порядком точности O(t2) на шаге t (рис. 2.4)[u k ]i(n -1/2)[u k ]i(n)  [u k ]i(n -1);t[u k ]i(n +1/2)[u k ]i(n +1)  [u k ]i(n).t(2.15)Конечно-разностные аналоги уравнений движения (1.50) вытекают из вариационно-разностных уравнений, аналогичных (2.12) I[u k ]i(n) 0,(2.16)где дискретная форма функционала I (1.46) представляется суммированием посеточной области t(n)I   {0,5[(f2 K  ) ( n 1/ 2)  (f3 K  ) ( n +1/ 2) ]  (f *Э  ) ( n ) }t,(2.17)nи где Э (n) - дискретизированный функционал Лагранжа (2.8), выраженный через значения сеточных функций обобщенных перемещений [u k ]i(n) , физикомеханических характеристик и нагрузок на n-ом временном слое, f1,f2,f3,f4 - весовые коэффициенты, используемые при численном интегрировании на вре- 64 -менных подобластях (I),(II),(III),(IV) соответственно (рис.

2.4), f*=(f1+ f2)/2 суммарный весовой коэффициент подобластей (II) и (III): 0f1,2,3,41; 0f*1.Кинетическая энергия K каждого элемента составной конструкции определяется в виде суммы 3K    0,5 (mk u 2k ) i   c*Fi .i k 1(2.18)После выполнения соответствующих преобразований в (2.16) конечноразностные аналоги уравнений движения (1.50), аппроксимированные относительно узловой точки i, можно представить в операторной форме как{f*[Lx (u k ; q k )]}i(n)* ** *[f 22c m k u k ]i(n 1/2)  [f11c m k u k ]i(n 1/2),t(2.19)где через [Lx(uk;qk)] обозначены левые части разностных аналогов уравнений***равновесия (2.13), f11* , f 22- весовые коэффициенты: f11=(f1+f2)/2, f 22=(f3+f4)/2[3,4]. Для регулярной в сеточной области t(n) узловой точки с индексом n>0:**= f 22= f*=1.f11Уравнения (2.19) позволяют описать переходные процессы при изменении во времени не только нагрузок, но и физико-механических характеристикматериалов, массовых характеристик и геометрических параметров элементовконструкций, что имеет существенное значение при расчете железобетонныхкаркасных конструкций с учетом процессов трещинообразования в бетоне иупруго-пластической работы арматуры.Вариационно-разностная формулировка исходной начально-краевой задачи, описывающей процессы нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинированных видах воздействия, позволяетпостроить консервативные разностные схемы, обеспечивающих сходимостьчисленных решений uk(i) к точному uk(x) при сгущении сетки [7,88].- 65 -§ 2.4.

Конечно-разностная аппроксимация граничных иначальных условий при расчете составных конструкцийПри конечно-разностной аппроксимации граничных (1.44),(1.45),(1.51)(1.56) и начальных (1.57) условий также, как и при аппроксимации на сетке основных уравнений равновесия и движения, используются разностные операторы второго порядка точности [7,88].2.4.1. Особенности конечно-разностной аппроксимацииусловий сопряжения элементов монолитных и сборныхкаркасных конструкцийПри построении дискретных моделей для составных конструкций (рис.1.16,1.17) полагается, что начальный (i=1) и конечный (i=N) узлы несущих горизонтальных элементов сопрягаются с соответствующими узлами основнойсетки вертикальных элементов (рис.

2.5-2.8). Нерегулярными узловыми точками являются краевые точки типа C и E для вертикальных элементов № 1 и № 5(колонны), на которые в виде краевой нагрузки T**,Q**,M** передается реакцияот горизонтальных элементов № 2 и № 6 (балок).C№2№6G№1BE№4№3№7№8AРис. 2.5- 66 -DF№5T**M**T2-1Q**№2i=1iCM2-1wQ2-1uq1Bq3BT3-1№3i=1iBq2BM3-1uwQ3-1№8№1i=1Рис. 2.6T**Q6-5№6i=1M**T6-5Q**i=N6wiEM6-5№5№4uq1DQ7-5i=1T7-5iDq2Di=N7№7q3DM7-5u№8wi=1Рис. 2.7- 67 -Сеточные функции обобщенных перемещений и их скоростей в узловыхточках iC=N1 и iE=N5 определяются из решения основных уравнений, аппроксимированных в этих узлах; N1 и N5 - число точек дискретизации на элементах№ 1 и № 5 соответственно.